一类具有8字回路的对称三次hamilton系统的环性

一类具有8字回路的对称三次hamilton系统的环性 苏州大学学位论文使用授权声明 本人完全了解苏州大学关于收集、保存和使用学位论文的规定， 即:学位论文著作权归属苏州大学。本学位论文电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致。苏州大学有权向国家图 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 馆、中国社科院文献 信息情报中心、中国科学技术信息研究所(含万方数据电子出版社)、 中国学术期刊(光盘版)电子杂志社送交本学位论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存和汇编学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索。 涉密论文口 在——年,月解密后适用本规定。 本学位论文属 非涉密论文口 ,, 论文作者签名:、 王必。囱 期:动,?、生，挺 导师签名: 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性 中文摘要 中文摘要 本文主要研究的是具有,字形回路的平面,,,,,,,,系统的多项式扰动问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 (具体 而言，我们分别给出了相应的,,,,积分，(九)零点个数的上界和下界的估计，他们关 于扰动的次数,都是线性的(首先，估计下界时，我们得到,(,)在,,,处的渐近展 开式，然后利用隐函数定理，得到的下界估计为,,半,一,(其次，估计上界时，我们 将,,,,积分复化，然后在合适的区域内利用辐角原理估计估计,,,,积分，(,,的零 点个数，得出上界估计为,,,,，,,，,( 关键词:,,,,,,,,系统;,,,,积分;辐角原理;,,;,,,—,,;,,方程( 作 者:王政阳 指导老师:刘长剑 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性 英文摘要 ;,,,, ,, ;,,,; , ,,, ;,;,,;,,, ,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,, ,,,,,,,,;,, ,,,,,,,,,, ,,,,,,,,, ,,,, ,,;, ，, ,,,, ,,,,;,,，,,, ,,,, ,,,,,,, ,,,, ,,,,, ,,, ,,,,, ,,,,,,,,, ,,,,,,, ,, ,,, ,,,,,,,,,,, ,,,,,, ,,,, ,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,(,,,, ,,,;,,,),, ,,,, ,,, ,,,,, ,,,,, ,,, ,,, ,,,,, ,,,,, ,, ,,, ,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,，,,,,,;,,,,,,(, ,,,,,, ,, ,,,,，,,,, ;,,;,,,,,,, ,,, ,,,,, ,,,,,，,, ,,, ,,, ,,，(九),, ,,,(,,,,，,,,,, ,,,,,,,,,, ,, ,,,,,, ,,,,,,, ,,,,,;,, ,,,;,,,, ,,,,,,,，,, ,,, ,,, ,,,,, ,,,,, ,,,, ,, ,,,,,, ,, ,,,,,,,, ,, ,,下,，,,,,(,,;,,,，,,,, ;,,;,,,,,,, ,,, ,,,,, ,,,,,，,, ;,, ,,, ,,,;,,, ,,, ,,,,,,, ,,,,,,,,(,,,,,, ,,,,,,,, ,,,,;,,,, ,, ,,,, ;,,,,,, ,，,, ,,,,,,, ,, ,,,,,,,,,,,, ,,, ,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,(,, ,,, ,,, ,,,,,,,,,, ,, , ,, ,, ,,, ,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,, ,,,,，,,，, ,, ,, ,,,,,,,,:,,,,,,,,,,, ,,,,,,;,,,,,,, ,,,,,,,,;,,, ,,,,,, ,,,,;,,,,;,,;,,,— ,, ,？,,,,,, ,,;,, ,,,,,,, ,,,, ,, ,,,,,,,,, ,,,,,,,,,, ,, ,,,,(,,, ,,, ,,, ,,, ，， 目录 第一章绪论……………………………………………………………(, 第二章预备知识…………………………………………………………, ?,(,复的,,;,,理论………………………………………………, ?,(, ,,,,积分在奇点附近的展式…………………………………((, 第三章玩下界的线性估计………………………………………………,, ?,(, ，(,)的结构禾,,,,;,,,—,,;,,型方………………………………, 程 ?,(, ，(,)在,,,附近的展式………………………………………((, 第四章风上界的线性估计………………………………………………,, ?,(, ，(,)在奇点附近的性质………………………………………((, ?,(, ，(,)零点个数上界的估计……………………………………((, 参考文献………………………………………………………………(,, 致谢…………(………………………………………………………((,, 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性 第一章绪论 第一章绪论 弟 早殖比 ,(,,,,,,,提出了他的著名的二十三个数学问题，其中第十六个问题的后半部分是 指对于全体,次实多项式,(,，,)和,。(,，?)，系统 圣,,(,，?)， 雪,,几(,，,) 的极限环的个数,(,)的最小上界是否存在，以及这些极限环是如何分布的(虽然许 多数学家做了大量工作，但到目前为止对,,,的情形都没有完全解决( ,(，(,,,,,,提出了这个问题的一个弱化形式，人们称此问题为弱化的,,,,,,,第十 六问题，此问题如下: 假设,(,，,)是礼，,次实多项式，,(,，,)和,(,，,)是次数不超过,的 实多项 式，记,,,,，,(,，,),九,((此时，令 ,(,),,(,，,)，,(,，,),允)，,?,， 并定义,,,,积分 ，， ，(,),?,(,，,),,一 „厂(,，,),,，,?,(„ ,,(,) 弱化的,,,,,,,第十六问题就是寻找,,,,积分，(,,的实零点个数的仅依赖, 的而 不依赖日，„厂，,的最小上界(在弱化的,,,,,,,第十六问题方面，第一个重要进展属 于,(,(,,,;,,,,,,,,,和,(,(,,,,,,,,,,,,,,，他们在,,,,年分别独立 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 了,(,), ，。。，但他并没有给出最小上界的任何 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式( 特别地，当,(,，,)具有如下形式日(,，,),可,,，,(,)，其中,(,)是,次实多 项式函数，,(,，,)和,(,，,)是,次实多项式函数(当,,,时，,,,,,,,,,中证明 ，(,)的零点个数,(,)?礼一,(当,,,时，赵育林和张芷芬,,,中证明，(,)的零 点个数,(,,)?,,，,( 在本篇文章中，我们讨论,,,,,,,,函数,(,，?),虿,,一譬，百,,对应的,,,,,,,,系 统 雪,一玩 (,(,(,) 士,,， 的,次多项式扰动系统 圣,现，,，(,，分)， 雪,一玩，,夕(,，可)， (,(,(,) , 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性 第一章绪论 其中,为充分小参数，,(,，,)，,(,，,)是他次实多项式函数，且它们关于,均为偶 函数(本文中主要利用辐角原理估计,,,,积分，(,)的零点个数的上界，由于系统 (,(,(,)极限环的个数受,,,,积分,(,)的零点个数的限制，所以对系统(,(,。,)极限 环的个数,(佗)的上界得到如下结论: 定理,对,,,,,,,,函数,(,，可),,,一百,,，百,,，系统(,(,(,)经扰动后极限环的个 数,(,)?,。，,，，，,,，,( 显然，此结果与参考文献,,,中，(,)的零点个数,(,)?,,，,相比较已有 很大 改进( 以上是对系统(,(,(,)极限环个数,(,)上界的线性估计，下面我们对系统(,(,(,) 极限环个数,(,)的下界的做出线性估计(首先我们给出关于,(,)下界估计的一些 一般结果(考虑下面的小扰动系统 ,,,一上如，,,(,，可)， 士,上毛，,,(,，可)， 其中,为充分小参数，,(,，,)，,(,，,)是,次实多项式函数，日(,，,)是次数不超过 ,十,的实多项式函数(当,,,时，史松龄【,,,和陈兰荪和王明淑【,,,中分别证明了 ,(,)?,(当,,,时，李继彬和刘一戎,,,,以及李承治，刘长剑和杨家忠,,,, 中分 别证明了,(,)?,,(且，,,,,,,,,,,,,】中证明了对任意的礼，,(,)?业攀竽望( 对于只有一个同宿轨的问题，,,,,,,,,,,,,,中将,,,,积分，(,)在同宿轨附近渐 近展开，得到,(,)下界的表达式(对于双同宿轨的问题韩茂安『,,中已经证明了，当 ,,,时，,(,)?,;当,,,时，,(,)?,(在本文中，由系统(,(,(,) 中，,,, 确定了一个双同宿轨，因此我们沿用参考文献,,】中的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，讨论,,,,积分，(,)在 双同宿轨附近的渐近展式，然后利用隐函数定理估计,,,,积分，(,,的零点个数的下 界，并将参考文献,,,中的结论推广，得到关于,,,(亿)下界的如下结论: 定理,对,,,,,,,,函数,(,，,),百,,一百,,，百,,，存在,次实多项式函数，(,，,)， ,(,，,)，使得系统(,(,(,)极限环的个数,(,)?,,下,，,,一,( 通过对定理,及定理,结果的比较可以发现，,(礼)的上界以及下界只相差常数项， 当,较大时，对于准确估计系统(,(,(,)极限环的个数是更加有利的( , 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性 第二章预备知识 第二章预备知识 本章中主要给出了与本文相关的一些引理以及概念( ?,(,复的,,;,,理论 本节中主要给出了一些复的,,;,,型理论，我们直接引用定理的结果，证明参见参 考文献,,,( 引理,(,(设, ; ,为单连通的区域，若,(,)，,(,)满足方程 ;,(,(,， (三::;;) ,,;,，(考:弓)， 其中,(,)为在,上解析的,×,矩阵函数，则对,,?,，方程的满足初始条件 , , , , 孙 (,(,(,) ， , ,，, , , 、踟 ，??,, ?,， , ?，、?， 的解，可以解析延拓到,上( 定义,(,(若,,,,是,(?)的一阶极点，即,(,)在,,处无界，但(,—,,),(,) 在 ,,,,处解析，则称,,,,是方程(,(,(,)的,,;,,型奇点( 引理,(,(若,,,,是,(,)的一阶极点，不妨设,(,)可写成以下形式 ,(亡),羔，?,岛(,—,,)忌， , ,的常数矩阵，设,一,的特征值为,,，入,，则称 其中,一,，,凫,?惫,，?均 为, 入,，入,为,(,)在,,,,处的特征指数， (,)若入,一,,不为整数，则方程的解具有下列形式 ;,(,(,， (,,;;):,,(,,,,),,(量;,;;)，,,(,,,,):,(,;;:;)， 其中，,(亡)，，,(,)，如,(亡)，如,(,)在,,,,处解析( (,)若入,一入,,,且为整数，则方程的解具有下列形式 (,,:;),,;,—,。，沁(,,,(,))，,;亡一亡。，沁(,,,(,))，,;忽一忍。，，;,(,(,， 其中,,,(亡)，，,(亡)，屯,(,)，,,,(亡)在,,,,处解析 , 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性 第二章预备知识 将丁一?代入方程(,(,(,)中得到方程 ;,(,(,， (喜:::;),,;,一，(喜,:;)， 其中,(丁),一专,(季)( 定义,(,(若丁,,是,(,,)的一阶极点，则称,,,。是方程(,(,(,)的,, ;,, 型奇点( 定义,(,(若丁,,是方程(,(,(,)的,,;,,型奇点，且久,，,,为,(,,)在丁,, 处的特征指数，则称入,，,,为,(,)在,,?附近的特征指数( 引理,(,(设入,，入,为,(,)在,,。。附近的特征指数，若入,—,,不为整数，则 方程的解有如下形式。 ,(亡),,,,知,,,(亡。)，;,,,,，,(亡一,)， (,(,(,) (,(,(,) ,(古),,,,入,如,(舌一,)，;岛亡,。厶,(亡一,)， 其中,,,(,)，,,,(,)，,,,(,)，厶,(舌)在,,,处均为解析函数( 由于二阶方程,?，,(亡),,，？(,),,可以转化成二阶方程组，所以以上的定义 及 引理均适用于二阶方程( ?,(, ,,,,积分在奇点附近的展式 我们考虑,眦,,,,,函数,(,，可),譬一百,, ,,,,,对应的,,,,,,,,系统，易知此,,,,,,,,系 统(,(,(,)有两个中心(,，,)，(一,，,)，一个鞍点(,，,)，两个中心对应,,,,,,,,,函数的值 为,,,，鞍点对应,,,,,,,,函数的值为,,一石,(定义闭轨线,(九),,,一,,,十百:,,,,， 容易验证,(,)存在的区间由(一五,，,)，(,，，?)两部分组成(当一五,,,,,时，,(,) 由两族闭轨线,,(,)，,,(危)组成，当,,,时，,(,)由一族闭轨线,,(允)组成(当,,, 时，,(,)对应此平面,,,,,,,,系统的一个双同宿轨,(,),,, , ,,，其中,,，,,以 及双 曲鞍点,,,构成,字形闭轨线，如图,所示( 根据闭轨线的分类，则,,,,积分，(,)有以下三种表达式 ,，,,(，) ， ,(,),,, , ,(,，,),,一(厂(,，,),,，一言,,,,， , „? 第二章 二耋具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性 预备知识 —————————————————————————————————————————————一。一 ,(九),爰,,?,(础)如一,?屯一三,,,,,，? ，(，),?,,,(,) 夕(,，,),,一„厂(,，,),,，,,,,，?( ,， , (,忿 二输;, 雁慕 ,蟛漤划, , , 图,(由,(,，,),,确定的闭轨线的分布图 由,,,,,,,,函数的对称性容易得知,(危),?(危)，所以在下面的章节中我们 只 讨论,,,,积分,(，)(在以下章节中，若关于,,,,积分的结论对,(允)，,(，) 均成 立，则统一记,,,,积分,(允)，，(尼)为，(庇)(关于,,,,积分，(，)的性质及展式我们 有下面的结论，其证明分别参见参考文献,,】和参考文献,,,( 引理,(,(,(，)在,,一;处解析，且,(一,),,( 引理,(,?设，(,，可),,,(,，,(,, ,巧,,,,，夕(,，可),?。?件,?扎,巧一矿，与系统 (,(,(,)相对应的,,,,积分在,,,附近可以展开成以下形式 ,(,),;,，,,, ,,，;,,，;,,，…，,,,,,,,, ,，,(,竹)，,,,《,， ,, , , ,, ,(，), ;,,，詈胁(一，)，;,,允，害忽,,,(一，)，?(斗等州,(一九)，,(庇佗)，庇,,，…《, 其中 ;,,,, ,(,，,),,一，(,，,),,， ,,(,、 ;,,。鼻，如，,),卜,，,),,， ,, 一 , 吼 , ， ,， ,, 一 , 一 唿 ， ? ， , ？ , , 沁瑟 , ？笪如—,夕,可, , 第二章 预备知识 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性 ;,,船鬈，巧,,,,,,,,,,)?,;,， ,,,一,(一,,,,一,,,，,,,，,,,,)一,,(,,,,，,,,)(,凡,,一九,,)，(,,,,，,,,)(,允,,—,,,),,，,;,， ,，,， ,,均为常数( , 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性 第三章,,下界的线性估计 第三章玩下霁的线性估计 在本章中，我们主要就极限环个数,(,)的下界作线性估计(由系统(,(,(,)极 限环的个数与,,,,积分工(九),妊(危),(,，可)出一,(,，,),,零点个数之间的关系，所 以我们只需估计，(，)的零点个数的下界即可(记岛,再(?,,矿,,，,,(,),,,,(,)， 如(九),厶,(允)，,,(,),舟。(，),,,，尬(九),异。(,),,,,,，,,(,),昴。(九),,,，如(允), 虾。(，),,,,,(则我们有以下结论: ?,(,，(危)的结构和,,;,,,—,,;,,方程 引理,(,(设(,(,(,)中几?,，与,,,,,,,,，系，统(,(,(,)相关的，(,)可表示为 ,(,),,(,)，,(,)，,(,),,(,)(,(,(,) ,(忍)，,(,)为多项式，,,,,(,)?,孚,,,，,,,,(,)?,字,,,，其中,，,分别 )白,,,,(,)，,,,,(,)的最小上界(若礼,,，,，则,,,,(,),,，,(,)兰,( 证明:(,)因为昴(,),,,,,,,南弗(，),,,,,，,,一南舞(，),,,,,,，,,,，我们不妨 ,已 (,。,。,) ,),屯如川妞 (,)下证对,,,，,?,积分五,可以表示成厶，,，,，, ,,一,， ,一,，和 九厶，,，,，,,,一,，,,,，,，,的线性组合( 由,(,)满足 (,(,(,) ,,,一虿,,，百,,,忍， (,(,(,)两边关于,求导得 (,(,(,) 可挈一,，,,:,， ?, 上式两边同乘,,,,,,得 ,,,,,,，,掣一,卜,可,，,,可,:,， (,(,(,),, 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性 第三章,。下界的线性估计 上式两边分别绕,(,)做曲线积分得 (,?,(,) 五，,,厶,,,，,,,,,(,),,,,,,瓦,,出,,,，雨,,,厶,,,，,，,(,?,) 即 (,(,(,) 厶一。，,，。:厶，。，。一。，生?,～厶，,， 又在(,(,(,)两边同乘,,拶”,,并绕,(,)做曲线积分得 (,(,(,) 丢,，,,,互, ，,，。，,一。，五,,。(、，…。,允厶，,一。 将(,(,(,)代入(,(,(,)得， , ——兰,五,,，,一石』,，,，,一,。,，要,五掣 ，一 五。，一 :,，,,,,，,,,， (,(,(,) ,,(键)， ,、, 忙雎,,,，,吲, 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性第三章,。下界的线性估计 由(,(,(,)，(,(,(,)得， (,(,(,,) 如，,,,,,，,,,,，，,，,,詈厶，厶，,,厶,,， 显然当,,,和,,,时以上结论成立 设当,?,一,时，,,,,(,，可),竹，，(，),舞(,),(,，,),,可以表示为 ,(,),矿(,),,，,礼(忽)如 且,,,,,(九)?,字,，,,,:，,,(，)?,字,(则当,,,,时，由(,)的结论知 ，(忽),?件,?,一,,,，,厶，,，,,,，,?,一,,,，,厶，, ,,,，,,,(,),,，(,,,,(，)厶，，(,,,,(,),,，，(,,,,(危)如) ,,(,)，,，,(允)厶 且 ,,,,(,)?,,,,,,,;,,卜,(九)，,，,,,,扣,(九)) ?…,,字,), ，,竿肛,等, 同理可得,,,,(,)?,字,(第三步得证( (,)下证存在死(,，可)(,(,，,)使得 搿忙屯嘶川啦 硝孚,如 (,(,(,,) ,屯剐训)阮 其中,,夕,,(,，,),,,,,，。,，,),,， 即证存在,(,，可)，,,,,(,，,),,，使得 ,),熊即川虻腭?孵】厶 即证,，,,是,,,,(,)，,,,,(,)的最小上限( 显然由(,(,(,,)知，当仡,,时存在码(,，?)，,,,,,(,，,),,，使得 屯嘶，可),,,,如， , 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性 第三章,,下界的线性估计 又由舞(,, ,,,,,,，则，,,,,螺(,,，乃(,，,)),,，即当,,,，,,,时，(,(,(儿)式 成立( 下面假定当礼?,一,时，(,(,(,,)式成立，即存在死(,，,),?件,,, ,，,,,,,， ,,,,(,，,),豫，使得 , 硝剐,,,,,, ,?‰?, ,,(,(,( ,,”,、“，)矿如,， , ? 则当佗,,时，由(,(,(,,)式知 九【孚,厶,蒯学,厶,?,，,‰， ,，,,,,, 将,,,，,,,，,代入(,(,(,)式得 危,，,,,,一之麦手车茅厶，，一,一三厶，,，, 故 孵,,,, ,‰羞。,,，,(攒,,,,，,,?,，,矿)出 ? ,拳,, ,，,),,( ,,(,) 显然,,,,,(,，,),,，故(,(,(,,)式对,,均成立，,,，,，,(,。,。,,)对,,也成立， 综,,,扫(,)，(,)，(,)，(,)知，引理,(,结论成立( 引理,(,(与凰,沈。死系统(,(,(,)相对应的，,(,)，,,(,)满足,,;,,,—,,;,, 型方程 , , 忍 兰, ,， ,一, ,( 忍 ? ， (,(,(,,) ) ,—, 旦璩无 弘一一 ，扣? 、、,,、 晶足 ,,, , , 一旦, 满 足 汪 明 由 ,?) : , 一 十 卜, 圹虿 护虿 ?百 上式两边两边关于九求导得 , 曲 ,, ,? 所以 互,,,,，,,，) ,,,,,,, , 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性第三章,,下界的线性估计 将,,一,代入(,(,(,)得 ，,，一,,，,一,，一,，(,—,)五一,，, 分别将,,,，,，,，,代入上式得 ,,,,，疋,,蜀，如，毛,,最,,,，,,,五,，,如 另一方面，由 ，, , , 秽 ,幽, 忽,?,„,,, ;,, ? , 比 卜 ，黟 弋 圹一, 护一, ?一, ? ,,，,，(。,,,,， 丢,,可一,,,,,，,(。,,，趸, 厂? 斤广 西斤 厂西 艮? 即 危,,三，,,,,,，，。,,，沁， 所以 九昂,去,,,一三罡，三疋，，,差,,,一丢咒， 危,,互,厶一互,,，,，,，五,,。，，(,五,如，互,厶一丢,( 由以上两式解得 ,(,，趸, ,』。,,,，,，互,而一,,,， ,(,，丢)足,,,,,一,九,，,， 即 ,, ;危，互, 允;九，石,，(笔) 一;危 引理,(,(分别记,(,),，,(,)，,(,),乇(忍)，则直接计算可得,(,)，,(,) 满足 方程 ,(,，?,一舻, , , ,(,，互,矽,,丽,?一扣 (,(,(,,) (,。,(,,) ,,;,) ,雾) (,如,) 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性第三章,。下界的线性估计 ?,(,，(尼)在,,,附近的展式 引理,(,(存在在,,,处解析的函数,,(,)，,,(,)，使得当，,，《,时， 有 ， ,,(,),? ?矗,,,,(,)，夕,(九),,(,,)，,,,，,,,《,( ?,,(,) 厂 ,,(,),拳 可如,,,,(,)，,,,(,),, ,，,,,，,《,( ,,,(危) 证明:如图,所示，用,,,，,,,交,,(,)于,,，,，,,(九)于, ,，,，则 图,( 螂卜戍,,,,,?‰。,,,,厶咖一,,咖一厶嘞脉。( 掣一撬?咖一,厶咖一厶咖抄,( 定义函数 ， 五(危),,愿,,, 【埝,,,， 当,,一石,时，显然,,(,)为关于,的解析函数(当,?(,，,)时，作变换 肛: ,蕊,曲,,,啦 厶咖,，咖， ,, ，埝,,, ,、,碍，令,,譬一鲁，则 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性 第三章,礼下界的线性估计 ，。, 由舻,,,,碍，不难反解出,,?,,?芦,,，,，所以下面我们只需验证 , ,厕,,,，,,,,,,(卅引?巾坝?肋，《, ,??,„,，,?,,,，,,,,五(允)，雪,(允),,，，,,允《, ?,,,, 即可( 由一譬，譬,允，且』上,,知，,,,,矿,丽(当,,一,《,时，记。,何， 作变换可:量(,,—,—,)，则,:?孑了孑:;(,,，,—,)， ,,:牢，,—,: 毕 (此时我们有， ,,蕊,,,，,的 :厂掣 两,,,，,(,,，,,,),啪出 :厂掣 裳薹‰。,,(,叫‰ ,, ,,,(,一惫一,),,,(,，,— ,), ,，嘟。州掣 :丽,,,，, 。， ,?, ？川(一,),, 币,瓦可，丽了,习 ,, , ,(,,,,，,,，何),(七十,一„)一(、,互万一,,—,,，—,,),(惫，,一,?,， 壹‰。两磷 —、,,, ,) ;。。,,,，,,(,矿,,),，, 丢,, ,,,互, ,,(叫】 【(、,互万而，、,互万),(,，,—,)一(、,甄一,,—,,，—,,),(,，,一„?,， 。 ?“ ,。,, ,, 。, , ,,,，,， ,,(叫 ,,, ,,,,。,,啪，,可(,,,),，, ,,,(,,—,(,—，,)，何)一去,, ,, ,,,，,,,(,)，亘,(九),,(一,)( ， 当,,,《,时，记,,、,丽，作变换,,罟(,。，,一。)，容易验证 „壹 ， 厂?,„,，,?,,,，,,,,,矗(允)，雪,(忍),,允 ,，,,, , 命题得证( — ‰ (引理,(,(存在在,,,解析的函数附近如(危)，,,(危)，使得当，,，《,时， 有, ，毛(，),,, ,,可,,,,,(,)，,,(,)，,(一允)，,,,，，,，《, ,,,,(,) 。 ,,, — ) 鼎 第三章玩下界的线性估计 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性 ,,,,,,,,,(,)，,,,(,)，, ,，,,,，,如(允),,, 《,,,,(，) 证明:证明方法与引理,(,一致，此处省略( 引理,(,(当,?(,，，,,)时，,,(,)，,,(,)在，,,附近可以展开成以下形式 ，, ,，,,,，,,,，,,,,，…，,,,, ，, ,，,,,(,),,,，,, ,, , (,”)， 允, ,,九，,,九，,,,如(忍),,,，,,, ,，,,,,，…，,札,, ,,凡，,(,礼) ,, , 其中当钆,,时，,,,;，,,,而,,(当几,,时，,,,,，,,,一,，,,,,(当佗,, 时，‰，,,，,他，,。递推式如下 ,‰,,,一一～—兰～面与苘群,,,‰一。。 。,一,,一—五笺,焉筹,矿。吣佗，一，，， 丽丽,孑一‰。,? 一,,,,，,,,,,,, ,, ,一?喾铲“一志址 ?，,一‰喾铲址,一志吣而,，,,,,,,址,， ?，杀击址，，、,,,, 证明:由引理,(,可直接求得 ,。,,?,(,),,,,,,， 忙,,,(,),,,如,罴， ,，,屯缸一,， 五,,一,，,,,,( 由引理,(,知 危(允，丢)石一,,， 将,,(,)在,,,附近的展开式代入上式，由等式两边,,,，驴一, ,,,对应项 系 数相等得 (佗一,)(,一,),,,,，(,,,,)讪，虿,(佗一,),,,，五,(,,一,),, ,一面,。“，(,(,(,,) 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性 第三章上死下界的线性估计 (,。,(,,) ,,,,,)(钆一,心一,，互,(扎一,),，,,,一而,酝斗 由(,，,(,,)解得 (,(,(,,) ,礼,一～兰～～群,。一,， 将他,,代入(,(,(,,)得,,,,，将钆,,代入(,(,(,,)得,,,,，将咒,,代入 (,(,，,,)得,,,,萋(将(,(,(,,)代入(,(,(,,)解得 ,,,,,，,,,一,( (,,一,)(,,一,) (,(,(,,) ‰,一—百而,百一‰一,， ,,砑丽,砰一‰。 同理由山(忽)，也(允)满足 九(允，去)刀,景如一去如， ,对应项 ，, 将,,(,)，以(允)在,,,附近的展开式代入上式，由等式两边,铲,，,,一, 系数相等得 ,,,,,)(佗一,),一,，(,佗一,)瓦一,，五,(佗一,)佗,，丢(,礼一,),佗,丽,。州一趸,。“，(,(,(,,) (,(,,,,) (一,)(佗,,),。，丢(礼,,)抵,熹让。一耘。 由(,(,(,,)解得 (,(,粥) ,),,,,,一与喾铲。 ?一南址,， 将(,(,(,,)代入(,(,(,,)解得 ,,,“( ,。一‰喾铲址,一志,，，,,,，一一斋击址皑,，…,,,，,, ?十,,,,, 命题得证( 对,,,,,,,,函数,(,，,)作变换, ,,得到,,,,,,,,函数,(,，,,，, ,),, 一譬一百,,，百,,(不难验算，(,，,)是亩(,，,)的中心奇点(记于，为围绕(,，,)的闭 轨线，则于，存在的区间为(一五,，,)(定义,(,),舞。,(,，,),,—,(,，,),,，由引 理,(,知，歹(允)在,,,处解析，且了(,),,(定义厶,舞?,,,,,,，五(，),,，(,)， 五(，),五,(九)(由第四章第一节引理,(,的证明过程中要用到了(九)在,,,处的展 式，将了(危)在,:,处的展开，我们得到下面的引理: 第三章,,下界的线性估计 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性 引理,(,(当,?(,,，,)时，,,(,)在,,,附近可以展开成以下形式 五(垆,肌耠，蓦树一等树，((一 作变换 证明:当,?(,,，,)时，,对,,,,,,。,函数雷(,，秒),一型三,一百,,，百,, 肛,,孵(将,在肛,,处展开得 ,,,,,，,,，,,,,，乜,肛,，…，,岛,,南，,(,(,(,,) ，…， 其中 ( , , ,, ,,, ,,,,，,,。五，,, ,瓦，,, ,面，,, ,—,,,,， 所以 如(，), 厂中行, 廊一,《、，,,,,屯妻,唧,?咖 一如匆一‰舳一参加,由一嚣如,咖,,,, ,《、，,,,护一 ,,舭?，嚣槲一訾槲，(,( 命题得证( 下面我们给出定理,的证明过程: 证明:由引理,(,知，当,?(,，，,。)时，,(九),,(允),,(,)，,(危)如(危)，其 中,,,,(,)?,孚,，,,,,(,)?,丁,,,,(不妨记,,,,,,,,，由,(九)，,(危)均为关于 ,的多项式，设 ,(,),,,，,,,，,,,,，??(，,,,,，,,，,,, ，,， ,(,),,,，,:,,,，,,,,，…，,,,,， 由引理,(,知，,,(,)，以(允)在,,,附近可展开成以下形式 ,,(,),,,十,,, ,, ,，,,,，，, ,，,,,,，…，,。危, ,，,(,,)， ，, ,,允, ,, 如(九),,,，,,,,, ,，,,,，,),,, ,, ,，,,,,，…,，,(,,)，,。忽, 第三章玩下界的线性估计一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性 所以 ，(允),,(,),,(,)，,(,),,(,),,,,老,七，,,,，，,南，, ,) ,,惫,，。。 其中 ,，,,,, ,,而,?,眄，,,,,, ,?,，,,,,,,, ,，,,,, ,,,,?,。,,,，,,,,,， ,,,，,,,,,,,而且,,,酯,,(又由引理,(,及引理,(,知，当一,,,,,时，,(,)在,,,附近具 有如下展式 ,(,),,(,),,(,)，,(,),,(,),? ,惫，等危砖,,(一忽)) (、,,,, ,,,,，。。 记 ( ,, ,,,。， ,。，，， ,。，，。),， ,,(矶,, 一 (((,一,， 几，,,，，。),， ,,(,。‰,，佗 ? 则,，,满足方 程 ,,,,( (,(,(,,) 其中 ? ? , , , , , , , , , , , ? ? , , , , , , ? , , , , ?，仇 ? ? , , , , , , , , , ? ? ? , , , , , , , , 叭，? 知(钆 ? ? , , , , , ? , , 咖 , , , ? ? , ? , , ?，嬲 吼,眈 ,, ? ? ? ? ? ,( ,( ? 们, ? ? ? ,(((, ,(((, ,(((, , ?,，跏 „ 口 , 眈(((,嘶 一 一 , 一 一 , ,一 ? ? , ,,(((坼, 一 , , , „ , 一 , 一 , 一 一 ? ? , ? ,, ,?,, ,,, 一 , 跏，昕 , 一 , 一 , (一 ，? ? ? ,加加们;,加，加加 一 , , , ,, 阱 ,加，加以，抛～，加，加防 昕肼西, ,?,, 一 , ,,研吼 ,(((,,,巩, 加。以加，加加 , 一( , 虮。抛孙， 一 如，加 , 如:， , 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性 第三章三,下界的线性估计 记矩阵,,, ,,襄)，则,;，,,。，,，件,(由，,，,一,(,。?,，,,,,,?,，所以，,，? ,(故存在唯一的,,,(仇,，,,，,,，,,，…,，，,，，,,，,),，使得，,,，《,,,,《，,,，《 …《,,,，,《,,,,，,,《,,,,，,，，且,,忌，,,,，,，,,,，,，,,,，,符号依次为，，一，一，，(由 此，则 (,)当,,,《,时， ,,危，,(,?)， ,(,),,,，,,,, ,，,,,，,,,, ，,,，, ??，,,，,知,,,,,，，,九, , ,，…的符号依次为，，，，一，一，循 ,，,,,，,,,, ，由于,(,)展开式中各项,,，,,, ,, , 环往复，且,,,,《魄, ,《,,,,《…《,,,，,《,,,什, ,《,,,，，,,，所以,(,)在,,, 附近至少有,，,个零点( (脚当,,一,《,时，所以 , ,(，),,,,(一忍)，…十等?，,丁,,，,?,,(一九)，,(?)， ,,,,(一,)，譬,，,,,,, , 由于,(,)展开式中各项,。,，譬,,(一九)，譬九，警,, ,,(一,)，…的符号依次为，，一，，，一， 循环往复，，,,,《,,,，《,,,，《…《，,,，，《,,,件,，《，,,，，,,，所以,(,)在九,, 附近至少有,,?，,个零点( (,,,)由于系统(,(,(,)是中心对称的，当一五,,九,,时，,(,),?(,)，因此 ,(,,在,,,附近至少有,,，,个零点( 综上(,)，(,,)，(,,,)知，，(,)在,,,附近至少有鼢，,个零点，即系统(,(,(,) 在,(,)附近至少有,,，,,,,半,一,个极限环(命题得证( 定理,的应用: 当,,,时，参考文献,,,,中已经证明了系统(,(,(,)在实平面中至少有,个极限环， 而利用定理,，我们将,,,直接代入表达式,,下,，,,一,中，可得到系统(,(,(,)仅在 ,(,)即,字形闭轨附近至少有,个极限环( 当,,,时，参考文献,,,中证明了下面的系统 未,,，多,,—,,一,,,,,，,,,,，,,,,，(,,，,,,,)可,，,,(,(,(,,) 可,, 在整个实平面中至少存在,,个极限环(而利用定理,，将,,,直接代入表达式 ,,丁,，,,一,中，便可得到系统(,(,(,,)仅在,(,)即,字形闭轨附近至少有,,个极限 环( 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性第四章,。上界的线性估计 第四章玩上界的线性估计 从本章开始，我们在复域,中讨论,,,,积分零点个数的上界(我们利用辐角原理 分别估计,(丸)在复域;,,,，，,,)中的零点个数的上界以及了(,)在复域,,,,(,,，,, 中的零点个数的上界(记券,，(危),,，允?(,。，,,),为，(凡)在区间(,，，,。)中的零点个 数，则极限环的个数,(他)?,移,,(允),,，,?(一五,，,))，带,,(允),,，允?(,，，。,)) (首先我们给出,,,,积分，(允)在奇点附近的一些性质( ?,(,』(允)在奇点附近的性质 不难验算，，(,)在奇点附近满足如下性质: ?，都是方程(,(,(,,)的,,;,,型奇点，且相应的特征 引理,(,(,,一五,，,，， 指数为(,，,)，(,，,)，(,，;)( 引理,(,(系统(,(,(,)在,,。。处的特征指数为入,,，,,,,，则，,(,)，如(忽) 在无穷远处具有如下形式 , (,),;,(,,,,，,,,,。:(?)，饧， ,,(，，„)，;,(,(,， ?(?， 其中,,，,,，,,，,,,。,，,,,，,,,，,,，,,，？,，？,均为常数( 证明:由引理,(,知，在,,。。附近如(九)，如(危)具有如下形式 而(九),;,九,，,(庇一,)，;,忍虿,，,(丸一,) 毛(九),;,,兰,,,,(,,,)十;,,三,,(,。) 其中，,(，。)，，,(危。)，如,(，,,)，，,,(丸,,)在,,,处均为解析函数，故我们可以取定 (厶,,),;, ,,,,，,,,,。,(„卜?嚣,)， 不妨取毛(危),,,恕;，…代入(,。,。,,)得， 杀,硝，(((一一素,江一( 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性 第四章上,上界的线性估计 由首项系数相等得,,,,(所以，,(,)，,,(,)满足如下形式 , ,。,(?)， ?(?((厶，,),？ ,,,,，,,,,。:(?)，;, ， ?(?( 引理,(,(,,(,)，五(，)构成了方程((,(,(,,)的基本解组( 证明:显然,,(,)，,,(,)均满足方程(,(,(,,)，要证,,(,)，,,(,)构成了方程 (,(,(,,)的基本解组，只需证明,,(,)，,,(,)线性无关即可( ,,,,,,,(,)在,,,,，，,,)上解析，,,(,)在;,(一。,，一五,,上解析，假若,,(,)， 五(九)线性相关，则存在常数;使得,(,),;五(允)，由此可得,,(,)在【,，，?)上 解析，即,,(,)在复平面,中解析(当允,，?时，由于,(九)一九,，所以,(，) 不可能全局解析，与前面矛盾(所以假设不成立，即,(九)，五(九)线性无关(结论得 证( 引理,(,(系统(,(,(,,)在,:,处的特征指数为入,:,，入,:,，，,(,)具有如 下形式 ,,,(庇),喜(危),,,，卵(忍)， 其中?(庇),;五(愚)，,为非零常数( 证明:显然入,一,,为整数，由引理,(,得，,,(,)在,,,处具有如下形式 ，,(,),?(危),, ,，,,(,)， (,(,(,) 其中?(九)，叩(，)在,,,处解析(将(,(,(,)代入方程(,(,(,,)中，由左右两边,,,项 的系数相等得， ,，三)“允),一未鼬)， 所以?(九)是方程(,(,(,,)的解(,,,(,)，五(允)构成了方程(,(,(,,)的基本解组，五(允)在 ,,,处解析得，?(忍),;,,(,)，其中,为非零常数( 引理,(,(系统(,(,(,,)在,,一,处的特征指数为,,,,，入,,,，，,(,)具 有如下形式 ，,(,),?(危),礼(，，主)，厅(允)， 其中?(允),,,,(,)，,为非零常数( 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性第四章风上界的线性估计 证明:其证明方法与引理,(,一致，此处省略( 引理,(,(当,,,时，,,(,,恒不为口( 证明:不难验算，,,(,)是方程(,(,(,,)在,,,处解析的非平凡解，,,(,),,( 作函数 獭),半协)一半,,(坝 则,“允),,,;(,)一;,,(,)，且,,(忽)，昂(危)满足方程 允(允，主)嚣(允),一去(允昂(允)一,:))， ,(,，扣:),一丢(忍玩(忽)一以(州( 由玩(,)?,，,,(,),,，作函数叫(，),勰，显然叫(九)在,,,处解析且满 足,,;;,,,力:程 一,,(,，,,,)叫,(，),叫,(危)一,,,?(，)，允( 显然，双蓝线,,(允)一,,,(,)，允,,为叫(九)在(，，训)平面上的水平等倾线，它经过 原点且在原点处有一条垂直渐近线，故当,,,时，,(,)位于双曲线的右侧分支，此 时训(危),,,,(由叫(，),耥，所以当,,,时，名(危)的符号未发生改变，又因 为五(,):,，所以当,,,时，五(允)恒不为,，命题得证( 推论,(,(，,,,(,,)在(,，，,。)上非,( 证明:由,,(,,)可解析延拓到;,,,，，?)上，设,,(,)在区域 ，,(,), ,(，,(,),,)中延拓到(,，，?)上得到的函数为咐(九)(蚜(，))，则在(,，，?)上， 由对称原理知，，,,,(,),,王(,),,,,,(,)(,五(,)(由引理,(,知，当,,,时磊(允)?,， 所以，,,,(,)在(,，，?)上非,( 引理,(,(如(危)在复域;,(一?，,卜中实解析，且可以表示成如下形式 枷，,,篇搿勰虢暑 其中,,画,,，卢,一,，声,,( ,, 第四章,,,,上界的线性估计 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性 证明:由弓，理,(,矛口弓，理,(,知 ,,(,),,,,(,)，,,,(允),,九,,,,(,)一,,, ,,(,),,九，,,,，九《, 所以 ,,(,),，(九)，夕,(九),,(一九),,,(,)一,去,(,),,(一九)，允,,，,九，《, 埘(允),,,(,)一芴,磊(允)(,,允一不,),，(危)一,,募,,(,),,九，丢元(允)，，,允,,，,,，《, ,,(,),，,(忍)一去磊(忽)(,,允，莉),，(庇)一去五(危),,九一丢五(愚)，，,龙,,，,,尼《, 即，当,,,《,时 (,(,(,) 狮),,薹蚜,,，((卅,),诹,,(蛾,)，,，,,,,。,( 又而(允)在复域,,,,,,，,,中实解析，由解析函数零点的唯一性定理知，方程(,(,。,) 在复域;,(一?，,,上恒成立，结论得证( ?,(,，(九)零点上界的估计 引理,(,(,,(,)在复域,,,;,,,，,,)中至多有一个零点( 证明:设,为充分大常数，,为充分小常数，记成为在,, ,,，,,?,)中移除 ,，,，,,)得到的集合，如图,所示( 图,(豌所示区域 ,, 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性 第四章,。上界的线性估计 我们要估计,,中的解析连续函数,(允)在,,中的零点个数，只需利用辐角原 理估计,,(,)在赢中的辐角增量,,赢,,,,,(,)，则由辐角原理可知,,(,)在,, 中的零点个数为—,,—百,,焉,,—,,(,)( (,)在,,,附近，由引理,(,知，,,(,)在,,,处解的结构为 ,,(允),?(,),,,，叩(允)， 其中?(允),;元(允)，所以?(,),;五(,),,，,,,?,—,,(,),百,?,，所以当绕,，,,,,,( 的边界旋转时，,(允)的辐角增量不超过,(,)( (,,)由推论,(,知，在射线(,，，,。)上，,,,(,)?,，所以,(九)的辐角增量至多 为,不( (,,,)当绕,，,，,,)(的边界旋转时，由引理,(,知，，,,(,),?;,,,,，所以,,(,) 的辐角增量至多为;不( 综上，(,)，(,,)，(,,,)知，,,赢,,,,,(,)?,,,，互, ,,(由辐角原理知则，,,(,)在 复域,,,;,,,，?)中至多有一个零点(由于,(一,),,，所以,,一,,是,,(,) 在复域,。,,,,,，,,)中的唯一零点( 引理,(,(矗(九)在复域,,,,,(一,,，,,中至多有两个零点( 证明:设,为充分大常数，,为充分小常数，记西。为在,,,,，,,?,)中移除 ,，,,,,)和,,允，虿, ,,,?)得到的集合，如图,所示( 图,(西。所示区域 我们要估计,。中的解析连续函数,,(,)在,。中的零点个数，只需利用辐角原 ,, 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性 第四章,。上界的线性估计 理估计,,(,)在,,中的辐角增量,,百。,,,。,,(,)，则由辐角原理可知,,(,)在西,中 的零点个数为—,,—,,,丽,,,—,,(,)( (,)在九,,附近，由引理,(,知，,,(,)在,,,处解的结构为 ,,(,),?(,),,,，叩(,)， 其中?(，),;五(，)(由?(,),,,(,),,，,,,,,?,—,,(,),;?,，所以当绕,，,，,,) 的边界旋转时，,,(,)的辐角增量不超过,(,)( (,,)在,,一五,附近，由引理,(,知， 砌),,,晦,，(?,)，,诹,,,(坝,)，,，,,,,。,(， 所以,,,,斗一;如(允),,,,五,，(,一(,,)。，)，，,,,,九,,，,。。，即,,,,(，一,山(，)?,，所以当绕圆盘 ,，，，五, ，,,)的边界旋转时，,,(,)辐角增量不超过,(,)( (,,,)当绕,…,,)的边界旋转时，由引理,(,知，,,(,)，?;,,,,， 故当绕,…,,)的边界旋转时，,,(,)辐角增量至多为,,,( (,:)在射线(一?，一五,)上，由引理,(,知，,,,,(,),,,,(,)?,，故在射 线 (一?，一五,)上，,,(,)辐角增量至多为,,,( (,)在线段(一互,，,)上，由引理,(,知，,,,,(,),,,,(,)?,，故在线段(一五,，,) 上，如(，)辐角增量至多为,,,( 综上，由(,)，(,,)，(,,,)，(,,)，(,)知，当绕,,的边界旋转时，,,(,)辐角增量至多 为,,,，万,,,(由辐角原理得矗(九)在,。中至多有两个零点( 记,(,)在(,，，?)，(一,,，一,)，(一五,，,)上的零点个数分别为肛,，,,，,,，则肛,， 肛,，,,?,字,( 引理,(,,(,(,)在,,,,,,,，，?)中至多有,，,,，,,,，,,个零点( 证明:,,如引理,(,中所定义(记,(,),,(,),(,)，,(,),(,)(其 中,(,), ,,(,)，可(危),尬(忍))，不妨设,(九)不恒为,，作解析函数,(九),器,,(九)， ,(，)揣( (,)在,,,附近，眭,,,,,,, ,(,),百,?,，,,,,寸, ,(,),簧?,，所以当绕圆盘,，,，,,)的边界旋转时，,(,)辐角增量不超过,(,)( 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性第四章,,上界的线性估计 (,,)在射线(,，，,。)上，由,(危)，可(允)在(,，，,。)上实解析，所以 ,牙(允) ,(允)、 ,,, ,雪(九) ?(允),， ,?刊?,器,,(允) ,,,,(,),, 其中(牙(允)，雪(危)),是(,(允)，可(允)),绕,,中闭回路的解析延拓，由卢,;，当,一。, 时，,,(,)，一忍;，所以,,(,)不可能全局解析，所以(牙(九)，雪(忽)),与(,(，)，可(允)),是 线性无关的，故他们构成的,,,,,,,行列式恒不为,，又因为当,?(,，，?)时，,(,) 恒不为,(所以，,,(,)在(,，，,。)上至多有卢。个零点(故在(,，，。,)上，,(,)辐 角增量至多为,,(弘,，,)( (,,,)当绕,,,，,,,的边界旋转时，由引理,(,及引理,(,知,,(，),?,,…,孚】， 所以，,(忽),?,,…„字】，所以当绕,…,(,,,的边界旋转时，,(,)辐角增量至多为 ,不,学,( 综上(,)，(,,)，(捌)，当,(,)绕西。的边界旋转时，,(,)的辐角增量至多为,,,(,， 肛,，,学,)，由辐角原理得，,(,)在,,中的零点个数和极点个数之差至多为,，肛,， ,丁,，,,，由引理,(,知,(,)在,,中只有一个零点，又由,(一,),,，了(一五,),,，即 ,(,)在,,中无极点，所以,(,)在,,,,,(,，，?)中至多有,，口,，,,,，,,个零 点( 引理,(,,(,(,)在,,,,,(一,。，,,中至多有,，,,，肛,，,下,，,,零点( 证明:西,如引,,(,中所定义，,(,),,(危)叠(九)，,(，)雪(九)，(其中童(允): 如(，)，雪(，),如(尼))( 不妨设,(凡)不恒为,，作亚纯函数亏(允),揣,,(允)，,(，)骗( (,)在,,,附近，由引理,(,，,,,,,?,面(九),;?,，,,,，,?,，雪(九),而,,?, 当绕圆盘,…,,)的边界旋转时，户(危)辐角增量不超过。(,)。 (,,)在,,一互,附近，由引理,(,知，,,,毳十一,岔(九)?,，,,,,，一,雪(九)?, 当绕圆盘,，,，五, ,,,,(的边界旋转时，,(,)辐角增量不超过。(,)( (捌)在(一。,，一五,)上，由矛(危)，雪(九)在(一,(,，一石,)上实解析，所以 ,,,(雾;竺; 雪;竺;) ,,,岔(,),,埘?,,(?,器划九) ,, 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性第四章玩上界的线性估计 其中(歪(允)，多(,)),是(面(九)，雪(允)),绕,,中闭回路的解析延拓(由,,;，当,。,, 时，雪(危)一九,，故,(,)不可能全局解析，所以(叠(危)，季(九)),与(面(九)，雪(允)),是线性 无关的，所以,,,,,,,行列式恒不为,(又当,?(一?，一,,)时，岳(九)恒不为 ,， ，,户(九)在(,。,，一五,)上至多有肛,个零点( (,,)在(一;，,)上，同理可得，，,,(,)在(一五,，,)上至多有,,个零点( (,)当绕,,,，,,)的边界旋转时，由引理,(,及引理,(,知，，(允),?,,…【孚】，所 以，,(允),?,,，危，【孚】( 综上，由(,)，(,,)，(,,,)，(,,)，(,)，当绕,。的边界旋转时，,(,)辐角增量至多为 ,,,(,，弘,，口,，,半,)(由辐角原理，户(允)在,,中的零点个数和极点个数之差至多 为,，弘,，弘,，。,，, ,,(由引理,:,,知圣(，)在,,中至多有两个零点，即户(愚)在,, 中至多有两个极点，所以,(,)在,,,?,(,,(:,,，,,中至多有,，,,，,,，,,,，,,个 零点( 下面我们给出定理,的证明( 证明:由,(,)在,,,;,(,，，;,)中至多有,，肛,，,,,，,,个零点，且,,,,,,,,系 统(,(,(,)具有对称的,字形闭回路，由极限环的对称性知，系统(,(,(,)在,,中 至 多有,(,，弘,，,丁,，,,)个极限环(又在,,中，,(,)至多有,，芦,，弘,，,,,，,,个零 点，所以系统(,(,(,)在,,中至多有,，,,，,,，,下,，,,个极限环，所以在复平面, 中，极限环个数 ,(,)?,旁,,(允),,，,?(一言，,))，券,了(龙),,，,?(,，，?)) ?,(,,,,,,,,,,,半,)，,讹讹，【,,,，,』， :,，弘,，弘,，弘,，,,兰姜兰,，芦, ?,，,,字…半, :,,半,，,， 证毕( ,, 一类具有,字回路的对称三次,,,,,,,,系统的环性 参考文献 参考文献 ,,,,,, ,,,,,,, ,,,,— ,,,,，,,,,,, ,,,,,，,,,,,, ,,,,,,,, ,,,,, ,,,,,,,,,,, ,,,, ,, , ,,,,, ,,, ,,,, ,, ？,,,,,,,,,,,,,,,,,，,(,,,,(,？,,，,,,(,,,,)，,,—,, ; ,,,,,,,,，，,,,, ，,,,,，,,,—,,,,,,,,,,,,,;,,,,, ,,,,,,, ,,, ,,,,,,,,,,, ,,, ;,,,,— ,,,, ,,,,,,,,，,,,,(,,,,(，,,,(,,,,)，,,,—,,, ,,,, ,,,,,, ,,,,;,,,,; ,,,,，,,,,,,，,,,,, ,,,，,,,,, ;,;,, ,,,,,,,,, ,,,, ,,,, ,？,,,,,,,，,,,,，,,,—,,, ,,,,,,,,,,,, ,, ,,,,,,,,,,; ,,,，,,,,,,,, ,,,,, ,,,,,,, ,,,,,,, ,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,, ,,, ,, ,, ,,,,,,,,,,, ,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,，,,,,,,,,,,,,，(,,,,)，,,,,—,,,,。 ,,,, ,,,,,(，,,(,,,,)，,,— ,, ,,,,,,,; ,,,,,,,,,，,,,;,(,,,,(, ,,,,(,(,,,,,,，,,,,,;,,,,,,,, ,, ,,,,,, ,, ,,,,,,,; ,,,,,,,,,，,,,;,(,,,,(,,,,，，,,(,,,,)， ,,,,(,(,,,,,,，,,,,,,, , ,,—,, ,,,,,, ,,,,,, ;,,,,,,, ,,,,,,,; ,,,,,,,,,，,,,;,(,,,,(, ,,,,,】,(,(,,,,,,, ,,, ,,(，,, (,,,,)，,—,,, ,,,,,? ,,, ,,,,, ,,,,,;,,,,,,,,，,,,;,(,,,,,,,,,,, ,,,,(,(,,,,,,，,,,,,,,; ,,(, ,,(,,,,)，,—,, ,,,李伟固(正规形理论及其应用,,,，科学出版社(,,,,)，,,,—,,, ,,,,尤秉札(常微分方程补充教程，人民教育出版社(,,,,)，,,,—,,, ;,,, ,,,,,,,,，,,, ,,,,,,,,,,,,, ,,,, ,,,,,,, ,,,,,,, ,,,,, ,, ,,,,,,,,, ？,,,,,,,; ，，,,,,,(,,,,(，,,,(,,,,)，,,—,, ,,