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选择题的解题
解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件,选择题不设中间分,一步失误,造成错选,全题无分,所以应仔细审题、深入
分析
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、正确推演、谨防疏漏,确保准确;迅速是赢得时间获取高分的必要条件,对于选择题的答题时间,应该控制在不超过40分钟左右,速度越快越好,高考要求每道选择题在1~3分钟内解完,要避免“超时失分”现象的发生。
高考中的数学选择题一般是容易题或中档题,个别题属于较难题,当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想,但更应看到选择题的特殊性,数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的,因而,在解答时应该突出一个“选”字,尽量减少
书
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写解题过程,要充分利用题干和选择支两方面提供的信息,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择解法,以便快速智取,这是解选择题的基本策略。
数学选择题的解题方法
1、直接法:就是从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择支对照,从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。
例1、某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有2次击中目标的概率为 ( )
解析:某人每次射中的概率为0.6,3次射击至少射中两次属独立重复实验。
故选A。
例2、有三个命题:①垂直于同一个平面的两条直线平行;②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直;③异面直线a、b不垂直,那么过a的任一个平面与b都不垂直。其中正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断,易得都是正确的,故选D。
例3、已知F1、F2是椭圆
+
=1的两焦点,经点F2的的直线交椭圆于点A、B,若|AB|=5,则|AF1|+|BF1|等于( )
A.11 B.10 C.9 D.16
解析:由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8,两式相加后将|AB|=5=|AF2|+|BF2|代入,得|AF1|+|BF1|=11,故选A。
例4、已知
在[0,1]上是
的减函数,则a的取值范围是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞)
解析:∵a>0,∴y1=2-ax是减函数,∵
在[0,1]上是减函数。
∴a>1,且2-a>0,∴1
tanα>cotα(
),则α∈( )
A.(
,
) B.(
,0) C.(0,
) D.(
,
)
解析:因
,取α=-
代入sinα>tanα>cotα,满足条件式,则排除A、C、D,故选B。
例6、一个等差数列的前n项和为48,前2n项和为60,则它的前3n项和为( )
A.-24 B.84 C.72 D.36
解析:结论中不含n,故本题结论的正确性与n取值无关,可对n取特殊值,如n=1,此时a1=48,a2=S2-S1=12,a3=a1+2d= -24,所以前3n项和为36,故选D。
(2)特殊函数
例7、如果奇函数f(x) 是[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是( )
A.增函数且最小值为-5 B.减函数且最小值是-5
C.增函数且最大值为-5 D.减函数且最大值是-5
解析:构造特殊函数f(x)=
x,虽然满足题设条件,并易知f(x)在区间[-7,-3]上是增函数,且最大值为f(-3)=-5,故选C。
例8、定义在R上的奇函数f(x)为减函数,设a+b≤0,给出下列不等式:①f(a)·f(-a)≤0;②f(b)·f(-b)≥0;③f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b);④f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)。其中正确的不等式序号是( )
A.①②④ B.①④ C.②④ D.①③
解析:取f(x)= -x,逐项检查可知①④正确。故选B。
(3)特殊数列
例9、已知等差数列
满足
,则有 ( )
A、
B、
C、
D、
解析:取满足题意的特殊数列
,则
,故选C。
(4)特殊位置
例10、过
的焦点
作直线交抛物线与
两点,若
与
的长分别是
,则
( )
A、
B、
C、
D、
解析:考虑特殊位置PQ⊥OP时,
,所以
,故选C。
例11、向高为
的水瓶中注水,注满为止,如果注水量
与水深
的函数关系的图象如右图所示,那么水瓶的形状是 ( )
解析:取
,由图象可知,此时注水量
大于容器容积的
,故选B。
(5)特殊点
例12、设函数
,则其反函数
的图像是 ( )
A、 B、 C、 D、
解析:由函数
,可令x=0,得y=2;令x=4,得y=4,则特殊点(2,0)及(4,4)都应在反函数f-1(x)的图像上,观察得A、C。又因反函数f-1(x)的定义域为
,故选C。
(6)特殊方程
例13、双曲线b2x2-a2y2=a2b2 (a>b>0)的渐近线夹角为α,离心率为e,则cos
等于( )
A.e B.e2 C.
D.
解析:本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式,故可用特殊方程来考察。取双曲线方程为
-
=1,易得离心率e=
,cos
=
,故选C。
(7)特殊模型
例14、如果实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3,那么
的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
解析:题中
可写成
。联想数学模型:过两点的直线的斜率公式k=
,可将问题看成圆(x-2)2+y2=3上的点与坐标原点O连线的斜率的最大值,即得D。
3、图解法:就是利用函数图像或数学结果的几何意义,将数的问题(如解方程、解不等式、求最值,求取值范围等)与某些图形结合起来,利用直观几性,再辅以简单计算,确定正确答案的方法。这种解法贯穿数形结合思想,每年高考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决,既简捷又迅速。
例15、已知α、β都是第二象限角,且cosα>cosβ,则( )
A.α<β B.sinα>sinβ
C.tanα>tanβ D.cotαcosβ找出α、β的终边位置关系,再作出判断,得B。
例16、已知
、
均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|
+3
|= ( )
A.
B.
C.
D.4
解析:如图,
+3
=
,在
中,
由余弦定理得|
+3
|=|
|=
,故选C。
例17、已知{an}是等差数列,a1=-9,S3=S7,那么使其前n项和Sn最小的n是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:等差数列的前n项和Sn=
n2+(a1-
)n可
表
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示
为过原点的抛物线,又本题中a1=-9<0, S3=S7,可表示如图,
由图可知,n=
,是抛物线的对称轴,所以n=5是抛
物线的对称轴,所以n=5时Sn最小,故选B。
4、验证法:就是将选择支中给出的答案或其特殊值,代入题干逐一去验证是否满足题设条件,然后选择符合题设条件的选择支的一种方法。在运用验证法解题时,若能据题意确定代入顺序,则能较大提高解题速度。
例18、计算机常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0—9和字母A—F共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表:
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例如:用十六进制表示E+D=1B,则A×B= ( )
A.6E B.72 C.5F D.BO
解析:采用代入检验法,A×B用十进制数表示为1×11=110,而
6E用十进制数表示为6×16+14=110;72用十进制数表示为7×16+2=114
5F用十进制数表示为5×16+15=105;B0用十进制数表示为11×16+0=176,故选A。
例19、方程
的解
( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+∞)
解析:若
,则
,则
;若
,则
,则
;若
,则
,则
;若
,则
,故选C。
5、筛选法(也叫排除法、淘汰法):就是充分运用选择题中单选题的特征,即有且只有一个正确选择支这一信息,从选择支入手,根据题设条件与各选择支的关系,通过分析、推理、计算、判断,对选择支进行筛选,将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除,从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是“答案唯一”,即四个选项中有且只有一个答案正确。
例20、若x为三角形中的最小内角,则函数y=sinx+cosx的值域是( )
A.(1,
B.(0,
C.[
,
] D.(
,
解析:因
为三角形中的最小内角,故
,由此可得y=sinx+cosx>1,排除B,C,D,故应选A。
例21、原市话资费为每3分钟0.18元,现调整为前3分钟资费为0.22元,超过3分钟的,每分钟按0.11元计算,与调整前相比,一次通话提价的百分率( )
A.不会提高70% B.会高于70%,但不会高于90%
C.不会低于10% D.高于30%,但低于100%
解析:取x=4,y=
·100%≈-8.3%,排除C、D;取x=30,y =
·100%≈77.2%,排除A,故选B。
例22、给定四条曲线:①
,②
,③
,④
,其中与直线
仅有一个交点的曲线是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
解析:分析选择支可知,四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求,故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选,而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆,故可先看②,显然直线和曲线
是相交的,因为直线上的点
在椭圆内,对照选项故选D。
6、分析法:就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、分析和加工后而作出判断和选择的方法。
(1)特征分析法——根据题目所提供的信息,如数值特征、结构特征、位置特征等,进行快速推理,迅速作出判断的方法,称为特征分析法。
例23、如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线