应用图形的旋转变换巧解“难题”

应用图形的旋转变换巧解“难题”应用图形的旋转变换巧解“难题” 应用图形的旋转变换巧解“难题” (一)正三角形类型 0在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转60，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图(1-1-a)中的PA、PB、PC三条线段集中于图 ,,(1-1-b)中的一个ΔCP中，此时ΔAP也为正三角形。 PP AA ,PPP BBCC ? 图(1-1-a) 图(1-1-b) 例1. 如图:(1-1):设P是等边ΔABC内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，则APB的度数是________....

应用图形的旋转变换巧解“难题 ” 应用图形的旋转变换巧解“难题” (一)正三角形类型 0在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转60，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图(1-1-a)中的PA、PB、PC三条线段集中于图 ,,(1-1-b)中的一个ΔCP中，此时ΔAP也为正三角形。 PP AA ,PPP BBCC ? 图(1-1-a) 图(1-1-b) 例1. 如图:(1-1):设P是等边ΔABC内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，则APB的度数是________. ， AA3,P333 5PP445 CCBB ? 图(1-1) 图(1-2) ,,,简解:在ΔABC的外侧，作BA=CAP，且A=AP=3，连结B。 PPP，， ,,,则ΔBA?ΔCAP。易证ΔAP为正三角形，ΔPB为RtΔ PPP 0,,?APB=AP+PB=+=150 6090PP，，， (二)正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋 0转90，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图(2-1-a)中的PA、PB、PC三条线段 ,,集中于图(2-1-b)中的ΔCP中，此时ΔBP为等腰直角三角形。 PP CDCD PPP, BBAA ? 图(2-1-a) 图(2-1-b) 例2 . 如图(2-1):P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。 1 F DCDC PP E AABB ? 图(2-1) 图(2-2) 简解:作ΔAED使DAE=BAP，AE=AP连结EP，则ΔADE?ΔABP(SAS) ，，同样方法，作ΔDFC且有ΔDFC?ΔBPC。易证ΔEAP为等腰直角三角形，又?AP=1 同理，PF=3 ?PE=22 ?EDA=PBA，FDC=PBC ，，，，0又?PBA+PBC=90 ，，000?EDF=EDA+FDC+ADC= 90+90=180 ，，，， ?点E、D、F在一条直线上。 ?EF=ED+DF=2+2=4，在ΔEPF中，EF=4，EP=22，FP=3 由勾股定理的逆定理，可知ΔEPF为RtΔ 19?S =S+S+S=3++=8 正方形ABCDRtΔEPFRtΔEPARtΔPFC22 3例3 .如图(3-1)正方形ABCD中,边长AB=，点E、F分别在BC、CD上,且 00BAE=30, DAF=15。求ΔAEF的面积。(第十一届希望杯邀请赛试题) ，， AD F BEFC, 图(3-1) ,,,,简解: 延长CB至使得B=DF，连结A，则RtΔAB?RtΔADF(SAS)。 FFFF 0000000,,?AE =30 +15=45，FAE=90 -30 -15=45易证ΔAE?ΔFAE(SAS) FF，， 000 ,3?EA =FEA=60，?FEC=60, ?在RtΔABE中, AB=，BAE=30F，，，， ,333?BE=1, CE=-1, FE=2CE==2(-1), ? E=EF=2(-1) F 2 11,所以,S= S=AB?E=，3，2(3-1)=3-3 FΔ?AF’EAEF22 (三)等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ΔABC中，C=Rt, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时，，0,针方向旋转90，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图(3-1-b)中的一个ΔCPP 为等腰直角三角形。 CCP' PPABAB ? 图(3-1-a) 图(3-1-b) 0例4(如图(4-1)，在ΔABC中，ACB =90，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，， PC=2。求BPC的度数。， ’P2CC 322 P3131PAABB ? 图(4-1) 图(4-2) ,,,简解:在RtΔABC的外侧，作BC=ACP，且C=CP=2，连结P。 PPP，， ,,,,则ΔBC?ΔACP。易证RtΔCP为等腰直角三角形，在ΔPB中，B=3，BP=1，PPPP 0,,,P2=2，由勾股定理的逆定理可知，ΔPB为RtΔ为RtΔ，PB=90 PPP， 00 ,,?BPC=CP+PB=45+=13590PP，，， 0例5. 如图(5-1)，在ΔABC中，BAC =90，AB=AC，ΔABC内一点O，AO=2cm,如果把Δ， 0ABO绕A点按逆时针方向转动90，使AB与AC重合，则O点经过的路径长为__________。 A O, O BC 图(5-1) 0例6( 如图(6-1)，五边形ABCDE中， ABC=AED=90，AB=CD=AE=BC+DE=1，，，则这个五边形ABCDE的面积等于______________。(2003年宁波市至诚杯竞赛题) 3 DDEE C,C C BABA ? 图(6-1) 图(6-2) ,,,,简解:延长DE至使得E=BC，连结A，则ΔAE?ΔABC(SAS) CCCC , ?AB=CD=AE=BC+DE=1，?CD =D C , ?ΔCAD?ΔAD(SSS) C 1，，，?S=2 S=2(11)=1 ?C’DAABCDE2 (四) 三角形与圆混合类型 0,将ΔCAD绕A点按顺时针方向旋转60到ΔBA，经过旋转变化，将图(3-1-a)D ,,中的DC与BD组合在一条直线上，见图(3-1-b)此时BD是个平角，ΔAD，DD 为正三角形。 AA ooD,BBCC DD ? 图(3-1-a) 图(3-1-b) BC例7( 如图(7-1)，正三角形ABC内接于?O，P是劣弧上任意一点，PA=2，则四边形ABPC的面积为______________。 A A ooP,BCBC PP ? 图(7-1) 图(7-2) ,,,,简解:延长PB至使得B=PC，连结A，则ΔAB?ΔAPC(SAS) PPPP0,,?A=AP，AB=PAC，又 ?BAC=60 PP，，， ,?ΔAP为正三角形 P 3?S = S = 四边形?AP’PABPC 4

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