09微固§2.5正交化平面波方法法与赝势法 － 2013年电子科技大学最新固体微观理论课件
电子科技大学微电子与固体电子学院 博士研究生试用
教材
民兵爆破地雷教材pdf初中剪纸校本课程教材衍纸校本课程教材排球校本教材中国舞蹈家协会第四版四级教材
(2009)
固体微观理论 第2章 能带理论?2.5 正交化平面波法与赝势法
?2.5 正交化平面波法与赝势法
2.5.1正交化平面波法
前面介绍的平面波方法的优点是，概念简单明了，缺点是收敛太慢，通常需要解几百个到上千个行列式，才能得到满意的结果。1940年赫令(C.Herring)提出了一个正交平面波法(orthongalized plane wave OPW)。
平面波法收敛太慢的原因是，因为导带电子的实际波函数在离子实区(芯区)有多次振荡，要描述这样性质的波函数，需要用大量的平面波来叠加。Herring注意到导带电子的波函数的振荡部分主要出现在芯区，此波函数又必需与内层电子的波函数正交。而与内层电子态正交的平面波，必然会在芯区内引进振荡部分，这种平面波恰好能用来描述导电电子的特征。
与内层电子态正交的平面波称交化平面波(OPW)。图2.5.1正交化平面波的构成形式。 Herring对内层电子状态，用紧束缚近似来描述
1ik,Ratl，，,，,e,r,R (2.5.1) ,ikjlN
定义一个正交化平面波
M1，，ik，k,ri，，，，,kr,e,,,r, (2.5.2) ,iijjk，kiN,j,1
式中M为内层电子状态，,用正交条件来决定。 ij
式(2.5.2)表示展开基函数不用单纯波矢为k + G(G为倒格的布拉维格子)的平面波，而是在此之上加一点含有原子核附近具有大动量的孤立原子波函数成分。这样，对于一个基函数，就会反映了原子核附近大动量成分以及两个原子中间的k波矢成分后使收敛将大大加
18
电子科技大学微电子与固体电子学院 博士研究生试用教材(2009)
固体微观理论 第2章 能带理论?2.5 正交化平面波法与赝势法 快。
利用正交化平面波晶体电子的尝试波函数
s
rkr,,,,, (2.5.3) ，，，，,kii,1i
,为变分参量，将, (r)代入Schrodinger方程，可得重叠积分J。并对它求变分， ik
,J ,0,,,i
为了使有异于零的解，可从对应的变分行列式中可求得能量，于是得到晶体中电子的能态。在整个处理中，加上了芯态电子的波函数，使得用平面波展开电子波函数时需要的数目大为减少;正交化项起着抵消电子势能的作用，这样一来，势能就比较平滑，可以采用自由电子近似方法来处理。
赫曼(Herman)和希尔(Hill)用OPW法计算金属铍的能带;1952年帕门特尔1940年
(Parmenter)用此计算了金属锂的能带;后来Herman又用它来计算金刚石和锗的能带;伍杜拉弗(Woodraff)计算了硅的能带;Herman等还用来计算III-V族和II-VI族化合物半导体的能带。以上用OPW的结果都比较和实际情况符合。
目前许多资料上给出的锗、硅能带图，大都是OPW法得来。方俊鑫书上(文献[1])有用OPW计算锂能带的过程，有兴趣的读者可以找来看一看。
2.5.2赝势概念的提出
我们知道，在原子实附近，电子的波函数具有急速振荡的特征，所以与平面波有明显的差别。波函数的性质主要由势场的特性来决定的。自由电子是在恒定势场下运动的，在一些金属中电子的有效质量与真实电子非常接近，这说明在这些材料中，电子所得处的势场与恒定势场差别并不是太大，比较接近于一个恒定的势场。
19
电子科技大学微电子与固体电子学院 博士研究生试用教材(2009)
固体微观理论 第2章 能带理论?2.5 正交化平面波法与赝势法
赝势法是在OPW正交化平面波函数的基础之上，用变分法求得一个赝波函数,()，这是一个比较平滑的函数，在原子实附近不再振荡，得到的赝势为 ,,,，，Ck,ii
，，，，，， Vr,Vr，E,E,，，, (2.5.4) ,pjjkjk
由于是赝势波函数,光滑的，晶体势场是一个吸引势，所以V(r)为负值，;价电子的能量E，总是大于内层电子的能量E，因而E,E项是正值，它表示排斥作用。 jj
在赝势法的势能项中，由于存在排斥项，在某种程度上起着抵消吸引势的作用，所以总赝势W就比较小，也比较平滑，这样一来，晶体电子所处的状况与自由电子接近了。图(2.5.2)是晶体中的周期性势场与赝势场的比较，同时还给出了Bloch波函数与赝波函数的特性。由图可见赝势比较平滑，赝波函数在原子实附近也不像Bloch波函数那样振荡。 2.5.3对赝势法的讨论
1. 为什么引进赝势后使计算得到简化,
实际上赝势方法是一种数学变换，用赝
势去替代真实势，而保持系统的能量不变。
4+图2.5.3(a)示出Si原子核附近真实势和赝
势的径向部分。图2.5.3(b)示出原子核附
近真实波函数与赝波函数的径向部分。通常
能带波函数要求正交-内层电子波函数。这相
当于一个排斥作用，这种排斥作用部分抵消
了靠近原子核处强吸引，而使等效赝势在靠
近原子核处变得较为平坦。这种现象称为抵
消(cancellation)现象。这种抵消作用在图
2.5.3(a)中明显地反映了出来。与此相对应，
在图2.5.3(b)中赝波函数在原子核附近没
有很快的振荡的大动量部分，因此比较平坦。
在图中的r>R部分赝势与真实势趋于一致，c
赝波函数与真实波函数形状也趋于一致(但
可能会差一个幅度因子)。而我们讨论的价带
中的电子或导带中的电子大部分位于附近的
位置。所以用赝势法得到的结果与这些电子的性质是很接近的。为此在能带计算时可以选用少数几顶的平面波描写的赝波函数就能得到理想的结果。
2. 赝势的引并非唯一
研究中发现，赝势的引入并非唯一。如前面讨论过的APW法也可以归为赝势。研究中还发现，赝势的细节对能带结构的影响并不是很大。因此后来发展了经验赝势、模型赝势和自洽赝势等方法。目前人们在计算时主要在于选取一个最好的赝势，它在紧靠原子核处尽可能平坦而浅，在两原子中间地区趋于真实势。这样用很少几个平面波展开就能得到很好的结果。
3. 赝势法的应用
利用赝势法所算出的能带结构不仅与实验结果符合得相当好，而且计算出的赝波函数，除了紧靠原子核处与真实波函数不符外，其它部分区域与真实波函数是非常符合的。目前，赝势法已被人们公认为计算半导体电子结构最可靠的方法。它的计算结果与实验结果在定量上符合得很好。
20
浙公网安备 33021202002483