切线长定理与弦切角定理(邦德讲义)
切线长定理与弦切角定理(邦德讲义)
初三数学 2006年11月
【知识要点】
一、切线长定理:
1(切线长概念:
在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的R，叫做这点到圆的切线长(
2(切线长和切线的区别
切线是直线，不可度量;而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量(
3(切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角(
要注意:此定理包含两个结论，如图，PA、PB切?O于A、B两点，?PA=PB?PO平分?APB(
4(两个结论:
圆的外切四边形对边和相等;
圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长(
二、弦切角定理:
1(弦切角概念: 理解体弦切角要注意两点:?角的顶点在圆上;?角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端点的一条射线(
2(弦切角定理:
弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以这样说:弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半(
3(弦切角定理的推论:
推论:如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等(
【典型例题】
?PED的周长为24?，?APB?40?，例1 已知PA、PB、DE分别切?O于A、B、C三点，若
PO=13?，
求:??O的半径;??EOD的度数(
1
初三数学 2006年11月
例2 如图，?O分别切?ABC的三边AB、BC、CA于点D、E、F，若BC?a,AC?b,AB?c( (1)求AD、BE、CF的长;(2)当?C?90?，求内切圆半径r(
B
例3 如图，?O是?ABC的外接圆，?ACB
的平分线CE交AB于D，交?O于E，?O的切线EF
交CB的延长线于F(求证:AE2?AD?EF
例4 如图，AB为?O的弦，CD切?O于P，AC?CD于C，BD?CD于D，PQ?AB于Q( 求证:PQ2?AC?BD
2
C
初三数学 2006年11月
【课堂专练】
1(如图，PA、PB分别切?O于点A、B，OP与?O相交于点M,以下结论，错误的是( )
A、OP?AB B、 AM?DM
C、?
APO??BPO D、M是?PAB的外心
2(若?O
的切线长和半径相等，则两条切线所夹的角的度数为:(
A、30? B、45? C、60? D、90?
3(四边形中，有内切圆的是( )
A、平行四边形 B、菱形 C、矩形 D4(如图，直线BC切?O于点A，则图中的弦切角共有( )
A、2个 B、3个 C、4个 D、6个 P
5(如图，AB为?O的直径，DB、DC分别切?O于B、C，若?ACE?25?，则?D为( )
A、50? B、55? C、60? D、65?
6(圆的外切平行四形一定是形(
7(圆外切梯形的周长为24cm，则它的中位线的长是 ?(
8(如图，AB是?O的直径，CE切?O于C，CD?AB于D(
若?ECB?60?,CD?3，则sinA? ，BD9(如图，?O是?ABC
的内切圆，D、E、F为切点，
?A:?B:?C?4:3:2，则?DEF??FEC10(直角三角形的两条直角边为5?、12?， 则此直角三角形的外接圆半径为 ?， 内切圆半径为
?( 11(如图，直线AB、BC、CD分别与?O相切于点E、F且AB?CD，若OB=6?，OC=8?，则?BOC? ， ?O的半径= ?，BE+CG= ?( 12(如图，PA、PB是?O的切线，AB交OP于点M， 若OM?2cm,AB?PB，则?O的半径是 ?( 13(如图，四边形ABCD是直角梯形，以垂直于底的腰AB为直径 的?O与腰CD相切于E，若此圆半径为6?，梯形ABCD的周长为38?， 求梯形的上、下底AD、BC的长(
3 C
初三数学 2006年11月
14(如图，AB为?O的直径，过B作?O的切线，C为切线上一点，连OC交?O于点E，AE的延长线交BC于D((1)求证:CE2?CD?CB((2)若AB?BC?2，求CD的长(
【闯关练习】
1(如图，Rt?ABC中，?BAC?90?，以AB为直径的?O交BC于点D，切线DE交AC于E(求
1
证:DE?AC(
2
2(如图，AB是?O的直径，AD、BC、CD是?O的切线，切点分别为
A、B、C、DO交AE
于F，OC交BE于G(求证:(1)CO?DO
(2)四边形EFOG是矩形;(3)FG2?AD?BC(
4
C
C
O
B
初三数学 2006年11月
3(如图，?O的直径AB=12?，AM和BN是?O的两条切线，DC切?O于E，交AM于D，交BN于C，设AD?x,BC?y((1)求y与x的函数关系，并说明是什么函数,(2)若x、y是方程2t2?30t?m
?0的两根，求x、y的值((3)求?COD的面积(
4(如图，BC为?O的直径，(1)试猜想?AED?， 过点A的切线与CD的延长线交于点E(是否等于90?,为什么,(2
)若AD?ED:EA?
1:2，求?O的半径(
5(如图，梯形ABCD
内接于?O，AD?BC，过B引?O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F( (1)求证:AB2?AE?BC;(2)已知BC=8，CD=5，AF=6，求EF的长(
M
5
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