高数下册公式[新版]

高数下册公式[新版] 平面的方程: ,1、点法式:A(x,x)，B(y,y)，C(z,z),0，其中n,{A,B,C},M(x,y,z)00000002、一般方程:Ax，By，Cz，D,0 xyz3、截距世方程:，，,1abc Ax，By，Cz，D000平面外任意一点到该平面的距离:d,222A，B，C x,x，mt,0x,xy,yz,z,,000空间直线的方程:,其中{,,};参数方程:,,,ts,mnpy,y，nt,0mnp,z,z，pt0,多元函数微分法及应用 ,z,z,u,u,u全微分:dz,dx，dy　　　du,dx，dy，dz,x,y,x,y,z多元复合函数的求导法: dz,z,u,z,vz,f[u(t),v(t)]　　　,,，,　dt,u,t,v,t ,z,z,u,z,vz,f[u(x,y),v(x,y)]　　　,　,，,,x,u,x,v,x 当u,u(x,y)，v,v(x,y)时， ,u,u,v,vdu,dx，dy　　　dv,dx，dy　,x,y,x,y 隐函数的求导公式: 2FFFdydy,,dyxxx隐函数F(x,y),0，　　,,，　　,(,)，(,),2dxF,xF,yFdxdxyyy FF,z,zyx隐函数F(x,y,z),0，　,,，　　,, ,xF,yFzz 微分法在几何上的应用: ,x,(t),xxyyzz,,,,000,y(t)M(x,y,z)空间曲线,在点处的切线方程:,,,000,,,,,,(t)(t)(t)000,,z,(t), ,,,M(t)(xx)(t)(yy)(t)(zz)0在点处的法平面方程:,，,，,,,,,000000 F(x,y,z)0M(x,y,z)曲面,上一点，则:000,1、过此点的法向量:n,{F(x,y,z),F(x,y,z),F(x,y,z)}x000y000z0002F(x,y,z)(xx)F(x,y,z)(yy)F(x,y,z)(zz)0、过此点的切平面方程:,，,，,,x0000y0000z0000 ,,,xxyyzz000、过此点的法线方程:,,3F(x,y,z)F(x,y,z)F(x,y,z)x000y000z000方向导数与梯度: ,f,f,f,,函数z,f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为:,cos，sin,l,x,y,其中为x轴到方向l的转角。 ,,,f,f函数z,f(x,y)在一点p(x,y)的梯度:gradf(x,y),i，j,x,y ,,,f,,它与方向导数的关系是:,gradf(x,y),e，其中e,cos,i，sin,j，为l方向上的,,,l 单位向量。 ,f？是gradf(x,y)在l上的投影。,l 多元函数的极值及其求法: 设(,),(,),0，令:(,),,　(,),,　(,),fxyfxyfxyAfxyBfxyC0000000000xyxxxyyy ,,0,(,)为极大值Axy,002,,0时，ACB,,,0,(,)为极小值Axy,00, ,2则:,,0时，　　　　　　无极值ACB, 2,,,0时,　　　　　　　不确定ACB, ,, 柱面坐标和球面坐标: , x,rcos,,,,,柱面坐标:y,rsin,　　　f(x,y,z)dxdydz,F(r,,z)rdrddz,,,,,,,,,,,z,z,,,,其中:F(r,,z),f(rcos,rsin,z) ,,x,rsincos, ,,,,,,,,,2球面坐标:y,rsinsin，　　dv,rd,rsin,d,dr,rsindrdd, ,, z,rcos, ,,r(,),,222,,,,,,,,,,f(x,y,z)dxdydz,F(r,,)rsindrdd,ddF(r,,)rsindr,,,,,,,,,,,000 111,,,,重心:x,xdv,　　y,ydv,　　z,zdv，　　其中M,x,dv,,,,,,,,,,,,MMM,,,, 222222转动惯量:I,(y，z,)dv，　　I,(x，z,)dv，　　I,(x，y),dvxyz,,,,,,,,,,,,曲线积分: 第一类曲线积分(对弧长的曲线积分): ,x,(t),,,,,f(x,y)LL,(t),设在上连续，的参数方程为:　　则:,,,y(t), ,,xt,22,,,,,,,,f(x,y)ds,f[(t),(t)](t)，(t)dt(,)　　　　特殊情况:,,,y,,(t),L, 第二类曲线积分(对坐标的曲线积分): ,x,(t),设L的参数方程为，则:,,y,(t), , ,,,,,,,,P(x,y)dx，Q(x,y)dy,{P[(t),(t)](t)，Q[(t),(t)](t)}dt,,L, ,,,,两类曲线积分之间的关系:Pdx，Qdy,(Pcos，Qcos)ds，其中和分别为,,LL L上积分起止点处切向量的方向角。 ,Q,P,Q,P格林公式:(,)dxdy,Pdx，Qdy格林公式:(,)dxdy,Pdx，Qdy,,,,,,,x,y,x,yDLDL ,Q,P1当P,,y,Q,x，即:,,2时，得到D的面积:A,dxdy,xdy,ydx,,,,x,y2DL ?平面上曲线积分与路径无关的条件: 1、G是一个单连通区域; ,Q,P2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且,。注意奇点，如(0,0)，应,x,y 减去对此奇点的积分，注意方向相反～?二元函数的全微分求积: ,Q,P在,时，Pdx，Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中:,x,y xy(,) u(x,y),P(x,y)dx，Q(x,y)dy，通常设x,y,0。00,(x,y)00 曲面积分: 22对面积的曲面积分:f(x,y,z)ds,f[x,y,z(x,y)]1，z(x,y)，z(x,y)dxdyxy,,,,,Dxy 对坐标的曲面积分:P(x,y,z)dydz，Q(x,y,z)dzdx，R(x,y,z)dxdy，其中:,,, R(x,y,z)dxdy,,R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正号;,,,,,Dxy P(x,y,z)dydz,,P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号;,,,,,Dyz Q(x,y,z)dzdx,,Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。,,,,,Dzx 两类曲面积分之间的关系:Pdydz，Qdzdx，Rdxdy,(Pcos,，Qcos,，Rcos,)ds,,,,,, 级数审敛法: 1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法): ,,1时，级数收敛, ,,,n设:,limu，则,1时，级数发散,nn,,,,,1时，不确定, 2、比值审敛法: ,,1时，级数收敛,U,n1，,,设:,lim，则,1时，级数发散,n,,Un,,,1时，不确定, 3、定义法: s,u，u，？，u;lims存在，则收敛;否则发散。n12nnn,, 交错级数u,u，u,u，？(或,u，u,u，？,u,0)的审敛法——莱布尼兹定理:1234123n u,u, nn，1,如果交错级数满足，那么级数收敛且其和s,u,其余项r的绝对值r,u。,1nnn，1limu,0n,n,,, 绝对收敛与条件收敛: (1)u，u，，u，，其中u为任意实数;？？12nn (2)u，u，u，，u，？？123n 如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数; 如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。 n1(,1)调和级数:发散，而收敛;,,nn 1　　级数:收敛;,2n ,,,时发散1　　p级数:　　,pnp,1时收敛 幂级数: 1x,1时，收敛于23n1,x1，x，x，x，，x，　　？？ x,1时，发散 2n对于级数(3)a，ax　，ax，，ax，，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全？？012n x,R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使x,R时发散，其中R称为收敛半径。 x,R时不定 1,,0时，R,, an，1,,求收敛半径的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 :设lim,，其中a，a是(3)的系数，则,0时，R,，,nn，1n,,an,,，,时，R,0 函数展开成幂级数: ()n,,f(x)f(x)2n00函数展开成泰勒级数:f(x),f(x)(x,x)，(x,x)，？，(x,x)，？00002!n! (1)n，f(),1n， 余项:R,(x,x),f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是:limR,00nnn,,(n，1)! ()n,,f(0)f(0)2n,x,0时即为麦克劳林公式:f(x),f(0)，f(0)x，x，？，x，？02!n!一些函数展开成幂级数: m(m,1)m(m,1)？(m,n，1)m2n(1，x),1，mx，x，？，x，？　　　(,1,x,1)2!n! 352n,1xxxn,1sinx,x,，,？，(,1)，？　　　(,,,x,，,)3!5!(2n,1)! 欧拉公式: ix,ix,，eecos,x,,2ixcossin,，exix　　　或 ,ix,ix,ee,sin,x,2, ,,,anxnx0,，，,f(x)(acosbsin)，周期2l,nn2lln,1 l,,1nx,,af(x)cosdx　　　(n0,1,2？) ,n,ll,,l其中,l1n,x,b,f(x)sindx　　　(n,1,2,3？)n,,ll,l, 微分方程的相关概念: ,一阶微分方程:y,fxy　或　Pxydx，Qxydy,(,)(,)(,)0可分离变量的微分方程:一阶微分方程可以化为gydy,fxdx的形式，解法:()()gydy,fxdx　　得:Gy,Fx，C称为隐式通解。()()()(),, dyy ,齐次方程:一阶微分方程可以写成,fxy,xy，即写成的函数，解法:(,)(,)dxx ydydududxduy,设u,，则,u，x，u，,u，？,分离变量，积分后将代替u，()xdxdxdxxu,ux,()即得齐次方程通解。 一阶线性微分方程: dy1、一阶线性微分方程:，P(x)y,Q(x)dx Pxdx,(),当Q(x),0时,为齐次方程，y,Ce PxdxPxdx(),(),,当Q(x),0时，为非齐次方程，y,(Q(x)edx，C)e, dyn2、贝努力方程:，P(x)y,Q(x)y，(n,0,1)dx 全微分方程: 如果P(x,y)dx，Q(x,y)dy,0中左端是某函数的全微分方程，即: ,u,u du(x,y),P(x,y)dx，Q(x,y)dy,0，其中:,P(x,y)，,Q(x,y),x,y？u(x,y),C应该是该全微分方程的通解。 二阶微分方程: 2f(x),0时为齐次dydy ，P(x)，Q(x)y,f(x)，2dxdxf(x),0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法: ,,,(*)y，py，qy,0，其中p,q为常数; 求解步骤: 22,,,1、写出特征方程:(,)r，pr，q,0，其中r，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数; 2、求出(,)式的两个根r,r12 3、根据r,r的不同情况，按下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 写出(*)式的通解:12 (*)式的通解 r，r的形式12 rxrx212两个不相等实根 (p,4q,0)y,ce，ce12 rx21两个相等实根 (p,4q,0)y,(c，cx)e12 2,x一对共轭复根 (p,4q,0)y,e(ccos,x，csin,x)12,,,,，r,，ir,,i12 2 4q,pp,，,,,,22 二阶常系数非齐次线性微分方程 ,,,y，py，qy,f(x)，p,q为常数 ,x,f(x),eP(x)型，为常数; m ,xf(x),e[P(x)cos,x，P(x)sin,x]型ln