漫谈“蚂蚁爬行的最短路程”

漫谈“蚂蚁爬行的最短路程” 漫谈“蚂蚁爬行的最短路程” 2005年第5期中学数学研究15 时适度地利用这一优势,帮助学生在动态环境 中观察,探索,发现数学知识的形成过程. 如为了让学生理解三角函数的本质,我设 计了如下多媒体辅助教学: 多媒体在教学中的作用是"辅助".但教师 "辅助"不当,会产生许多不良效果,如使学生 的形象思维局限于屏幕上出现的画面,不利于 创造思维的培养;或使学生分散注意力,只注意 好看的画面,好听的声音,不进行深刻的思考, 等等. 初中数学课堂教学改革中要把握的"度" 还很多,如组织开展学生课堂活动的"度",教 师的开放度,学生的参与度等.正是由于把握 不好"度",才出现了各种误区:以"集体备课" 代替个人备课,以"满堂问"代替"满堂灌",以 "电子板"代替"黑板",以"少讲少练"代替"精 讲精练",以"讨论活动"代替"讲授"等等.只 有把握好"度",才能在课堂教学中真正实施新 课标的先进理念. 如何把握好初中数学课堂教学改革中要 把握的"度",进一步提高数学课堂教学效率和 质量,还有待于广大第一线的教师进一步实 验,研究和探索. 参考文献: 1.申建春.数学课程改革的核心:改变学生的学 习方式.湖南教育,2002第1期 2.刘红.改革学习方式促进学生发展.安徽教育, 2003第l2期 3.卢惠龙.走出农村初中数学课堂教学改革的误 区.中小学数学,2004第l0期 漫谈"蚂蚁爬行的最短路程" 广东省珠海市斗门区第二中学(519100)钟伟荣 北师大版八年级(上)教材 Pl3有这样一个问题:如图1,有一 个圆柱,它的高等于12厘米,底面 半径等于3厘米.在圆柱下底面的 A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面 上与A点相对的点处的食物,需 要爬行的最短路程是多少? 这是一个非常有趣 的问题.蚂蚁从圆柱下 底面上的一点要爬到与 之相对的上底面上的一 点,且要求所走的路线 最短,看上去是一个难 图1 图2 以解决的路线问题,但只要本着"自主探索,合 作交流"的理念,让学生尝试动手操作,最终会 发现此问题的解决方法:将圆柱的侧面展开, 就会在展开图(图2)中寻找出最短路线AB.下 面笔者结合教学实践对此问题进行探讨与延 伸. 一 ,蚂蚁在"圆柱"上爬行 例1将原题中的"它的高等于12厘米, 底面半径等于3厘米"改为"它的高等于h厘 米,底面半径等于r厘米",其它不变. 1.在侧面上爬行 分析:若只限蚂蚁于圆柱侧面爬行,很明 显,只要将圆柱沿侧面剪开,展成如图2所示的 矩形,则点是矩形长边的中点,根据"两点之 16中学数学研究2005年第5期 间.线段最短"可知从点A到点的最短路线有 两条,并且长度是相等的.根据勾股定理得 AB:~/AC+BC = ~/h+(不r)(厘米). 所以蚂蚁爬行的最短路程是 ~/h+(不r)厘米. 2.在表面上爬行 分析:若蚂蚁在表面爬行,因圆柱的高矮, 半径大小不同,蚂蚁除沿上述两条路线爬行 外,还可以沿A—C—爬行,并且有可能是 最短的,故要分类讨论. 设AB=厘米,A—C—路线的长度 为Y厘米,贝0=h+(不r),Y:h+2r. ?当=Y时, h+(不r):(h+2r), 解得:h:,; ?当>Y时, h+(7rr)>(h+2r), 解得:h<r; ?当<Y时, h+(7rr)<(h+2r), 解得:h>,. 't 由上可知,当h:I_,时,沿AB和沿 't A—c—B爬行的路程一样;当h<—, 时,沿A—c—日爬行的路程最短;当h> ,时,沿AB爬行的路程最短. 评点:探索"蚂蚁在 圆柱上爬行",不要受课 本结论的影响,而要看清 楚"爬行"的条件,按新课 标的要求认真培养学生 在分 "自主探索"的能力, 析中学会探索,在比较中图3 获得正确答案.但无论如何,探讨此类问题的 思路是"化曲为直",把立体几何问题转化为平 面几何问题来思考. 二,蚂蚁在"棱柱"上爬行 例2如图3,有一 个长方体盒子,它的长是 70cm,宽和高都是50cm,A 在A点处有一只蚂蚁,它 想吃到点处的食物, 图4 那么它爬行的最短路程是多少? 分析:从A点爬到点的路线有很多,通 过分析,计算,比较,其最短路线还是如图4的 长方体的侧面展开图中线段AB的长度: AB:丽:130(.m). 评点:此类问题的基本思路是"化折为 直",并且要把空间问题转化为平面问题.长方 体也有侧面与表面之分,但在这里就不再一一 展开阐述了.所以遇到此类问题时,一定要通 过分析比较,讨论所有可能路线的长度后才能 得出结论,尤其是当棱柱的各条棱长差异特别 大时,更要小心,不要武断地下结论.如把例2 中的长方体的高改为5cm时,则蚂蚁沿A—c — 路线爬行的路程最短. 三,蚂蚁在"圆锥"上爬行 例3如图5,有一个圆锥,它 的底面半径是2cm母线长是8cm, 在点A处有一只蚂蚁,它想吃到与 A点相对且离圆锥顶点6cm的点 处的食物,蚂蚁爬行的最短路程是 多少? 分析:要求得蚂蚁 爬行的最短路程,其思 路还是"化曲为平",将 圆锥的侧面展成如图 6所示的扇形,则BC 图5 D() 是ACD的平分线,图6 线段AB就是蚂蚁爬行的最短路线.而由弧长 公式,可求得 2005年第5期中学数学研究17 cD=?=90.. 过作AE_上_BC于E,则AE:CE:4,/2 . - .BE:(6—4)(cm). . - .AB:,/(4)+(6—4) 5.67(c,n). 例4如图7,一个圆锥的底 面半径为10,母线长为30,为底 面圆周上一点,现有一只蚂蚁由 点出发,绕侧面爬行一周回到 点,求蚂蚁爬行的最短路程是多 少?图7 分析:将圆锥沿它的母线剪开 展成如图8的扇形,根据"两点之间,线段最 短",可知AC就是蚂蚁由点出发绕侧面爬行 一 周回到点的最短路程,这样就把问题转化 为等腰三角形的问题了.再由弧长公式得 雠= . ? . 鲋D= ACB=3(y.. 过B作BDj_ AC于D,则 BD:佃:15, :12(y.. 图8 () . - .AD:~/3o2—15:15. . - .AC:30. 即蚂蚁爬行的最短路程是30?3. 评点:蚂蚁在圆锥上的爬行问题看起来很 抽象,但如果按照"化曲为直"的思路,把圆锥 的侧面展开,转化为平面几何问题,就变得直 观多了.当然还要熟练运用勾股定理,三角形, 弧长公式等知识. 四,蚂蚁在"圆台"上爬行 例5如图9,有一个圆台,上底半径为 3cm,下底半径为8cm,母线长为30cm,在点 处有一只蚂蚁,与点相对的B点处有食物, 求蚂蚁从点爬行到B点的最短路程. () , , 卞,, :\ 图9图l0 Df4) 分析:其解题思路类似于例1和例3,需要 分蚂蚁在圆台侧面和表面爬行两种情况来考 虑,在这里不再详述.本题只要通过计算,比较 一C—B路线与AB的长度,就可知道沿图 10中的线段AB爬行就是要求的最短路程.怎 样求AB的长呢?令AOC=12,OC:rcm,则 rn不r^^f不j' I坚:2不×8.180一"' 解得:n=6《).,r=l8. 过作AE上OB于E,则 o:30.,E:—:24(cm), . - .OE:~/48一24:24(cm), . - . BE:24一18(cm), . - .AB:,/242+(24?3—18)33.64(cm). 评点:解决此类问题除"化曲为平"外,还 要考虑不同的路线对结果的影响.当圆台的上 底面的半径逐渐变为下底面的半径时,圆台就 会逐渐变为圆柱了,所以要通过计算比较才能 确定哪一条路径最短.因为随着圆台上,下底 面半径与母线的长度的改变,蚂蚁沿着一C —B的路线也有可能是最短的. 教材中"蚂蚁怎样走最近"的篇幅不多,但 本节课蕴含的数学知识,数学思想方法却很 多.教学中只要本着"一切为了学生的发展"这 个宗旨,放手让学生去操作和"自主探索",新 课改的路子就会越走越宽阔,学生的思维能力 就会越来越强.