B（H）上完全保立方幂零算子的可加映射（可编辑）
B(H)上完全保立方幂零算子的可加映射
第 卷第 期 纺 织 高 校 基 础 科 学 学 报 . , . 年 月 ,文章编号:
日 上完全保立方幂零算子的可加映射
路召飞 ,黄 丽 ,殷雪剑
.太原科技大学应用科学学院,山西太原; .安徽大学数学科学学院,安徽合肥
摘要:刻画了无限维复空间上完全保立方幂零算子的可加映射.采用矩阵与算子理论的
方法
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,证明了这样的映射是同构或 复情形 共轭同构.
关键词:空间;立方幂零算子;可加映射;完全保持问题;同构
中图分类号: . 文献标识码:
算子代数上的保持问题是研究保持算子代数中某种特征不变的映射的刻画问题,其研究成果不仅丰
富了算子代数和泛函
分析
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原有的理论 引,而且在量子力学中也有其实际的应用背景.文献 刻画了
日 上双边保平方幂零性的可加映射,并证明了这样的映射是同构,共轭同构,反同构,共轭反同构.近年
来,有些学者把保持问题中的不变量放到更一般的算子空间上进行研究,得到完全保持这些不变量的映射
的刻画和分类.文献刻画了标准算子代数上完全保持幂等元或平方零元的映射,并证明了这样的映射
是同构或是共轭同构.文献 通过矩阵技巧将双边完全保持可逆性的映射化归为双边保持算子差的可
逆性的映射,并刻画了标准算子代数上完全保持可逆性的映射.本文考虑无限维复空间上完全保
立方幂零算子的可加映射的刻画问题,并给出了这样映射的具体结构.
令 和 是无限维的复数域 上的空间, 日
表
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示日上的有界线性算子全体; 日; . 厂 日,定义 厂: 一日为 一 秩不超过 的算子.
如果,则称是//一幂零算子,也称 是一幂零的;一幂零算子称为幂零算子;一幂零算子称为
立方幂零算子.
容易看出,算子 是幂等的铮; 是幂零的?.定义映射 :曰日?为?/ ,如果 保持立方幂零元,则称 是一
保立方幂零元;如果 , 是/一保立方幂零元的,则称 完全保持立方幂零元.
引理 设 和 是元限维的复空间.令 :一是可加满射.假定对每个一秩
幂等元 都有,则 双边保平方幂零性当且仅当存在非零复数 和从日到 的有界可
逆线性或共轭线性算子 ,使得:对所有的 ?成立;或 ’ 对所有的
? 日 成立.
定理 设日和 是无限维的复 空间.令 :曰日 一是可加满射.假定对每个一秩幂等
元 都有,则下列陈述等价:是双边完全保立方幂零算子的映射;
收稿日期: .
基金项目:太原科技大学博士科研启动基金资助项目
通讯作者黄丽一 ,女,山西省太原市人,太原科技大学讲师,博士. : .纺 织 高 校 基 础 科 学 学 报 第 卷是双边 .保立方幂零算子的映射;存在有界可逆线性或共轭线性算子 :日 和非零复数 ,使得 ~, ? 日.
证明 由于满足条件 的映射是双边完全保立方幂零算子的.从而有 .所以只需
证明.假设 是双边 一保立方幂零算子的可加满射.
断言 : .
日, 是立方幂零算子,所以耋暑; 是立方幂零算子,即, , 。.由于 是满射,则 ?,使得 取,由式 一 得到 , ,.由式 一 知 ,从而可得 .
断言 : 双边保平方幂零算子.
由于 是满射,则 ?,使得 % 设 ,则
。 ?日, 。 ?日, ;。
?日,\。 ‘ ,。车、。:薹;,。车 。?
所以 ,即 双边保平方幂零算子.
断言 :存在一个有界可逆线性或共轭线性算子 :日和非零复数,使得 ? , 成立.
由于 双边保平方幂零算子,所以 有引理 的形式.下面证明第二种情形不出现.假设 一, ?成立,对于任意的线性无关的向量 , ? ,则存在非零的 ? ’,使得 , , ,,,.令 一 ,,即有, , ,
.
因此有是立方幂零算子,但 ,,
不是立方幂零算子,矛盾.因此, 对于任意的 ?成立,即断言 成立.定理 证毕.
参考文献: 侯晋川,崔建莲.算子代数上线性映射引论.北京:科学出版社,.黄丽,侯晋川.标准算子代数上完全保可逆性或零因子的映射 .山西大学学报:自然科学版, , : . , . . , ,:. ,. ’. , , : .,. ., ,: . 黄丽,路召飞,李俊彬标准算 的可加映射.中北大学学报:自然科学版, ,:? .
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