2009宁夏高考数学试题答案(理数)

2009宁夏高考数学试题答案(理数)2009年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数学（理工农医类）一、选择题（每小题5分，共60分）（1）已知集合M={x|－3

2009年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数学（理工农医类）一、选择题（每小题5分，共60分）（1）已知集合M={x|－3 答案】B （2）已知复数，那么 = （A）（B）（C）（D）【解析】＝【答案】D （3）平面向量a与b的夹角为，，则（A） (B) (C) 4 (D)12 【解析】由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴ 【答案】B （4）已知圆C与直线x－y=0 及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（A） (B) (C) (D) 【解析】圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可. 【答案】B （5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（A）70种（B） 80种（C） 100种（D）140种【解析】直接法：一男两女,有C51C42＝5×6＝30种,两男一女,有C52C41＝10×4＝40种,共计70种间接法：任意选取C93＝84种,其中都是男医生有C53＝10种,都是女医生有C41＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种. 【答案】A （6）设等比数列{ }的前n 项和为，若 =3 ，则 = （A） 2 （B）（C）（D）3 【解析】设公比为q ,则＝1＋q3＝3 q3＝2 于是【答案】B （7）曲线y= 在点（1，－1）处的切线方程为（A）y=x－2 (B) y=－3x+2 (C)y=2x－3 (D)y=－2x+1 【解析】y’＝ ,当x＝1时切线斜率为k＝－2 【答案】D (8)已知函数 =Acos( )的图象如图所示，，则 = （A） (B) (C)－ (D) 【解析】由图象可得最小正周期为于是f(0)＝f( ),注意到与关于对称所以f( )＝－f( )＝【答案】B （9）已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是（A）（，） (B) ［，） (C)（，） (D) ［，）【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|) ∴得f(|2x－1|)＜f( ),再根据f(x)的单调性得|2x－1|＜解得＜x＜【答案】A （10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N个数据，，。。。，其中收入记为正数，支出记为负数。该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（A）A>0,V=S－T (B) A<0,V=S－T (C) A>0, V=S+T （D）A<0, V=S+T 【解析】月总收入为S,因此A＞0时归入S,判断框内填A＞0 支出T为负数,因此月盈利V＝S＋T 【答案】C （11）正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2 【解析】由于G是PB的中点,故P－GAC的体积等于B－GAC的体积在底面正六边形ABCDER中 BH＝ABtan30°＝ AB 而BD＝ AB 故DH＝2BH 于是VD－GAC＝2VB－GAC＝2VP－GAC 【答案】C （12）若满足2x+ =5, 满足2x+2 (x－1)=5, + ＝（A） (B)3 (C) (D)4 【解析】由题意 ① ② 所以 , 即2 令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1) ∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2 于是2x1＝7－2x2 【答案】C （13）某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为 h. 【解析】＝1013 【答案】1013 （14）等差数列的前项和为，且则【解析】∵Sn＝na1＋ n(n－1)d ∴S5＝5a1＋10d,S3＝3a1＋3d ∴6S5－5S3＝30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4 【答案】（15）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。则该几何体的体积为【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3, 体积等于 ×2×4×3＝4 【答案】4 （16）以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为。【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0), 于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4 而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5 两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立. 【答案】9 （17）（本小题满分12分）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km， 1.414， 2.449） (17)解: 在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， ……5分在△ABC中，即AB= 因此，BD= 故B，D的距离约为0.33km。 ……12分（18）（本小题满分12分）如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。（I）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。（18）（I）解法一：取CD的中点G，连接MG，NG。设正方形ABCD，DCEF的边长为2，则MG⊥CD，MG=2，NG= . 因为平面ABCD⊥平面DCED，所以MG⊥平面DCEF，可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。因为MN= ，所以sin∠MNG= 为MN与平面DCEF所成角的正弦值 ……6分解法二：设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图. 则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得 =(－1,1,2). 又 =（0，0，2）为平面DCEF的法向量，可得所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为 cos · ……6分 (Ⅱ)假设直线ME与BN共面， ……8分则AB 平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN 由已知，两正方形不共面，故AB 平面DCEF。又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB//EN。又AB//CD//EF，所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。所以ME与BN不共面，它们是异面直线. ……12分（19）（本小题满分12分）某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。（Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；（Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A）（19）解：（Ⅰ）依题意X的分列为 0 1 2 3 4 P ………………6分（Ⅱ）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2. B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2. 依题意知P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3， , 所求的概率为 ………12分（20）（本小题满分12分）已知，椭圆C过点A ，两个焦点为（－1，0），（1，0）。（1）求椭圆C的方程；（2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。（20）解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，（舍去）所以椭圆方程为。 ……………4分（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得设 , ,因为点在椭圆上，所以 ………8分又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为。 ……12分（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)= x －ax+(a－1) ，。（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对任意x ，x ，x x ，有。 (21)解：(1) 的定义域为。 2分（i）若即 ,则故在单调增加。 (ii)若 ,而 ,故 ,则当时， ; 当及时，故在单调减少，在单调增加。 (iii)若 ,即 ,同理可得在单调减少，在单调增加. (II)考虑函数则由于1

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