2011年四川理工学院数学建模
摘要:
在铅球投掷训练和比赛中,教练和运动员关心的核心问题是铅球的投掷距离的远近,而距离的远近主要取决于铅球的出手速度、出手角度、出手高度等等,它们对铅球投掷 距离的远近主次影响是怎样的呢?因为空气阻力等的影响相对比较微小,可以忽略不计,本文主要运用牛顿力学等物理、数学知识建立了铅球投掷过程的数学模型探讨出手速度、出手高度、出手角度这三个影响铅球投掷成绩的主要因素,然后运用数值法进行分析,计算出各影响因素对铅球投掷距离的影响程度,确定出各影响因素的主次关系,为制定科学的铅球训练
计划
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提供依据。
关键词:铅球投掷、数值法、最优出手角度、最远投掷距离
1 问题的提出
众所周知,铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度,并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。
在铅球的训练和比赛中,铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。影响铅球投掷远度的因素有哪些?建立一个数学模型,将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。最优的出手角度是什么?如果在采用你所建议的出手角度时,该运动员不能使初始速度达到最大,那么他应该更关心出手角度还是出手速度?应该怎样折中?
哪些是影响远度的主要因素?在平时训练中,应该更注意哪些方面的训练?试通过组建数学模型对上述问题进行分析,给教练和运动员以理论指导。
参考数据资料如下:
表1 李素梅与斯卢皮亚内克铅球投掷成绩
姓名
出手速度
出手高度
出手角度
实测成绩
李梅素
13.75
1.90
37.60
20.95
李梅素
13.52
2.00
38.69
20.30
斯卢皮亚内克
13.77
2.06
40.00
21.41
表2 我国优秀运动员的铅球投掷数据
姓名
成绩s(m)
出手速度
出手角度
出手高度
李梅素
19.40
13.16
40.27
2.02
李梅素
20.30
13.51
38.69
2.00
黄志红
20.76
13.58
37.75
2.02
隋新梅
21.66
13.95
39.00
2.04
李梅素
21.76
14.08
35.13
1.95
2 问题的分析
针对如何使铅球掷得最远,只需求得铅球在空中停留时间以及铅球在水平方向的速度即可,铅球投掷后在空中停留的时间可以凭借铅球投掷后在垂直方向上先以向上的速度运动到静止,再做自由落体运动落到地面求出。
3 基本假设
假设一:铅球在空中运动时所受到的空气阻力很小,可以忽略;
假设二:铅球在水平方向的运动可以近似看做是匀速直线运动;
假设三:铅球在垂直方向的运动只受到重力影响可近似看做是匀变速直线运动;
假设四:铅球抛出时运动员已到投掷圆边界,投掷远度等于铅球在水平方向运动的距离;
假设五:忽略海拔影响,重力加速度为9.8m/s2;
假设六:圆周率π用3.14表示;
假设七:铅球为一质点;
假设八:出手速度和出手角度无关。
4 定义符号说明
:铅球投掷后在空气中运动的时间
;
:铅球投掷后在垂直方向上以向上的速度运动到静止的时间
;
:铅球投掷后在垂直方向上达到顶点后自由落体落到地面的时间
;
:铅球投掷后的初始速度
;
:铅球投掷后在水平方向上的初始分速度
;
:铅球投掷后在垂直方向上的初始分速度
;
:铅球投掷后的初始出手角度
;
:铅球投掷后的出手高度
;
:铅球投掷后在垂直方向上运动到第一次静止时的行进路程
;
:铅球投掷后在垂直方向上达到最高点时距离地面的高度
;
:铅球投掷后的重力加速度
;
:铅球投掷的实测成绩
;
5 模型的建立
5-1图形示意
图1 图2
图3 图4
5-2根据图形示意可求函数:
;
;
;
;
;
;
;
。
5-3 建立数学模型
汇总以上所求函数加以简化可以得出以下函数:
模型检验:根据参考数据资料,计算测试成绩并与实测成绩作比较,计算误差
表3
姓名
出手速度(m/s)
出手高度(m)
出手角度(°)
实测成绩(m)
计算值(m)
相对误差(%)
李梅素
13.75
1.9
37.6
20.95
20.85634
0.447081
李梅素
13.52
2
38.69
20.3
20.42529
0.617181
斯卢皮亚内克
13.77
2.06
40
21.41
21.25415
0.727929
表 4
姓名
出手速度(m/s)
出手高度(m)
出手角度(°)
实测成绩(m)
计算值(m)
相对误差(%)
李梅素
13.16
40.27
2.02
19.4
19.55627
0.8055
李梅素
13.51
38.69
2
20.3
20.39805
0.483017
黄志红
13.58
37.75
2.02
20.76
20.53161
1.100145
隋新梅
13.95
39
2.04
21.66
21.67896
0.087557
李梅素
14.08
35.13
1.95
21.76
21.49256
1.229049
由上表可知相对误差控制在1%左右,所以模型合理。
6 模型的求解
6-1. 由模型可知,影响铅球投掷远度的因素有:出手高度h,出手速度v,出手角度α.
6-2. 在炮弹发射问题中(
),求得45°为最优发射角度,在铅球投掷过程中,因为受到出手速度v和出手高度h影响,所以最优出手角度偏离45°。
所以不同的出手速度v和不同的出手高度h之下最优出手角度不同,给出固定的出手速度v和出手高度h后,可用数值法进行计算求得最大的投掷距离下的最优出手角度。
观察参考数据资料,以出手速度v=13.5m/s,出手高度h=2m,将α从35°到50°划分为30个等长区间,求出最优出手角度的大概范围。
表5
数值模拟
α
v
g
h
s
α
v
g
h
s
35
13.5
9.8
2
19.97182
43
14
9.8
2
20.49353
35.5
13.5
9.8
2
20.04114
43.5
14
9.8
2
20.48297
36
13.5
9.8
2
20.10576
44
14
9.8
2
20.46718
36.5
13.5
9.8
2
20.16564
44.5
14
9.8
2
20.44614
37
13.5
9.8
2
20.22072
45
14
9.8
2
20.41984
37.5
13.5
9.8
2
20.27097
45.5
14
9.8
2
20.38827
38
13.5
9.8
2
20.31633
46
14
9.8
2
20.35142
38.5
13.5
9.8
2
20.35677
46.5
14
9.8
2
20.30928
39
13.5
9.8
2
20.39225
47
14
9.8
2
20.26184
39.5
13.5
9.8
2
20.42273
47.5
14
9.8
2
20.20911
40
13.5
9.8
2
20.44818
48
14
9.8
2
20.15108
40.5
13.5
9.8
2
20.46856
48.5
14
9.8
2
20.08776
41
13.5
9.8
2
20.48385
49
14
9.8
2
20.01913
41.5
13.5
9.8
2
20.49402
49.5
14
9.8
2
19.94522
42
13.5
9.8
2
20.49903
50
14
9.8
2
19.86602
42.5
13.5
9.8
2
20.49888
图5
根据以上图表,可知出手速度v=13.5m/s,出手高度h=2m时,最远投掷距离s=20.4993,最优出手角度α=42°,可知出手角度的大概范围在40°到44°之间。
同理,计算在参考数据中,计算投掷距离最远时的出手角度,得出表格
表6
姓名
出手速度
出手高度
出手角度
实测成绩(m)
最远投掷距离(m)
最优出手角度α(°)
李梅素
13.75
1.90
37.60
20.95
21.10672
42.4,42.5
李梅素
13.52
2.00
38.69
20.30
20.55499
42.2
斯卢皮亚内克
13.77
2.06
40.00
21.41
21.3089
42.3
表7
姓名
成绩s(m)
出手速度
出手角度
出手高度
最远投掷距离(m)
最优出手角度α(°)
李梅素
19.40
13.16
40.27
2.02
19.58812
42.1
李梅素
20.30
13.51
38.69
2.00
20.52728
42.2
黄志红
20.76
13.58
37.75
2.02
20.73984
42.2
隋新梅
21.66
13.95
39.00
2.04
21.80214
42.3,42.4
李梅素
21.76
14.08
35.13
1.95
22.09334
42.5
根据以上数据可知:不同运动员,最优出手角度不同,即使同一运动员出手速度、出手高度不同最优出手角度也不同,但是基本分布在42°-42.5°之间.
所以,由数值法分析可知,铅球运动员的最优出手角度在42°-42.5°之间。
6-3.
图6
图7
图8
图9
图10
图11
6-3-1.用excle进行计算在不同出手角度下,出手速度从12m/s到15m/s变化时的投掷距离如下表所示(假设出手高度h=2m):
表8
不同出手角度(°)
出手速度变化范围
最远投掷距离(m)
最近投掷距离(m)
距离差(m)
与最远距离偏差(%)
与最近距离偏差(%)
30
12m/s-15m/s
22.8875
15.5560
7.3315
32.03275
47.1297
35
12m/s-15m/s
24.1251
16.2349
7.8902
32.70533
48.6002
40
12m/s-15m/s
24.7834
16.5537
8.2297
33.2066
49.7154
42
12m/s-15m/s
24.8721
16.5722
8.2999
33.37033
50.0833
42.1
12m/s-15m/s
24.8739
16.5715
8.3024
33.37805
50.1007
42.2
12m/s-15m/s
24.8754
16.5705
8.3048
33.38572
50.1180
42.3
12m/s-15m/s
24.8766
16.5695
8.3071
33.39335
50.1352
42.4
12m/s-15m/s
24.8776
16.5682
8.3093
33.40094
50.1523
42.5
12m/s-15m/s
24.8783
16.5668
8.3115
33.40848
50.1693
45
12m/s-15m/s
24.8114
16.4787
8.3327
33.58413
50.5664
50
12m/s-15m/s
24.1845
15.9930
8.1916
33.87111
51.2198
由上表可知:在不同出手角度下,出手速度在12m/s-15m/s变化时引起的投掷距离距离差很大,约为7m到8m,占到最远投掷距离的32%-34%,占到最近投掷距离的47%-52%。
6-3-2. 用excle进行计算在不同出手速度下,出手角度从42°到42.5°变化时的投掷距离如下表所示:
表9
不同出手速度(m/s)
出手角度变化范围
最远投掷距离(m)
最近投掷距离(m)
距离差(m)
与最远距离偏差(%)
与最近距离偏差(%)
12
42°-42.5°
16.5283
16.52351
0.004794
0.029005
0.029013
12.5
42°-42.5°
17.78721
17.78406
0.003148
0.017695
0.017699
13
42°-42.5°
19.09559
19.0941
0.001488
0.007793
0.007794
13.2
42°-42.5°
19.63299
19.63201
0.000981
0.004995
0.004995
13.4
42°-42.5°
20.17845
20.17775
0.000698
0.003462
0.003462
13.6
42°-42.5°
20.73196
20.73078
0.001181
0.005698
0.005698
13.8
42°-42.5°
21.29355
21.29177
0.001786
0.008386
0.008387
14
42°-42.5°
21.86321
21.8607
0.002509
0.011475
0.011477
14.2
42°-42.5°
22.44093
22.4376
0.003332
0.014849
0.014851
14.5
42°-42.5°
23.32249
23.31788
0.004612
0.019774
0.019778
15
42°-42.5°
24.83174
24.82491
0.006832
0.027514
0.027522
由上表可知:在不同出手速度下,出手角度在42°-42.5°变化时引起的投掷距离距离差很小,约为0.001m到0.007m,占到最远投掷距离的0.001%-0.030%,占到最近投掷距离的0.003%-0.03%。
分析以上两组偏差数据,可知出手速度对投掷距离影响偏差约为7-8m,占到最远投掷距离的32%-34%,占到最近投掷距离的47%-52%,而出手角度对投掷距离影响偏差约为0.001-0.007m,只占到最远投掷距离的0.001%-0.030%,占到最近投掷距离的0.003%-0.03%。