一维谐振子的数值方法研究

一维谐振子的数值方法研究 1008 ) 1402( 2012) 06 ) 0958 ) 03: 文章编号 ? 一维谐振子的数值方法研究 陈海军 ( ,745000)陇东学院物理系甘肃 庆阳 :, 摘 要 利用数值计算方法研究了量子力学中的一维谐振子问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 简述了解析方法求解一维谐 ,, 振子问题的理论过程给出体系的能级及对应的定态波函数利用数值计算方法求解定态薛定谔 ,,, 方程得出了前三个能级和对应的波函数结果与理论计算结果完全一致最后利用有限差分法 ,,,求解含时薛定谔方程验证定态解的稳定性表明定态解在整个演化过程中是稳定的 :; ; ; 关键词 谐振子数值定态稳定性 TN972, 44A::中图分类号 文献标识码 ? Schrodinger 式的定态 方程 0引言2 d) ( Ψζ2 = 0+ ( ) ) ) ( ( 2) λ ζ Ψζ 2dζ 谐振子问题是量子力学和经典力学中的基本 2 ζ, ,,问题任何体系在平衡位置附近的振动例如分子 ,? ),( ) ,,:exp ( ) 显然当 ζ ? 时Ψζ因此令 ? 2,,的振动晶格的振动原子核表面振动以及辐射场 方程的解为 ,,的振动等等在适当的坐标变换之后都可以分解 , 为若干彼此独立的谐振动谐振动还可以作为任何 , ,复杂振动的初步近似在量子力学中谐振子问题 ,的精确求解过程不仅提供了一整套量子力学处理 ,具体问题的方法而且为处理其它量子力学问题提 ,供了物理基础 鉴于大多数量子力学教科书都提供了一维谐 ,振子问题的解析求解过程本文简述一维谐振子问 ,题的理论求解过程然后利用数值计算的方法求解 ,, 其定态解并研究其随时间的演化规律这种数值 ,求解过程是数值方法研究其它量子问题的基础 1 图 解析解波函数及波函数的模方 2 1 谐振子问题理论求解 ζ )( 3) ) = H( ) exp( ) ( Ψζζ 2 ,1, 根据量子力学教科书简述一维谐振子问题 ( 2) 代入方程得到 ,的理论求解过程 2 d H( ) dH( ) ζζ? )2 )1 ) H( ) = 0+ ( ( 4) ζ λ ζSchrodinger 描述体系的定态 方程是2dζ d ζ 2 2 d 1 Ψ 2 2 ) +mx = E( 1) ω Ψ Ψ,级数展开求解令 2 2m 2 dx ? v H( ) = a( 5) ζζ? v =,,选取无量纲单位长度单位 α 能量单v = 0 mω槡 ( 4) 代入方程得到递推公式ω ==位, x / ,E / ( /2) ,令 ζ αλ ω 得到无量纲形 2v ) + 1 λ 2 a= a( 6) vv +2 ( v + 1) ( v + 2) 2 ) exp( ) ( 6) H( 方程表明级数 ζ和 ζ具有相同的收 ,,H( ) 敛性是发散的因此必须取有 限 项 使 得 ζ变 H( ) ,为厄米多项式 ζ则有 n = 0a0,a= a( 7) ? v =n v +2 n +2 = 2n + 1, 得到 λ 则能量 1 E= ( n +) ( 8) ω n 2 E因此和 相应的归一化波函数是 n 2 α ζ ( ) = NH( ) exp( )) ,N=Ψζζ n n n n 1 n 2 2 2n!π 槡 ( 9) N,其中 为归一化系数 n 3 图 定态随时间传播过程 1前三个状态的能量及波函数表 E( ) Ψζ n λ n n 2 α ζ ω 槡 exp( ) ) n = 01 1 22 4π 2 2αζ 3ω 槡 exp( ) )ζ n = 13 1 2 2 4π α 5ω 2 2 ζn = 25 2槡 ( 2 )1 ) exp( ) )ζ 2 12 4π , 11 表 给出前三个状态的能量及其波函数图 n +1 n ( ) ) ( n = 0,n = 2) ΨΨ发态的粒子在势阱中心有一定概率 1jjn +1 n +1 n +1 i= ),( )2 + ) ΨΨΨ j +1jj )12 τ 2h,,出现其中处于基态的粒子在势阱中心出现的概 nnnn n )2 + ( + ) , + V ( 11) ,ΨΨΨΨ 率最大而处于第一激发态的粒子在势阱中心出现 jj +1 jj )1j2 0,,V = x的概率为 其中 是势能函数 2 3 0,1,2 | | n = 图 表示 所对应定态 Ψ 随时间 2定态问题数值计算 ,的传播过程即粒子出现概率空间分布随时间变化 ,量子力学中的大多数问题不可能求出解析解 , ( a) 过程图 表示基态概率分布随 时 间 的 传 播 过 因此利用数值计算方法研究谐振子问题具有重要 ,程其实质 是 高 斯波包在抛物型势阱中的传播过 , ,意义该方法不仅可以求解谐振子问题本身而且 ,,,程如果没有势阱的作用波包由于色散作用随时 ,可以扩展到其它的量子问题上只要把其中的势能 ,,间传播会扩散而由于势阱的束缚作用高斯波包 , 函数替换为想要求解体系的势能函数即可束缚定 ,在传播过程中保持初始时刻的波形是稳定的传播 ,态问题的数值求解在数值计算方法中归结为偏微 , ( 过程第一激发态的传播 过程也是稳定的 图 , 分方程的边值问题求解这类问题求解多采用打靶 b) ) , c) ( ( ,图表示第二激发态随时间的传播过程 ,法即取微分方程中某一个参数作为数值计算的试 ,,和前两个状态的传播过程不同在传播时两边的 ,,探参数利用计算机快速计算的能力在参数取值 ,, ,概率会向势阱的中心移动但是并没有坍缩另外 ,,的物理区间内按一定的步长改变参数值直到得 ,整个传播过程是呼吸振荡的 出的数值结果满足物理问题要求的边界条件即 , Mathematica NDSolve 可本文利用 软件中的 命令 4结论 ,2,( 2) , 求解方程的边值问题自变量的变化范围是 本文利用数值计算方法研究了量子力学中一 ) , , )4 4, ,? ζ ? 在数值计算时取 ? ζ ? 由于 , ,维谐振子问题包括定态和含时过程的求解定态 ,) ( 求解的是束缚定态问题因此波函数 Ψζ在边界 | ? 4)0,,( | , Ψ 上的取值应为 数值计算时采用 ,计算结果给出了能量和定态所对应的波函数和理 )3 10 , ) ,,V( 另外由于势能 ζ具有对称性所以体系 , 论分析结果一致含时过程计算表明处于定态中的 ,具有明确的宇称在计算过程中偶宇称解和奇宇称 ,粒子出现概率空间分布是不随时间变化的这是定 , ,解的求解分别进行在计算过程中取 λ为试探 参 , 态的基本性质之一整个求解过程中涉及到定态问 ,0 ,0, 001,数从 开始循环步长为 直到定态结果出 ,题和含时问题的数值计算这两类问题的数值计算 ,现为止 ,,是研究量子问题的基础尤其体系稳定性问题由 2 a) c) ,2( ( 计算结果如图 所示图 和表示偶宇,于能进行理论分析的体系很少所以只能依靠数值 ( n = 0,2) ,2( b) 称波函数 图 表示奇宇称 波 函 数, 求解含时薛定谔方程来研究因此本文介绍的方法 = 1) , = 1,3,5,( n 数值计算结果给出 λ 对应的能 ,可以推广到其它量子体系的研究甚至包括非线性 E = /2,3/2,5/2,,量是 ω ω ω 和理论结果一致 ,薛定谔方程所描述的体系 3定态稳定性研究 : 参考文献Crank ),为了验证定态解的稳定性我们利用 , ( ) ,M,, : ,,1, 苏汝铿量 子 力 学 第 二 版北 京高等教育出版社 ,3,4,? Nicholson Schrodinger ,差 分 法 求 解 含 时 方 程 2002, h 0, 001 0, 1,x 2, , Mathematica ,M,, : ,时间步长 τ 和空间步长 分别为 和 方 董键与大学物理计算北京清华大学出版 ,2010,社 250, 1 向的网格数为 把表 中的定态解作为求解含 , ,M,, : ,,3, 彭芳麟计算物理基础北京高等教育出版社? Schrodinger ,时 方程的初始条件研究其随时 间 变 ,4, 2010, Sadhan K Adhikari,Paulsamy Muruganandam, Bose) ,化的规律 Ensten ii? Schrodinger Condensation Dynamics from theN umerical Solution of theG ross 含时 方程的无量纲形式为)P itaevskii Equation,J,, J, Phys, B: At, Mol, Opt, Phys, , 2 2002,35: 2831 ) 2843, Ψ Ψ2 i = ) + x ( 10) Ψ2t x 2 / , 其中时间无量纲化单位是 ω差分格式是