圆锥曲线知识点整理

圆锥曲线知识点整理 . 圆锥曲线 一、椭圆 1. 椭圆的定义 平面内与两个定点、的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆。 ||FFFF2211 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。 其中，常数=2，焦距=2c ||FFa21 符号 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示:PFPFa，,2 (2)aFF, 1212 【注意】 2aFF,时表示椭圆，2aFF,时表示线段，2aFF,时不存在 FF121212212(椭圆的标准方程及几何性质 X型 Y型 2222xyyx，,1，,1() () ab,,0ab,,0标准方程 2222abab y2 y a y, B c2 A2 x O 图 形 F FAAF22112 B B O 12x B F 11 22 Aaa12 x,x,,a cy,,cc xaaybb,,,,,;,xbbyaa,,,,,;, ,,,,,,,,范 围 AaAa,,0;,0;AaAa0,;0,;,，，，，，，，，1212 顶 点 BbBb0,;0,,BbBb,,0;,0，，，，，，，，1212 FcFc,,0;,0FcFc0,;0,, ，，，，，，，，焦 点 1212 22aa准 线 x,,y,, cc PFaex,+PFaex,-PFaey,+PFaey,-; ; 焦半径 1212 c 离心率 ee,,,0,1;越接近1，椭圆越扁，越接近0，椭圆越圆 ee，，a 对称性 关于坐标轴成轴对称，关于原点中心对称 22b通 径 a . . 轴 长轴的长，短轴的长 AAa,2BBb,2AABB12121212 =2c ||FF21焦 距 abc、、222abc=+ 的关系 3(焦点三角形 22xy，,1 点P在椭圆()上 ab,,0 y22abP 1) 的周长:Cac=2+ PFF，，PFF1212I OM 2)的最大面积: Sbc=PFF xPFFmax1212 FF12Q Q3)连接延长交椭圆于，则的 PQFPF12 周长: Ca=4PQF2 2Scyycyyyy=-=+-,,4)的面积: PQF，，PQF21212122 ,2btan,22P5)若,则，点到轴的距离: Sb=tan，,FPF,x12PFF12c2 2bS= 【注】双曲线的焦点三角形面积公式: PFF12,tan2 Pb0,,6)取最大值时， ，FPF，，12 PFPF,Pb0,,7)取最大值时， ，，12 sin+,,，，e=8) ,时，离心率是: ，,PFF,，,PFF,1212sin+sin,, aPMI9)中，点为三角形内心，为的角平分线，则: PFF，FPFPIIM:,1212c 5(求标准方程——待定系数法 1)定位置:根据条件确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上 2)设方程:有两种方法: 2222xyyx，,1，,1 1?根据焦点位置，设方程为(ab,,0)或(ab,,0) 2222abab 22(0,0,)mnmn,,, 2?设一般式方程(整式方程): mxny，,1. . 3)列方程:根据条件列出关于、(或、)的方程组 bamn 4)求 解:解方程组，将所求相应值代入所求方程并写成标准形式 6(求离心率 求a,c 方法1: ,,求离心率:e,a求c, 222,abc=+ 方法2: ,求e,再找一个关于、、的齐次方程式abc, 方法3:几何法，借助椭圆中的几何关系 二、双曲线 1( 双曲线的定义 平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数(小于且不等于0)的点||FFFF2211 的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距。 ||FF21 其中，常数=2，焦距=2c ||FFa21 符号表示: () 02||,,aFF||||||2PFPFa,,1212 【注意】 1) 双曲线的定义应注意差的绝对值2满足 02||,,aFFa12 若2=0a，动点的轨迹表示的中垂线 FF21 2=aFF若，动点的轨迹表示以、为端点向外的两条射线 FF2211 2>aFF若，动点的轨迹不存在 21 P2) 在双曲线的定义中，为动点: 若，曲线只表示焦点所对应的一支双曲线 ||||2PFPFa,,F122 若，曲线只表示焦点所对应的一支双曲线 ||||2PFPFa,,,F121 22223) 判定双曲线的焦点在哪条轴上，不像椭圆比较的分母大小，而是看的xy、xy、 系数的符号(方程的右边等于1)，焦点在系数为正的那条轴上 2( 双曲线的标准方程及几何性质 X型 Y型 2222xyyx-1,-1,ab,,00，ab,,00，() () 标准方程 2222abab. . y y 2 Fa2 By,2 Ac2 图 形 BxAB A OO11222 xFFa12 Ay,-1 Bc1 F1 22 aa x,-x, cc xaayR,,,,,,,,+; xRyaa,,,,,，,;,, ,,,,,,,,范 围 AaAa,,0;,0 AaAa0,;0,, ，，，，，，，，顶 点 1212 FcFc,,0;,0 FcFc0,;0,, ，，，，，，，，焦 点 1212 22aa准 线 x,,y,, cc ba yx=,yx=,渐近线 ab PFexa,+PFexa,-PFeya,+PFeya,-; ; 焦半径 1212 c 离心率 ;越小，开口越狭窄，越大，开口越开阔 ee,,,,1,+ee，，a 对称性 关于坐标轴成轴对称，关于原点中心对称 22b通 径 a 实、虚轴 AAa,2线段叫做双曲线的实轴，它的长，叫做双曲线的实半轴长 AAa1212 BBb,2线段叫做双曲线的短轴，它的长，叫做双曲线的虚半轴长 bBB1212 =2c ||FF21焦 距 abc、、222cab=+ 的关系 3( 双曲线系方程 2222xyxy(0),,-=1-=,1)与共渐近线的双曲线系方程: 2222abab 22xymxny,=0(0),,-=,2)以为渐近线的双曲线系方程: 22nm . . 2222xyxy22(-,)kba,-=13)与-=1共焦点的双曲线系方程: ，，2222akbk-+ab 2222yxyx2kb,,(-,+)，,1 【注】与，,1共焦点的椭圆系方程: ，，2222akbk++ab 22(0),,4) 等轴双曲线系方程(即的双曲线系方程): ab=xy-=, y,,x 【注】等轴双曲线的性质: 渐近线互相垂直，渐近线方程为: 2222xyyx-=1-=1) 离心率为的双曲线系方程: 或 5e222222aea(-1)aea(-1) 2222xyxy-=-1-=16) 双曲线的共轭双曲线为 2222abab 11【注】共轭双曲线的性质: 1?+=1 2?四焦点共圆 22ee12 22 7)双曲线的一般式方程: () AB,0AxBy-=1 三、抛物线 1( 抛物线的定义: F平面上到定点和定直线(Fl,)距离相等的点的轨迹叫做抛物线 l 定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。 2( 抛物线的标准方程及几何性质 2222ypx,2ypx,,2xpy,2xpy,,2 标准方程 (0)p,(0)p,(0)p,(0)p, y y y l lF o 图形 x o xo lF xF pppp焦点 (,0)(,0),(0,),(0,)2222 ppppx,,y,, x,y,准线 2222 xR,;xR,; x,,0,+;x,,,,0; ，，,,范围 y,,0,+y,,,,0 ，，,,yR,yR, pppp焦半径 PFx,+PFx,-PFy,+PFy,-00002222 y轴 对称轴 轴 x (0,0) 顶点 2p过焦点并垂直于轴的弦称为通径，长度为 通径 . . 离心率 e,1 lp>2【注】焦点弦长为()的弦有两条，且对称存在 l 3( 抛物线焦点弦的性质 y 2A (0)p,设是过抛物线焦点的弦 ABFypx,2 A' Axy,Bxy,若，，则: ，，，，M 1122 , x OF 2B' p2B xx=1)， yyp=-12124 2p2)弦长 ,ABxxp++=122,sin l(为弦AB的倾斜角) , 112，, 3) FAFBp AB为直径的圆与准线相切 4) 以弦l 5) A、O与B在准线上的射影B’三点共线;B、O与A在准线上的射影A’三点共线 2p, 6)S AOB2sin, 四、圆锥曲线知识拓展 1( 圆锥曲线的第二定义(统一定义) 平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。且当01时为双曲线。 这里的参数e就是圆锥曲线的离心率，它不仅可以描述圆锥曲线的类型，也可以描述圆锥曲线的具体形状，简言之，离心率相同的圆锥曲线都是相似图形。一个圆锥曲线，只要确定了离心率，形状就确定了。特别的，因为抛物线的离心率都等于1，所以所有的抛物线都是相似图形。 2( 圆锥曲线性质对比 圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 2222xyxy，,1,,1 22222标准方程 (0)p, ypx,2abab ab,,0ab,,00，() () 图形 xaa,,,; ,,xaa,,,,,,,+;x,,0,+; ,,,,，,范围 yR, yR,ybb,,, ,, . . ,aa,0;,0;，，，， 0,0,aa,0;,0 顶点 ，，，，，，0,;0,,bb，，，， cc 离心率 ee,,,0,1ee,,,,1,+ e=1，，，，aa PFaex,+ PFexa,+ 11p焦半径 PFx=+ PFaex,-PFexa,-222 b渐近线 —————— ————— yx=,a 对称性 关于坐标轴成轴对称，关于原点中心对称 关于x轴对称 pFcFc,,0;,0 焦点 (,0)，，，，122 2pa准线 x,, x=, 2c 2b p焦准距 p= c 22b2p 通径 a 2xa=cos,,xa=sec,,,xpt=2,, ()t为参数()为参数()为参数参数方程 ,,,,,yb=sin,yb=tan,ypt=2,,,,,过圆锥曲线上一点 xxyyxxyy0000 yypxx=(+) +=1-=1002222xy,的切线方程 ，，abab00 p斜率为k的切线方222222 ykx=+ykxakb=+,ykxakb=-, 程 2k 五、直线与圆锥曲线 (一) 交点问题 22xylykxm:=+C:1，,1. 直线与椭圆: 22ab ykxm,，,,222222222 消 yakxakmxamb 12-0，，，, ，，，，,xy，,1,22ab, ,,0:lC与相交于两点, ,,,0:lC与相切于一点 , ,,,0:lC与相离，无交点, 22xylykxm:=+C:-1,2. 直线与双曲线: 22ab . . ykxm,，,,22222222222 消 ybakxakmxamab --2--0,，，,xy-1,,22ab, b222bak-0,1)时，即时: k,,a 1?若，则直线为双曲线的渐近线 km,0Cl 2?若，则直线与双曲线相交于一点 km,0Cl 222bak-0,时，求出,(或判断,的符号) 2) 1?时，直线与双曲线相交于两点: ,,0Cl xx，,0,12,〈?〉直线与双曲线的左支有2个交点: Clxx,,0,12 ,,,0, xx，,0,12,〈?〉直线与双曲线的右支有2个交点: Clxx,,0,12 ,,,0, xx,,0,12〈?〉直线与双曲线的左右支各有1个交点: Cl,,,0, 2?时，直线与双曲线相切于一点 ,,0Cl 3?时，直线与双曲线相离，无交点 ,,0Cl 2lykxm:=+3( 直线与抛物线: Cypx:2, ykxm,，,222 消 ykxmkpxm 2-0，，,，，,2ypx,2, lx1)k,0时:直线与抛物线C相交于一点，且此时轴 l y ,,2)k,0时，求出(或判断的符号): l,,0:lC与相交于两点, ,Axy, ，，11 ,,0:lC与相切于一点 , ,,,0:lC与相离，无交点, xO (二) 弦长公式 Bxy, ，，221( 一般弦长公式 222ABkxxkxxxx,，,,，,，1-1-4，，121212 112 1-1-4,，,,，,，yyyyyy，，12121222kk . . 2( 抛物线焦点弦长公式 yABpxx,++ (左、右开口) 12p Axy ,，，11 Ay '(-,)12或ABpyy,++ (上、下开口) 12 x O pBxy , ，，22 By'(-,) 22 l (三) 点差法——用于解决弦中点、中点弦、垂直平分及对称问题 1( 在椭圆中 2xb中)X型: 1k=-,2ay y中 l2xa中 2)Y型: k=-,Axy, 2，，11by中Mxy, ，，中中推导过程(以X型为例): x O 22,xyBxy, 11，，22，,1 ?,22,ab ,22xy,22，,1 ?22,ab, ?-?得: xxxxyyyy，，--，，，，，，，，12121212，,022ab yyyyxxxx，，--，，，，，，，，12121212,-22ba 2yybxx-，，，，，1212,-2xxayy-，，，，，1212 2xb中k,,-2ay中 2( 在双曲线中 2xb中1)X型: k=,2ay中 2xa中 2)Y型: k=,2by中 3( 在抛物线中 . . p21):k= ypx,2y中 p2k=-2): ypx,,2y中 x中2k=): 3xpy,2p x中2k=-4): xpy,,2p (四)韦达定理法 1(解题步骤: 1)设而不求:交点坐标一般只设不求 2)联立方程:将直线方程与曲线方程联立 3)消去变量:消或者消 yx 4)得到一元二次方程 ,>0, , 5) xx+,12 ,xx,12 2(题型: 1)弦长、面积、垂直问题，直接套用韦达定理 2)直线过定点问题: 题目条件lykxmkmkx:=+=,,,,,与的关系(),韦达定理 ,,ykx=(+)-,0直线过定点，，,, 3)求范围: l与曲线联立，(两个交点),>0, ,另一条件, ,,+=0 4)证定值:(如，……) 5)求最值、判断有无最值 .