关于泛函Frechet可微性的证明

关于泛函Frechet可微性的证明 关于泛函Frechet可微性的证明 第18卷第5期 2008年lO月 长春大学 JOURNALOFCHANGCHUNUNIVERSITY V0I.18No.5 Oct.2008 文章编号:1009—3907(2008)05—0011—03 关于泛函Fr6chet可微性的证明 周晶 (吉林农业大学信息技术学院,吉林长春,130118) 摘要:由Fr6chet可微性的定义得出泛函Fr6chet可微和由泛函的G~tteaux可微性推出泛函 Fr6chet可微,通过举例对泛函的Fr6chet可微性进行了证明. 关键词i泛函;Fr6chet可微;Gateaux可微 中图分类号:0177.92文献标识码:A 泛函的Fr6chet可微是非线性泛函分析理论中最基本,最重要的概念之一,证明某个泛函的Fr6chet可微 性是我们在学习中经常遇到的问题.笔者用两种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 即:由Fr6chet可微性的定义得出泛函Fr6chet可微和 由泛函的Gtlteaux可微性推出泛函Fr6chet可微,对泛函的Fr6chet可微性证明如下: 1预备知识 以下定义和定理中均设X,Y是Banach空间,U是X中开集,算子厂:l,. 定义1设‰?U,若存在A?L[X,Y],使得(.+h)-f(.)=Ah+?(‰,h)其中?(o,h)=0(1Ih l1),即=.,则称算子,在点处mchet可微,A^称为在处对于^1~Fr6chet微分, 记为d[厂()^],算子A称为,在点处的Fr6chet导算子,ii~ss~(.),于是有lim= .}i_0o 定义2设?,若对任何?,极限li都存在,则称厂在点.处G一可微,上述极限 值称为厂在处沿方向的G一微分,记为D)hi,即)hi:i,如果G.微分可 表示为D[f(x.)]=Ah,其中A?L[X,Y],则称在.处具有有界线性的G一微分,A称为 厂在点o处的G一导 算子,记为厂(),即D[f(x.)h]=厂(.)h. 定理1若在‰处F.可微,在/在‰具有有界线性的G.微分,且‰)h]=d[f(x.)h],即在‰ 处的G-导算子与导算子相同,均表示为厂x.). 证明由在.处F.可微的定义可知+^)一f(xo)一厂(‰)=(xo,h),其中= 0,那么,对于任意的t?R,有 0+th)一f(x0)一f(x0)th:(0,th),(1) 且 I = 0.在式(1)左右两端同时除以f有 :. (2) 收稿日期:2008-09-03 作者简介:周晶(1980-),女,吉林省德惠市人,吉林农业大学信息技术学院助教,主要 从事高等数学教学. 12长春大学第18卷 又因为=lim.II-o,故所以式(2)有 .0+th)一0) Jlm— I—.0t 即 一 (lim=o, 二:(z.)=厂(.;.所以在.具有有界线性的G一微分,且D[)^]: air(‰)hj=/'(o). 定理2若厂在.的某邻域内具有有界线性的G一微分,并且G一导算子y(x)在=连续,则厂在处 可微. 证明由已知的G.导算子厂()在=.连续,则对任意的>0,存在6>0,使得当l1hlI<时,有 ll/(.+h)一厂(.)Il<,其中厂(‰+h)'厂x.)均表示G一导算子,且是有界线性的. 下面只需证明,当0<llhfl<6时,有lIf(‰+h)一)一厂(.)h<Ilhll.由Hahn-banach定理, 有EY,lllf,II=1,使得lIf(+h)一.)-y(x.)hll=+h)-f()一厂()h],设(t)=. o+th),0?t?1,得(,)=of(x0+th)?h,于是存在0<<1,使得(1)一(0)=(r),即of(+ )一of(.)=?of(x.+r)h,从而Il(.+^)一f(.)一厂(.)hll=?[,(.+)-f(x.)一厂(.)h]= [厂(.+Th)?h-/(.)h]??II?Il/(.+rh)?h-y(.)hll.lIhll<lIhlI. 故IIf(.+h)一f(.)一厂(.)hlI=o(1lhl1),记f(.+h)-f(.)一厂(.)h=OJ(.,h),即 lim:lim:o.-,——————一 -t:l—-U. 则.+h)一.)=厂(.)h+?(.,h),所以由可微的定义可知在‰处F一可微. 2主要结果 2.1由Fr~chet可微性的定义直接进行证明 例题设厂={I={(f,):=(,)EC[0,1],0?,?1},定义范数Il7Il=max{I(),0?t?1+ max{Ix(,)I,0?<1t,考虑泛函:厂R,()=rL((,),(,),),其中,J=(口,6,c),是?,6,c的 可微函数,证明是F一可微的,且 (y)=[蓑一dOL]ydt+(8x)l,其中=),):,,=y(f)?c],o<,?l}?,. 证明因为 (+)一()一()=上(+y,k+夕,t)dt一上(,x,t)dt一 [(3L蔷(+(3x]=I1,+ [一c]_[(d(OL)+(OLy)] OL(…df+r差j',t)ydt— J[+心dOL)yd一3x?赫Il蓑 一 Jc[+3x=Il[譬c)_差H 芒(,+?一磐.. gO3xOx 故有 第5期周晶:关于泛函Fr&het可微性的证明13 lJ(+)一(y)一()lI?Ilr[薏(+y,+,f)一adl1),d,ll+ lIr(,+t)一差]d圳?O们L(+y,+夕一OLIIdt~maxII),『l+ Il--OLa(x,x+s(r,t)-udt?max?tt-?['OL(x二二,:)_三]--. 故有lim 】lhII— (?垒2二!2=:(2垒IlhIl=0,即(+h)一?(y)一(y)^=0(JlhlI). 所以由F一微分的定义知(y)是可微的,且 (y)=?一d(aOL)】ydt+()),I,证毕. 2.2通过证明泛函是G~teaux可微的来证明其是Fr6chet可微的 例题证明Hilbert空间H的范数II?ll=(,?)寺是Fr6chet可微的,其中(?,?)表示H的 内积,并求其 Fr6chet导数. 证明设)=fl=(,)寺,对任意的?H,当h?H时,有+h?H,由泛函的G一微分定义,当 x#0 1=lim=limttttit=l—?0l—I—?0IlI+lJ—IllIJ l .+. im=l .+. im=lim=c, 故厂(). 所以当x#0时是G坷微的,又因为一ll=., 故是连续的,由定理2可知,在?0处是F一可微的.且由定理1知,f的Fr6chet导数 等于是 G~iteaux导数,即为. 证毕. 参考文献: [1]郭大钧.非线性泛i$i分析[M].济南:山东科学技术出版社,2002. [2]钟承奎,范先令,陈文.非线性泛函分析引论[M].兰州:兰州大学出版社,2004. [3]孙经先.非线性泛函分析及其应用[M].北京:科学出版社,2008,2. [4]罗亮生.非线性及泛函分析——数学分析中的非线性问题讲义[M].北京:科学出 版社,2005. [5]M.S.伯杰.非线性与泛函分析[M].北京:科学出版社,2005. 责任编辑:王晓阳 ProofonFrechetdifferentiabilityoffunctional ZHOUJing (CollegeofInformationTechnology,JilinAgriculturalUniversity,Changchun130118,China) Abstract:FrechetdifferentiabilityisobtainedbythedefinitionofFrechetdifferentiabilityandFrechetdifferentiabilityisderivedfrom Gateauxdifferentiability,ThisarticlehasprovedFrechetdifferentiabilityoffunctionalbysomeexamples. Keywords:functional;Frechetdifferentiability;Gatea/z2gdifferentiability