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图形变换引出的计算与证明

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图形变换引出的计算与证明图形变换引出的计算与证明 图形(或部分图形)经“平移”、“轴对称”或“旋转”(包括中心对称)之后,就会引起图形形状,位置关系的变化,就会出现新的图形和新的关系。因此,图形变换引出的问题主要有两类:一类是变换引出的新的性质和位置关系问题;另一类是变换引出的几何量的计算问题。 一、图形平移变换引出的几何计算与证明 这类问题的解法的思考应当突出两点: Ⅰ、把背景图形研究清楚; Ⅱ、充分运用图形平移的性质,特别应注意的是:“平移变换不改变角度”(即平移中的线和不平移的线,交角的大小不变)。 两者的恰当结合,就是解法的基础...

图形变换引出的计算与证明
图形变换引出的计算与证明 图形(或部分图形)经“平移”、“轴对称”或“旋转”(包括中心对称)之后,就会引起图形形状,位置关系的变化,就会出现新的图形和新的关系。因此,图形变换引出的问题主要有两类:一类是变换引出的新的性质和位置关系问题;另一类是变换引出的几何量的计算问题。 一、图形平移变换引出的几何计算与证明 这类问题的解法的思考应当突出两点: Ⅰ、把背景图形研究清楚; Ⅱ、充分运用图形平移的性质,特别应注意的是:“平移变换不改变角度”(即平移中的线和不平移的线,交角的大小不变)。 两者的恰当结合,就是解法的基础。 例  如图(1),已知 的面积为3,且 现将 沿CA方向平移CA长度得到 。 (1)求 所扫过的图形面积; (2)试判断,AF与BE的位置关系,并说明理由; (3)若 求AC的长。    (1) 【观察与思考】第一,搞清楚原图形即 的特征: 面积为3,第二,搞清楚平移过程:平移沿CA方向进行;平移距离 为CA的长度。注意!这就意味着每一对对应点之间的距离都等于CA, 当然就有 。由此可知: (1)扫过的图形即为菱形 的两条对角线; (2)AF和BE就是菱形 的两条对角线; (3) 的条件下,由 求出AC的长。    (1`) 各问题解法得到,落实如下: 解:(1)如图(1`) 扫过的图形为菱形 , 而 。 (2)如图(1`), 为菱形 的两条对角线, ,并且AF,BE互相平分。 (3)若 则 ,作 于D,如图(1``),则 , 由 ,解得 。    (1``) 图形平移的问题,解决的关键在于运用好“平移变换”的性质。 二、图形的轴对称变换引出的计算与证明 这类问题解决的思考应当突出以下两点: Ⅰ、把背景图形研究清楚; Ⅱ、充分注意轴对称的两部分全等,对称轴是任意对称两点连线的垂直平分线。 图形的轴对称问题,解决的关键在于运用好“轴对称变换”的性质! 例2  如图,在 中, ,点E,F分别在AB,AC上, 把 沿着EF对折,恰使点A落在BC上点D处,且使 。 (1)猜测AE与BE的数量关系,并说明理由。 (2)求证:四边形AEDF是菱形。 【观察与思考】第一,搞清楚背景图形(略); 第二,搞清楚这个特殊的“折叠”(轴对称)和新图形的特点: ① (因它们关于EF对称 )② 。 在 中, ,得 。这就是问题(1)的结论和理由。而由 ,得 ,又 ,立刻推知 和 均是等边三角形,四边形AEDF当然就是菱形。 图形轴对称变换的问题,解决的关键就是把轴对称的性质(对称 的图形全等及对称轴是对应点连线的垂直平分线)和背景图形的特征恰当结合。 三、图形的旋转变换引出的计算与证明 这类问题解决的思考应当遵循以下两点: Ⅰ、把背景图形研究清楚; Ⅱ、把图形旋转的基本性质:“对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角”和“旋转前后对应的两部分是全等的”。始终作为思考的指导。 例1  如图,将 绕点A顺时针旋转60°后,得到 ,且 为BC的中点,则 等于(  ) A、 1:2      B、     C、     D、1:3 【观察与思考】联合观察背景图形 和旋转后的图形 : (1) 中, (旋转角),所以, 是等边三角形; (2)由 恰为BC之中点,知 ,即 中, 为斜边BC上的中线。将(1),(2)结合,则在 中, ,进而在 中, 特别地还有 。对图形有了这些深入而具体的认识,立刻得出: 解:应选D。 25.(14分)已知 中, , 、 是 边上的点,将 绕点 旋转,得到△ ,连结 . (1)如图1,当 , 时,求证: (2)如图2,当 时, 与 有怎样的数量关系?请写出,并说明理由. (3) 如图3,在(2)的结论下,当 , 与 满足怎样的数量关系时, 是等腰直角三角形?(直接写出结论,不必说明理由) 25、(1)证明:如图1 ∵ 旋转得到△ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ (2) 理由:如图2 ∵ 旋转得到△ ∴ ∵ ∴ (SSS)∴ ∴ (3) ,或 ︰ =1︰ 【说明】可以看出,从背景,旋转两者结合的角度深入研究新构成的图形,把握其各种隐性的特征,是迅速,正确地获得解的关键。 由以上的解析使我们体会到:解答关于图形变换的问题,应注意两个角度的“结合”: 第一个角度,要充分而恰当地将背景图形的性质和变换本身的性质相结合,这样才容易看清楚新图形的性质; 第二个角度,要充分而恰当地将图形的操作与关系的推演相结合,很多情况正是图上的操作才更容易展示变换的全貌和分类、分段情况的。可以说,许多几何图形都是从图上“看出”其性质的,而后才通过计算或证明予以解决的。
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分类:法学
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