图形变换引出的计算与证明
图形(或部分图形)经“平移”、“轴对称”或“旋转”(包括中心对称)之后,就会引起图形形状,位置关系的变化,就会出现新的图形和新的关系。因此,图形变换引出的问题主要有两类:一类是变换引出的新的性质和位置关系问题;另一类是变换引出的几何量的计算问题。
一、图形平移变换引出的几何计算与证明
这类问题的解法的思考应当突出两点:
Ⅰ、把背景图形研究清楚;
Ⅱ、充分运用图形平移的性质,特别应注意的是:“平移变换不改变角度”(即平移中的线和不平移的线,交角的大小不变)。
两者的恰当结合,就是解法的基础。
例 如图(1),已知
的面积为3,且
现将
沿CA方向平移CA长度得到
。
(1)求
所扫过的图形面积;
(2)试判断,AF与BE的位置关系,并说明理由;
(3)若
求AC的长。 (1)
【观察与思考】第一,搞清楚原图形即
的特征:
面积为3,第二,搞清楚平移过程:平移沿CA方向进行;平移距离
为CA的长度。注意!这就意味着每一对对应点之间的距离都等于CA,
当然就有
。由此可知:
(1)扫过的图形即为菱形
的两条对角线;
(2)AF和BE就是菱形
的两条对角线;
(3)
的条件下,由
求出AC的长。 (1`)
各问题解法得到,落实如下:
解:(1)如图(1`)
扫过的图形为菱形
,
而
。
(2)如图(1`),
为菱形
的两条对角线,
,并且AF,BE互相平分。
(3)若
则
,作
于D,如图(1``),则
,
由
,解得
。 (1``)
图形平移的问题,解决的关键在于运用好“平移变换”的性质。
二、图形的轴对称变换引出的计算与证明
这类问题解决的思考应当突出以下两点:
Ⅰ、把背景图形研究清楚;
Ⅱ、充分注意轴对称的两部分全等,对称轴是任意对称两点连线的垂直平分线。
图形的轴对称问题,解决的关键在于运用好“轴对称变换”的性质!
例2 如图,在
中,
,点E,F分别在AB,AC上,
把
沿着EF对折,恰使点A落在BC上点D处,且使
。
(1)猜测AE与BE的数量关系,并说明理由。
(2)求证:四边形AEDF是菱形。
【观察与思考】第一,搞清楚背景图形(略);
第二,搞清楚这个特殊的“折叠”(轴对称)和新图形的特点:
①
(因它们关于EF对称 )②
。
在
中,
,得
。这就是问题(1)的结论和理由。而由
,得
,又
,立刻推知
和
均是等边三角形,四边形AEDF当然就是菱形。
图形轴对称变换的问题,解决的关键就是把轴对称的性质(对称 的图形全等及对称轴是对应点连线的垂直平分线)和背景图形的特征恰当结合。
三、图形的旋转变换引出的计算与证明
这类问题解决的思考应当遵循以下两点:
Ⅰ、把背景图形研究清楚;
Ⅱ、把图形旋转的基本性质:“对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角”和“旋转前后对应的两部分是全等的”。始终作为思考的指导。
例1 如图,将
绕点A顺时针旋转60°后,得到
,且
为BC的中点,则
等于( )
A、 1:2 B、
C、
D、1:3
【观察与思考】联合观察背景图形
和旋转后的图形
:
(1)
中,
(旋转角),所以,
是等边三角形;
(2)由
恰为BC之中点,知
,即
中,
为斜边BC上的中线。将(1),(2)结合,则在
中,
,进而在
中,
特别地还有
。对图形有了这些深入而具体的认识,立刻得出:
解:应选D。
25.(14分)已知
中,
,
、
是
边上的点,将
绕点
旋转,得到△
,连结
.
(1)如图1,当
,
时,求证:
(2)如图2,当
时,
与
有怎样的数量关系?请写出,并说明理由.
(3) 如图3,在(2)的结论下,当
,
与
满足怎样的数量关系时,
是等腰直角三角形?(直接写出结论,不必说明理由)
25、(1)证明:如图1
∵
旋转得到△
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
(2)
理由:如图2
∵
旋转得到△
∴
∵
∴
(SSS)∴
∴
(3)
,或
︰
=1︰
【说明】可以看出,从背景,旋转两者结合的角度深入研究新构成的图形,把握其各种隐性的特征,是迅速,正确地获得解的关键。
由以上的解析使我们体会到:解答关于图形变换的问题,应注意两个角度的“结合”:
第一个角度,要充分而恰当地将背景图形的性质和变换本身的性质相结合,这样才容易看清楚新图形的性质;
第二个角度,要充分而恰当地将图形的操作与关系的推演相结合,很多情况正是图上的操作才更容易展示变换的全貌和分类、分段情况的。可以说,许多几何图形都是从图上“看出”其性质的,而后才通过计算或证明予以解决的。
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