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大学高等数学第五章 定积分及其应用答案.doc

大学高等数学第五章 定积分及其应用答案

王霜柏
2019-05-10 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《大学高等数学第五章 定积分及其应用答案doc》,可适用于综合领域

第五章定积分及其应用习题 如何表述定积分的几何意义?根据定积分的几何意义推出下列积分的值:(), (), (), ()解:若在几何上表示由曲线直线及轴所围成平面图形的面积若时在几何上表示由曲线直线及轴所围平面图形面积的负值()由下图()所示()由上图()所示()由上图()所示()由上图()所示设物体以速度作直线运动用定积分表示时间从到该物体移动的路程S解:用定积分的定义计算定积分,其中为一定常数解:任取分点,把分成个小区间小区间长度记为=,在每个小区间上任取一点作乘积的和式:,记,则利用定积分定义计算解:连续函数故可积因此为方便计算我们可以对等分分点取相应小区间的右端点故===当(即)由定积分的定义得:=.利用定积分的估值公式估计定积分的值解:先求在上的最值由, 得或比较的大小知由定积分的估值公式得,即     利用定积分的性质说明与哪个积分值较大?解:在区间内: 由性质定理知道:证明:。证明:考虑上的函数则令得当时当时∴在处取最大值且在处取最小值故即。 求函数在闭区间上的平均值解:平均值设在上连续且单调递减试证对任何有证明: ==其中 又单调减则故原式得证习题 计算下列定积分()() () ()解:()()===()====()=计算下列各题:()  () (), (),(),  (), (),(),(), (),() 解:()=    ()=()       ()=()   ()()===()==()===()===求下列极限() ()解:()此极限是“”型未定型由洛必达法则得==()设求y的极小值解:当得驻点为极小值点极小值设求。解:设求。解:当时当时当时故设是连续函数且求。解:令则从而即∴.。解:原式.求由所决定的隐函数对的导数。解:将两边对求导得 ∴习题 下面的计算是否正确请对所给积分写出正确结果:()===()====答:()不正确应该为:=()不正确应该为:=计算下列定积分:(),   ()   () ()   () ()   ()   ()  () () ()()。解:()令=,则,当=时=当=时于是=()==()()()令时时于是()令则当时当时原式()令当时当时原式()因为=从而=()原式()原式()原式()设于是=计算下列定积分:()  ()()    ()()  ()   ()    ()  ()  ()。解:()===()= ===  ()==移项合并得()()()()()()而     ,故     ()利用函数的奇偶性计算下列积分:() ()  ()  ()解:()=() 原式() ∵为奇函数∴()利用定积分的线性性质可得原式而前两个积分的被积函数都是奇数故这两个定积分值均为原式如果且求解:由已知条件得   即即得。若在区间上连续,证明()=()=,由此计算证明:()设且当时当故()设=利用此公式可得:====设在上连续证明。证明令则故设是以为周期的连续函数证明:。证明令则(∵以为周期)故 设在上连续证明:证明 利用分部积分法=习题下列解法是否正确?为什么?答:不正确因为在上存在无穷间断点不能直接应用公式计算事实上不存在,故发散下列广义积分是否收敛?若收敛则求出其值() ()  ()  () ()   ()    解:()=,  发散()=()()()=()发散下列广义积分是否收敛?若收敛则求出其值()  ()   ()   解:()==()令于是()。证明广义积分 当时收敛当时发散。证明:当发散当=。已知求常数解:左端右端∴解之或。习题、求由下列曲线围成的平面图形的面积:()及直线解:如图解方程组得交点所求面积为()与(两部分均应计算)解:如图解方程组得交点、所求上半部分面积为所求下半部分面积为()与直线解:如图解方程组得交点所求面积为()轴与直线解:选为积分变量如图所求面积为求二曲线与所围公共部分的面积解: 当等于和时两曲线相交所围公共部分的面积为、求由所围成的图形绕轴及轴旋转所得的两个不同的旋转体的体积解:如图绕轴旋转所得的旋转体的体积为绕轴旋转所得的旋转体的体积为、有一立体以长半轴、短半轴的椭圆为底而垂直于长轴的截面都是等边三角形求该立体的体积解:解:取坐标系如图底面椭圆方程为垂直于轴的截面为等边三角形对应于的截面的面积为于是所求立体体积为、计算曲线相对应于到的一段曲线弧长解:由弧长的公式得:、计算相应于自到的一段弧长解:由弧长的极坐标公式得:、求星形线的全长解:由弧长的参数方程公式得:、设把一金属杆的长度由拉长到时所需的力等于其中为常数试求将该金属杆由长度拉长到所作的功解:由于金属杆拉长所需的力与拉长的长度成正比且其中为常数。选择金属杆拉长的长度为积分变量其取值范围为对于任意在拉长的长度区间上功元素为于是。一个底半径为高为的圆柱形水桶装满了水要把桶内的水全部吸出需要做多少功(水的密度为)?解:建立如图坐标系取为积分变量,,任取子区间相应一薄层水被抽到桶外需做的功近似为,于是把桶内的水全部吸出需做功、一矩形闸门垂直立于水中宽为高为问闸门上边界在水面下多少米时?它所受的压力等于上边界与水面相齐时所受压力的两倍解:设所求高度为建立如图坐标系任取小区间小区间上压力元素为于是由题意得:从而。习题(小时)本章复习题A、求下列极限:() ()()           ()、解:()。()原式。()。()。、求的导函数。解:。、求证下列各式:() ()。证明:()设先求在上的最大、最小值。由得内驻点由知在上积分得。()。、求下列积分:()解:。()解:。() 解:。()解:=。()。解:.求连续函数使它满足解当时令.则两边求导数:两边积分及得:.若求解:令则。当时当时∴从而.求无穷积分()解:      ()解.设求解:.设时的导数与是等价无穷小其中具有二阶连续导数试求解:依题意有本章复习题B一、选择题.设上连续则在上的平均值是( ).A.          B.C.          D..设函数则( ).A.    B.    C.     D..设是连续函数且为偶函数则在对称区间上的定积分( ).A.      B.  C.     D..利用定积分的有关性质可以得出定积分( ).A.    B.C.          D..已知函数则( ).A.    B.    C.    D..设且则( ).A.    B.    C.  D..设在上连续是的一个原函数则().A.    B.      C.    D..若与是两条光滑曲线(其中)则由这两条曲线及直线所围的平面区域的面积为( ).A.        B.C.        D.一、选择题答案.D   .D  .B  .C  .B  .C  .B  .C二、填空题.          .    .设是方程所确定的的函数则    .设是连续函数则    .已知则    .无穷积分若收敛则    二、填空题答案 . . . . . .

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