强向量F_隐补问题及相应的变分不等式

强向量F_隐补问题及相应的变分不等式 强向量 F - 隐补问题及相应的变分不等式 孙燕兰 , 黄建华 ()福州大学数学与计算机科学学院 , 福建 福州 350002 摘要 : 引入强向量 F - 隐补问题 , 这个问题推广和统一了现有的许多向量变分不等式和向量补问题 . 以此讨论 了在 B anach空间中强向量 F - 隐补问题与相应的强向量变分不等式等价性 , 并在一定条件下 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 其解的存在 性 . 所得结论统一和推广了现有许多重要的结果 . 关键词 : 强向量 ; F - 隐补问题 ; 变分不等式 中图分类号 : O177. 91 文献标识码 : A S tron g vec tor F - im p l ic it com p lem en ta r ity prob lem s an d corre spon d in g va r ia t iona l in equa l it ie s SUN Yan - lan, HUAN G J ian - hua ( )Co llege of M a them a tic s and Comp u te r Sc ience, Fuzhou U n ive rsity, Fuzhou, Fu jian 350002 , Ch ina A b stra c t: W e in troduce seve ra l c la sse s of strong ve rc to r F - imp lic it comp lem en ta rity p rob lem s, wh ich en tend and un ify the existing vec to r va ria tiona l inequa litie s and vec to r comp lem en ta rity p rob lem. W e a lso d iscu ss the equ iva lence be tween the strong vec to r F - imp lic it comp lem en ta rity p rob lem s and co r2 re spond ing vec to r F - imp lic it va ria tiona l inequa litie s in B anach sp ace s. Fu rthe rmo re, we p rove som e new existence theo rem s of so lu tion s unde r som e su itab le a ssump tion s. Keyword s: strong vec to r; F - imp lic it comp lem en ta rity p rob lem s; va ria tiona l inequa lity 1 引言 [ 1 , 2 ] 相补问题的理论始于 20世纪 60年代 , 其后 , 随着变分不等式理论研究的深入和发展 , 相补问题 的研究也得到重要的发展 . 文献 [ 3 - 5 ]讨论了多种类型的相补问题的存在条件 , 并把研究的结果应用于 [ 6 ] 控制论 、优化理论 、经济均衡 、流体力学等实际问题中 , 并取得了明显的效果. 2001 年 , Yin等 引入如 ( ) 下一类纯量 F - 补问题 F - CP, 即求 x ?K, 使得 ( ( ) ( ) )〈T x, x 〉+ F x = 0且 〈T x, y 〉+ F y ? 0 Π y ? K 3 ( )其中 K是实 B anach空间 X 的非空闭凸锥 , T: K?X , F: K?R. 他们证明了 F - CP等价于下列变分不等 ( ) 式问题 GV IP, 即求 x ?K, 使得 ( ) ( ) ( )〈T x, y - x 〉+ F y - F x ? 0 Π y ? K ( )其中 F 为正齐次凸泛函 ,并在适当的条件下证明了 F - CP解的存在性 . [ 7 ]( )( ) 2004 年 , H uang N J , L i J引入了较上述 F - CP问题更广泛的一类 F - 隐补问题 F - ICP, 即求 x ?K, 使得 ( )( ) ( ( ) ) ( ) 〈T x, g x 〉+ F g x = 0且〈T x, y 〉+ F y ? 0Π y ? K 3 其中 K是实 B anach空间 X 的非空闭凸锥 , T: K?X, g: K?K, F: K?R. [ 8 ]() 2007 年 , L i J , H uang N J进一步讨论了向量 F - 隐补问题 V F - ICP, 即求 x ?K, 使得 收稿日期 : 2007 - 10 - 17 ( ) 作者简介 : 孙燕兰 1983 - , 女 , 硕士研究生 ; 通讯联系人 : 黄建华 , 副教授 . ( ) ( )基金项目 : 福建省教育厅科研资助项目 JB05046; 福州大学科技发展基金资助项目 2006 - XQ - 21 ?486? ()第 36 卷福州大学学报 自然科学版 ( ) ( ( ) ) ( ) ( )〈Tx, g x 〉+ F g x = 0 且〈Tx, y 〉+ F y ?0 Π y ?K ( ) 其中 X , Y 是实 B anach空间 , K< X 为非空闭凸锥 , T: K?L X , Y , g: K?K, F: K?Y. ( )本文引入并研究强向量 F - 隐补问题 , 在 B anach空间中 ,研究强向量 F - 隐补问题 SV F - ICP及相 ( ) 应的强向量变分不等式问题 SF - IV IP, 在特定的条件下得到这二者的等价性. 进一步地 , 在隐伪单调条 [ 7 ]( )( ) 件下利用 Fan - KKM 定理推导出 SV F - ICP及 SF - IV IP解的存在性定理 . 设 X , Y是实 B anach空间 , K< X 为非空闭凸锥 , C < Y为顶点在原点处的非空闭凸点锥 , 引入如下 4 类强向量 F - 隐补问题和相应的强向量变分不等式问题 : P ( ) SV F - ICP: 求 x ?K使得 P ( ( ) ( ) ) ( )) )( ( ( ) 〈T x, g x 〉+ F g x Ε/ 0, 且〈T x, y 〉+ F g y Φ/ 0 g Π y ? K C \ { 0 } C \ { 0 } S ( ) SV F - ICP: 求 x ?K 使得 P ( ) ( ( ) ) )( ( ) ( ( ) )?0〈T x, g x 〉+ F g x Ε/ 0, 且〈T x, g y 〉+ F g y Π y ? K C C \ { 0 } P ( ) SV F - ICP: 求 x ?K使得 S ( )) ( ) ) ( ) ( ( ) )( ( 〈T x, g x 〉+ F g x = 0, 且〈T x,g y 〉+ F g y Φ/ 0 Π y ? K C \ { 0 } S ( ) SV F - ICP: 求 x ?K使得 S ( )( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) 〈T x, g x 〉+ F g x = 0, 且〈T x,g y 〉+ F g y ? 0Π y ? K C 其相应的向量变分不等式问题 : P ( ( ) )( ) ( )( ) ( ( ) )( ) x 〉+ F g y - g g x Ε/ 0 - F 求 x ?K 使得 GV IV IP:〈T x, y Π y ? K g C \ { 0 } S ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) 求 x ?K使得 GV IV IP: 〈T x,( )- g x 〉+ F g y Π y ? K- F g x ?0g y C 2 预备知识 为了叙述和引用方便 , 先给出一些定义 、符号和若干已知的结果 . X , Y是实 B anach空间 , K< X 为非 λλ 空闭凸锥 , C < Y 为顶点在原点处的非空闭凸点锥 , 即需满足以下条件 : ?C Α C, Π> 0; ?C + C Α C; ?C ?{ - C } = { 0 }. ( ) Y, ?C 为闭凸点锥 C 所诱导得到的序 B anach空间 , 其表示为 : y ?x Ζ y - x ? C; y Φ/ x Ζ y - x ?/ C C C (λ) λ( ) λ 定义 1 称F: K ? Y 是正齐次的 , 如果 F x = F x , Π x ? K, > 0. ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) F: K ? Y 是 C - 凸的 , 如果 F tx + 1 - ty ?tF x + 1 - tF y , Π x, y ? K, t定义 2称C ? [ 0, 1 ]. Y ( ) 定义 3G x , 其中 CoA 为称 G: M < Y ? 2为 KKM 映射 , 若对任意有限集合 A < M , CoA < ? x?A A 的凸包 . ( ) ( ( ) ) 定义 4设 g: K ? K, 称 T: K ?L X , Y 是 g - 隐半连续的 , 如果 Π x, y ? K, t ?〈T x + t y - x , + ( ) ( ) g y - g x 〉在 0连续 . ( ) 定义 5 设 g: K ? K, F: K ? Y, 称 T: K ? L X , Y 是 g - 隐伪单调的 , 如果 Π x, y ? K, ( )( ) ( ( ) )( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) - g x 〉+ F g y 〈T x, g y - F g x ?0 - F g xΦ/ 0] 〈Ty, g y- g x 〉+ F g y C C \ { 0} [ 9 ]Y 引理 1 ( )设 M 是 H au sdo rff拓扑空间 Y的非空子集 , G: M ? 2为 KKM 映射 , 若 Π x ?M , G x ) ( ( ) x? K, 使 G x是紧的 , 则是闭的 , 且存在某? G x ? Ø . 0 0 x?M[ 10 ]( ) 引理 2 设 Y, ? 是由闭凸点锥 C所诱导得到的序 B anach空间 , 且 in tC ? Ø . 则 Π a, b, c, ? C Y, 以下结论均成立 : ?若 c Φ/ a, 且 a ?b, 则 b Ε/ c; ?若 c Ε/ a, 且 a ?b, 则 b Φ/ c; C \ { 0 } C C \ { 0 } C \ { 0 } C C \ { 0 } ?若 a ?b, 且 b Φ/ c, 则 a Φ/ c.C \ { 0 } C C 向量补问题与向量变分不等式关系3 ( ) 本节恒设 X , Y 是实 B anach空间 , K < X 为非空闭凸锥 , Y, ? C 为闭凸点锥 C 所诱导得到的序 ( ) B anach空间 , 且 in tC ? Ø , 记 L X , Y 为 X 到 Y的所有的连续线性映射全体 , 〈 t, x 〉为 t在 x上的值 , 其 ( ( ) ) 中 t ? L X , Y , 设 T: K ? L X , Y , F: K ? Y 为非线性映射 , g: K ? K为线性映射 . ? 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. ?487? 第 4 期孙燕兰 , 等 : 强向量 F - 隐补问题及相应的变分不等式 命题 1 以下命题成立 : S S P ( ) ( ) ( ) ? x是 SV F - ICP的解 ] x 是 SV F - ICP的解 ] x是 SV F - ICP的解 ; S P P S P P ( ) ( ) ( ) ? x是 SV F - ICP的解 ] x 是 SV F - ICP的解 ] x是 SV F - ICP的解 ; S S P S S ( ) ( ) ? x是 SV F - ICP的解 ] x是 SV F - ICP的解 ; P S ( ) ( ) ? x是 GV IV IP的解 ] x 是 GV IV IP的解 . S P 证明 上述均可由强向量 F - 隐补问题及强向量变分不等式的定义容易证得. P ( ) ( ) 定理 1 ?若 x是 SV F - ICP的解 , 则 x是 GV IV IP的解. ? 设 F 是正齐次 、C - 凸的 , 且〈Tx, S P P ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( g x 〉+ F g x ?C ? - C Π x ?K, 若 x 是 GV IV IP的解 , 则 x也是 SV F - ICP的解 . P S P ) ( ) x是 SV F - ICP的解 , 即 证明1 设 S ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) )( )〈T x, g x 〉+ F g x = 0, 且 〈T x, g y 〉+ F g y Φ/ 0 Π y ? K C \ { 0 } ( )( ( ) )) ( ) ) ( ( 从而g y g x F 〈T x,g x 〉+ F g y -- ( )( ( )() g y 〉+ F g y - 〈T x,( ) ( ) ) ) ( =〈T x, g x 〉+ F g x ( )( ( ) ) ( )=〈T x,〉+ F g y g y Φ/ 0Π y ? K C \ { 0 } ( ) ( ) )2 由于 F 是正齐次的 , 显然 F 0 = 0, x是 GV IV IP的解 , 则 P ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )( )( )〈T x, g y - g x 〉+ F g y - F g x 1 Φ/ 0 Π y ? K C \ { 0 } ( ) 分别令 y = 0, y = z + x代入 1 式 ( ) ( ( ) ) ( )〈T x, g x 〉+ F g x Ε/ 0 2 C \ { 0 } ( ) ( ) ) ( ( )( ) ( ) ( )〈T x, g z〉+ F g z+ g x - F g x 3 Φ/ 0C \ { 0 } 由于 F 是正齐次 C - 凸的 , 从而 ( ) ( ) )( F g x + g z 1 1 1 1 ( ( ( ) ) ( ( ) ) ) ( ( ) ) ( ) ) ( )( ( ( ) )( ( ) )4 = F 2 g x + 2 g z? F 2 g x + F 2 g z= F g x + F g z C 2 2 2 2 ( )( )由 3 式 、 4 式及引理 2 , ( ) ( ( ) )( )( )〈T x, g z〉+ F g z5 Φ/ 0 Π z ? K C \ { 0 } 令 z = x代入上式 ( ) ( ( ) )( )〈T x, g x 〉+ F g x 6 Φ/ 0 C \ { 0 } ( ) ( ( ) ) ( ) 又由于〈T x, g x 〉+ F g x ? C ? - C , Π x ? K, ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) )( )〈T x, g x 〉+ F g x ?0 或 〈T x, g x 〉+ F g x ?07 C C ( )( )( ) 由 2 式 , 6 式及 7 式 , ( ) ( ( ) ) ( ) 〈T x, g x 〉+ F g x = 08 P ( )( )( ) 最后由 5 式及 8 式得出 x 也是 SV F - ICP的解 . S S 定理 2( ) ( ) 若 x是 SV F - ICP的解 , 则 x是 GV IV IP的解. P S P ( ( ) ( ) ( ( ) ) ) ?设〈T x, g x 〉+ F g x ? C ? - C , Π x ? K, 若 x是 SV F - IC P的解 , 则 x也是 定理 3P P ( ) ( ) ( ) GV IV IP的解 . ?设 F: K ? Y是正齐次 C - 凸映射 , 若 x是 GV IV IP的解 , 则 x也是 SV F - IC P P P P 的解. S ( ) ( ) 定理 4 ?若 x是 SV F - IC P的解 , 则 x是 GV IV IP的解. ?设 F是正齐次、 C - 凸映射 , 若 x是 S S S ( ) ( ) GV IV IP的解 , 则 x也是 SV F - ICP的解 . S S S 证明( ) ( ) 直接由 SV F - ICP及 GV IV IP的定义得到 . S S 4 解的存在性定理 为了研究向量变分不等式解的存在性 , 先给出如下的广义线性化引理 . ( ) 引理 3 设 F: K ? Y是 C - 凸映像 , T: K ? L X , Y 是 g - 隐半连续且关于 F是 g - 隐伪单调的映 像 , g: K ? K为线性映射 , 则 u 是如下变分不等式 ?的解 Ζ u 是如下变分不等式 ?的解. ( )( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )?〈T u, g v- g u 〉+ F g v- F g u Φ/ 0Π v ? K C \ { 0 } ? 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. ?488? ()第 36 卷福州大学学报 自然科学版 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )?〈T v, g v- g u 〉+ F g v- F g u ?0 Π v ? K C 证明 ?] ?直接由 g - 隐伪单调定义得到. ( ) ( ) ?] ? Π z ? K, 令 z= u + t z - u , Π t ? 0, 1 , t ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ( ) ) ( ( ) ) )〈t T u + t z - u , g z- g u 〉+ t F g z - F g u ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ( ( ) ) )( ( ) ) ?〈T u + t z - u , g u + t z - u - g u 〉+ F g u + t z - u - F g u ?0 CC ( ) ) ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( 于是 ,〈T u + t z - u , g z- g u 〉+ F g z- F g u ?0, 由于 T是 g - 隐半连续的 , 且 C 是 C + ( )( ( ) ) ) ( ( ( ) )闭的 , 令 t ? 0, 有〈T u, g z - g u 〉+ F g z- F g u ? 0, Π z ? K. 于是 , C ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )( )〈T u, g v- g u 〉+ F g v- F g u Φ/ 0 Π u ? K C \ { 0 } ( ) 定理 5 设 F: K ? Y 是连续 C - 凸的 , T: K ? L X , Y 是 g - 隐半连续且关于 F是 g - 隐伪单调的 u ? K \D , 有〈T v,映像 ,g: K ? K为连续线性映射 , D < K是非空紧凸子集 , 若存在 v? D , 对于任意 0 0 ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( )- g u 〉+ F g v- F g u Ε/ 0 , 则 GV IV IP在 K中存在解.g v 0 C P 0 K 证明定义多值映射 G, H: K ? 2如下 : ( )( )( )( ) ( ( ) ))( G v u ? K: 〈T u, g vu 〉+ F g v( ) )Φ/ 0 } 9 = { - g ( Π v ? K F g u - C \ { 0 } ( )( ( )( )( ) ( ) )( ( ) ) H v Π v ? K( ) - F g u ?0 }= { u ? K: 〈T v, g v- g u 〉+ F g v10 C ( ) ( ) ( ) ( ) 显然 , v ? H v? G v, 因为 T关于 F是 g - 隐伪单调的 , 则 G v< H v, Π v ? K, 又 F是连续 C - ( ) ( ) 凸的 , 由 10 式可得 H v< K是闭的 , 由已知 D 是紧凸的 , 且存在 v?D , 对于任意 u ? K \D , 有〈T v,0 0 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) g v- g u 〉+ F g v- F g u Ε/ 0, H v< D , 故 H v是紧的 . 下面证明 G是 KKM 映射 , 0 0 C 0 0 n n 0, i = 1, 2, , n, t> 事实上 , 若存在有限集 { v, v,K, t, v} < = 1, 使得 v = tv?/ 1 2 iin i i ?? i = 1 i = 1 n( ) ? G v, 于是 i = 1 i ) ( ) ( ) ) ( ( ) )( ( ( ( )) 0 i = 1, 2, , n 11 〈T v, g v- g v〉+ F g v- F g v? i i C \ { 0 } ( )由 11 式可得 , ) )( ( ) )( ) ( ) ( ( 0 =〈T v, g vg v〉+ F g v- F g v - n n ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )?t〈T v, g v- g v〉+ tF g v- F g vC ii i i ?? i = 1 i = 1 n (( ) ( ) ( ( ) )( ( ) ) ) = t〈T v, g v- g v〉+ F g v?0- F g v C \ { 0 } i i i ?i = 1 ( ) 这是不可能的 , 因 此 G 是 KKM 映 射 , 从 而 H 也 是 KKM 映 射 , 由 引 理 2 及 引 理 3 可 得 出?G v= v?K ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )?H v? Ø . 设 u ??G v= ? H v, 则 〈T u, g v- g u 〉+ F g v- F g u Φ/ v? K v?K v?K C \ { 0 } ( ) 0. 因此 , u 就是变分不等式 GV IV IP的解 . 证毕.P 参考文献 : ( ) [ 1 ] L em ke C E. 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