费米子的位相算符和位相差算符

第 14 卷第 4 期滨州师专学报1998 年 12 月 Vol . 14 ,No . 2 Jo ur nal of Binzho u Teachers College Dec. ,1998 Ξ 费米子的位相算符和位相差算符 柳盛典任廷琦 ()264025 烟台师范学院物理系 ,山东烟台 摘要给出了 Fer mio n 厄米的位相算符 ,及其正交 、归一、 完备的本 征态 1 并且给出二模费米体系的位相差算符 ,并讨论了它的量子性质 . 关键词指标定理 位相算符位相差算符 分类号O 413 . 1 [ 1 ] 在量子力学建立之初 ,由 Dirac提出的 ,引入一个量子化的位相算符的问题 ,是一个饶有趣味 ,而又 [ 2 ] 困难重重的问题. 它引起人们极大的关注,为了描述单个谐振子或者单模玻色场位相变量的量子性质 , [ 3 ] 人们曾考察和研究过各种巧妙的 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ,然而 ,迄今还没有建立一个令人满意的量子位相理论1 π问题的困难之一在于 ,描述位相变量的本征态 ,应该是以 2为周期的周期函数 ,而位相变量的本征态 的集合的归一化条件和完备性条件不能同时满足 . [ 4 ] 目前人们较为普遍接受的是 S —G给出的由位相变量的正弦 、余弦函数构造的两个厄米位相算符. [ 5 . 6 ] 但由于这两个算符不对易 ,因而不能恰当地描述量子化的位相变量. Peeg 和 Bar net t 从完全不同的角 ( ) 度提出一个巧妙的方案 ,在无限维的 Hilbert 空间的 S + 1维子空间中 ,定义了一个厄米的位相算符 1 在 ( ) 这个有限维空间中完成所有的中间运算后 ,再对运算结果取 S ϖ ?极限 ,回到初始的无限维 Hilbert 空 [ 3 ] 间 . 这一方案取得了一定的成功 ,但还存在一些有争议的问题. 所以还不能认为是令人满意的.事实上 ,在通常的量子力学框架内 ,不可能由极分解的方式给出单个谐振子或者单模玻色场的厄米的 [ 718 ]位相算符 . 这一事实可借助于算符的指标理论给出一个精美的表述 Ω 算符 的指标被定义为 : + Ω Ω Ω()index?dimker- dimker, 1 Ω Ω Ω Ω 是的核空间 这里 dimkerker= { | v > | | v > = 0} 的维数. 关于算符指标有几个有用的结论 : + +) Ω ΩΩ ΩΩ()1 index= dimker- dimker 2 + + + ΩΩ Ω ΩΩΩ 这是因为 ker= ker,ker= ker1 ) P 、Q 有2 算符指标具有相抵不变性 ,即对任意的可逆算子 ( Ω) Ω )(index PQ = index, 3 事实上 ,这是因为 : ( ΩΩ ) dimker PQ = dimker, + + ()( Ω) Ω dimker PQ = dimker. 4) Ω 3 极分解 :若算子 可分解为一个酉正算子 U 和一个厄米算子 H 的乘积形式 Ω = U H , () 5 Ω 则必有 index= 01 Ξ 收稿日期 1998 - 10 - 28 + + 2 + 2 + () Ω () () ΩΩΩ证明是简单的 ,若 5式成立 ,则 = H U U H = H, 而 = U HU . 由 2 及 4有 2 2 + Ω index= dimker H- dimker U HU = 01 + + - Ω Ω Ω Ω同样可证 ,若 = HU ,亦有 index= 0 . 量子力学中常见的厄米算子 = , 和酉正算子 U = U 1 Ω ,有 index= 0 ,index U = 0 . + + 对单模玻色场的产生和湮灭算子 b 、b 而言 ,因为 Ker b = {| 0 > } , Ker b = { Ø} ,故 inder x b = 1 ? 1 i p 2 ( ) 0 ,所以试图以极分解的方式 b = N + 1 e来定义厄米的位相算符 P ,是不可能的 . + + + + 对于二模玻色场{ b, b, b, b} , 由于 index bb= index bb = 0 ,L uis 和 Sachez - Soto 构造了厄 1 1 2 2 1 2 1 [ 9 ] [ 10 ] 米的位相差算符, Yu1Sixia 的工作,进一步揭示了位相差算符的不同寻常的量子性质 . 与 Bo se 场的情况不同 ,对单模的 Fer mi 场 ,index a = 0 , 这是因为 Fer mio n 的 Fock 空间是有限维的. 这 使我们可以给出 Fer mio n 的厄米位相算子. 本文讨论了 Fer mio n 的厄米位相算子 ,给出了它的本征值和正 交 、归一 、完备的本征函数系. 并且进一步讨论了两模 Fer mi 场的位相差算符及其量子性质.1 Fer mio n 的位相算符 如上所述 ,单模 Fer mio n 存在如下极分解 : i p ( )a = eN , 6 i p + 这里 U = e为酉正算符 , N = a 1 a P 定义如下厄米位相算符 )() ( 7P ?p . v. - iln U , π () () () π 这里 p . v1 = p rincipal value , - < p . v1 arg z ?满足 6、7 式的酉正算符 U 可写为 : - iφ + - iφ iφ- iφ( ) e a e + ae? e A , U = 或者 φ iφ φ- i- i( ) )( 0 > < 1 | e+| 1 > < 0 | U = e |e ,8+ - iφ iφ( ) A ? a e + ae, ( )9 + 2 φ为实数 , 其大小取决于位相零点的选取. 容易看出 , A = A , A = 1 , 即 A 为厄米自逆算符 ; A 的本征值 φ i是 ?1 . 进一步得到 U 的本征值 U = ?e, 相应的本征态为 : ? 1 1 φφ - i - i ( ) ( ) ()1 > +| 0 > , | U > = e | 1| | U > =e > - | 0 > . 10- + 2 2 而位相算符 P 可表示为 : π π )(( φ) P = - - A ,112 2 φπφP 的本征值为 - , - ;相应的本征态的 : ()φ π φ | - > = | u > ; | - = |u > .12 + - + 因为 [ a , a ] = 1 , 所以+ φ φ + - iφ- ii( )( ) [ U , N ] = e ae-a e ,13 π φφ- i + i () () [ P , N ] = e a - ae,142 () 14 式表明粒子数与位相不可能同时测定 . 1 对单模 Fer mio n 我们可构造一个 S = 自旋角动量表示 2 1 + + ( ) ()S = a , S = = a a - , a , S 15 + - 32 1 1 + + ) ( ( [ S , S ] = 2 S , S , S ] = ?S , S = a + aS = a -显然有) ε, a及 [ S, S]i S, α β = νβαν + 3 3 ??1 2 2 2 i 第 4 期柳盛典任廷琦费米子的位相算符和位相差算符 27 11 αβν = 的自旋 S 的三个分量 . S 的本征值为 ? ξ ,,= 1 , 2 , 31 S为 S ,本征态 |> , | ψ > 与粒子 α 3 2 2 数表象基 | 1 > , | 0 > 之间关系为 | ξ > = | 1 > , | ψ > = | 0 > 1 π (θ φφφ) 取 = , 方向的单位矢量 n , S = S ?n = co sS + sinS ,n 1 2 2 此时有 ( ) σ16A = 2 S = , n n πσ- n φ P = - + e ,2 () 17 π φ) π( i - - i S n 2 U = ee . 借助于这些联系 ,我们可以很容易地将 Fer mio n 位相描述引入中子在磁场中的运动和中子干涉量度学中 . 2 Fer mi 体系的位相差算符 采用如下方式定义二模之间的位相差算符 P: 12 + i P 12 ()U 18 ? U U = e121 2 - iφ- iφiφ+ j j j ( ) 这里 , U = e A ; A = ae + ae, j = 1 . 2 ;显然 U 为酉正的 ,故 P为厄米算符 ,且 j j j j j12 12 ()( ) P iln U 119 ?p1v1 - 1212 - i(φφ)(φφ)2 2 2 - - 2 i - , 因此 U 12 1 2 1 2 () A A , 因为 [ A , A ] = 0 及 A = A = 1 , 有 U = - e18 可写为 U = e 12 1 2 1 2 + 1 2 12 的二个二重简并的本征值为 φφ)(- i - 1 2 λ( )= ?ie 20 ? 在 H = H ? H 空间 中{ | n n> = | n> ? | n > } , U 的四个正交 、归一 、完备的本征函数集为 1 2 1 2 1 1 2 12 1 φ φ ) (- i+1 2 λ| > = [ i | | 1 , 1 > , 0 , 0 > + e + 12 1 φφ - i - i 1 2 λ| > = [ e | 1 , 0 > - ie | 0 , 1 > , + 22 1 - i φ - iφ 2 1 λ1 , 0 > - ie | 0 , 1 > , | > = [ e | - 12 1 φ φ )(- i +1 2 λ 1 () | > 21= [ i | 0 , 0 > - | 1 , 1 > e - 22 () () 由 18和 19式有 π i (φφ) ( )P= - - A A 22 122 1 1 22 2 2 2 P的二个二重 12 φφ) φφ) π((P满足的最简单的代数方程为 P- 2 - P+ - - / 4 = 0 ,可给出 12 12 2 1 12 2 1 π θφφ) () (简并的本征值 = - ? ,相应的本征态即为 21式?2 1 2 θ( )λθλ| > = | > ; | > = | 23 > 1 + 1 . 2+ 1 , 2 -12-1 , 2 ( φφφ) ,在经典情况中 ,第 i 个模与第 j 个模的位相差 i . j 考虑一个三模体系 = - = 1 . 2 . 3 有 i ji j φφ+ = 0 i j ji( ) 24φφφ+ + = 0 . 12 23 31 但在量子情况下有 PP+ = 0 j ii j ( )25 P ?01 P+ P+ 3112 23 参照文献 [ 10 , 引入如下量子加减法 , ?iA ?iB A ?B ?p . v. { - iln ee } ,( ) 26 ? ? () 在 [ A , B ] ?0 时 , A ?B ? B ?A , 即由 26[ A , B ]1 但当 式定义的量子加减法 ,不服从加减法的交换律 = 0 时量子加减法回到普通加减法 1 对量子位相差算符有 ( )( ) P= PΗPΗ P27 P= - = - P, l ml m l m m l 对三模 Fer mio ns 体系有 ? ? ? ? ? ? PPP= P+ P+= 0 , P+ P+ =P+ P+ 31122331 12 12 23 23 31 ? ? ( ) ( )( i , j , k = 1 . 2 . 31 ) 28P= - P+ P, P+ j kkj ji ij 本文的工作得到张永德先生的大力指导 ,特此表示感谢 1 参考文献 [ 1 ] P1A : M ?Dirac , Proc ?R ?Soc. ,A114 ,1927 ,243 [ 2 ] P. Carrut hers and M . M . Nieto . Rev. Mo d. Phys. ,1968 ,40 :441 [ 3 ] R. L ynce . , Phys , . Rep . ,1995 ,256 :367 [ 4 ] L . Susskind and J . Glogower , Physicsl ,1964 ,49 [ 5 ] D . T. Pegg and D . S. M Bar net t , Phys. Rev. A39 ,1989 ,1665 [ 6 ] Zho ng Tang , Phys. Rev. ,A54 ,1996 ,154 [ 7 ] M . F. Atiyah and I. M . Singer ,Ann ,Mat h . ,1968 ,87 :484 [ 8 ] K. Fujikawa . Phys , Rev. ,A52 ,1995 ,3299 [ 9 ] A . L uis and Sancheg - Soto , Phys. Rev. ,A48 ,1993 ,4702 [ 10 ] Si - Xia Yu. Phys. Rev. let t . ,1997 ,79 :780 The Pha se Operator an d Pha se Diff erence Operator f or Ferminon L iu Shengdian Ren Tingqi De p a rt m et of Physics , Y a n t ai N or m al I nst i t u te , Y a n t ai , S h a n don g , 264025 Abstract Fro m index t heo rem ,we p resent t he her mitian p hase operato r fo r fer mio n ,and give it s eigenvalues and o rt hogo nal no r malized and co mplete eigenstates. And we also give t he p hase difference operato r fo r t wo fer mio ns and discuss it s quant um additio n Key words index t heo rem ,p hase operato r ,p hase difference operato r