高考(文科)常用数学公式及结论

高考(文科)常用数学公式及结论 高考常用公式及常用结论 CABCACBCABCACB();(),, 1.德摩根公式 . UUUUUU nnn{,,,}aaa 2(集合的子集个数共有 个;真子集有–1个;非空子集有 –1个;22212n n–2个. 非空的真子集有2 3.二次函数的解析式的三种形式 2fxaxbxca()(0),，，,(1)一般式; 2fxaxhka()()(0),,，,(2)顶点式; fxaxxxxa()()()(0),,,,(3)零点式. 12 (k,k) 4.方程在上有且只有一个实根,与f(k)f(k),0不等价,前者是后者的f(x),012122ax，bx，c,0(a,0)(k,k)一个必要而不是充分条件.特别地, 方程有且只有一个实根在12 k，kb12f(k),0f(k),0内,等价于f(k)f(k),0,或且,或且k,,,1212122a k，kb12,,,k. 222a 5.闭区间上的二次函数的最值 b2f(x),ax，bx，c(a,0),,p,qx,, 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的2a 两端点处取得，具体如下: bb(1)当a>0时，若，则; x,,,,,p,qfxffxfpfq()(),()(),(),,,,,minmaxmax2a2a b，，. x,,,,,p,qfxfpfq()(),(),fxfpfq()(),(),,,,,maxmaxminmin2a bb(2)当a<0时，若，则，若，x,,,,,p,qx,,,,,p,qfxfpfq()min(),(),,,min2a2a 则，. fxfpfq()max(),(),fxfpfq()min(),(),,,,,maxmin 6.一元二次方程的实根分布 依据:若，则方程在区间内至少有一个实根 . fmfn()()0,f(x),0(,)mn f(x),x，px，q 设，则 2 2,pq,,40,(1)方程f(x),0在区间(m,，,)内有根的充要条件为f(m),0或; ,p,,m,,2 fm()0,, ,fn()0,,,2f(x),0(,)mnfmfn()()0,(2)方程在区间内有根的充要条件为或或,pq,,40 ,p,mn,,,,,2fm()0,fn()0,,,或; ,,afn()0,afm()0,,, 1 2,pq,,40,(3)方程在区间内有根的充要条件为或 . f(x),0(,),,nfm()0,,p,,m,,27.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 ,,，,，,,,,,,,,,，,(1)在给定区间的子区间(形如，,，不同)上含参数的二(,,,，,)L fxtxL(,)0(),,次不等式(为参数)恒成立的充要条件是. tfxt(,)0,min(2)在给定区间的子区间上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充t(,,,，,)fxt(,)0, fxtxL(,)0(),,要条件是. man a,0,a,0,,42f(x),ax，bx，c,0(3)恒成立的充要条件是或. b,0,,2bac,,40,,c,0,8.真值 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf , ？ 非, ,或？ ,且？ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 9.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有()个 n,1 小于 不小于 至多有n个 至少有()个 n，1 对所有x， 存在某x， ，p，q成立 不成立 或 且 pq 对任何x， 存在某x， ，p，q不成立 成立 且 或 pq 10.四种命题的相互关系 原命题 互逆 逆命题 若,则？ 若？则, 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非,则非？ 互逆 若非？则非, 11.充要条件 (1)充分条件:若，则是充分条件. pq,pq (2)必要条件:若，则是必要条件. qp,pq (3)充要条件:若，且，则是充要条件. pq,qp,pq注:如果甲是乙的充分条件～则乙是甲的必要条件,反之亦然. ,12.函数的单调性 (1)定义(2)设函数y,f(x)在某个区间内可导，如果f(x),0，则 2 ,为增函数;如果，则为减函数. f(x)f(x)f(x),0 和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数; 13.如果函数f(x)g(x)f(x)，g(x)如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增y,f(u)u,g(x)y,f[g(x)]函数. 14(奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关 于原点对称，那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函 数( 15.若函数是偶函数，则;若函数是偶函数，y,f(x)f(x，a),f(,x,a)y,f(x，a)则. f(x，a),f(,x，a) 16.对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数f(x)y,f(x)f(x，a),f(b,x)x,R a，ba，b;两个函数与 的图象关于直线对称. x,x,y,f(x，a)y,f(b,x)22 a17.若,则函数的图象关于点对称; 若f(x),,f(,x，a)y,f(x)(,0)2 ,则函数为周期为的周期函数. f(x),,f(x，a)y,f(x)2a nn,118(多项式函数的奇偶性 Pxaxaxa(),，，，nn,10 多项式函数Px()是奇函数,Px()的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数是偶函数,的奇次项(即偶数项)的系数全为零. Px()Px() 19.函数的图象的对称性 yfx,() (1)函数的图象关于直线对称 yfx,(),，,,faxfax()()xa, . ,,,faxfx(2)() ab，x,(2)函数的图象关于直线对称 yfx,(),，,,famxfbmx()()2 . ,，,,fabmxfmx()() 20.两个函数图象的对称性 (1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称. yfx,()yfx,,()yx,0 ab，x,(2)函数yfmxa,,()与函数yfbmx,,()的图象关于直线对称. 2m ,1y,f(x)(3)函数y,f(x)和的图象关于直线y=x对称. 21.若将函数的图象右移a、上移个单位，得到函数的图象;y,f(x)y,f(x,a)，bb 若将曲线f(x,y),0的图象右移a、上移个单位，得到曲线f(x,a,y,b),0的图象. b 22(互为反函数的两个函数的关系 ,1f(a),b,f(b),a. 1,123.若函数y,f(kx，b)存在反函数,则其反函数为,并不是y,[f(x),b]k 1,1,1y,[f(kx，b)y,[f(kx，b),而函数是的反函数. y,[f(x),b]k 24.几个常见的函数方程 (1)正比例函数fxcx(),,fxyfxfyfc()()(),(1)，,，,. xfxa(),(2)指数函数,fxyfxfyfa()()(),(1)0，,,,. fxx()log,(3)对数函数,fxyfxfyfaaa()()(),()1(0,1),，,,,. a ,'fxx(),fxyfxfyf()()(),(1),,,(4)幂函数,. fxx()cos,gxx()sin,(5)余弦函数,正弦函数，， 3 25.几个函数方程的周期(约定a>0) (1)，则的周期T=a(2)，则的周期T=2a; f(x)f(x)f(x),f(x，a)f(x),f(x，a),0 26.分数指数幂 m1,namnN,,0,,(1)(，且). a,n,1nma m,1,namnN,,0,,(2)(，且). a,n,1mna 27(根式的性质 nn(1). ()aa, nn(2)当为奇数时，; naa, aa,0,,nn当为偶数时，. naa,,||,,,aa,0, 28(有理指数幂的运算性质 rsrs，aaaarsQ,,,,(0,,)(1) . rsrs()(0,,)aaarsQ,,,(2) . rrr()(0,0,)abababrQ,,,,(3). p注: 若a,0～p是一个无理数～则a表示一个确定的实数(上述有理指数幂的运算性质～ 对于无理数指数幂都适用. 29.指数式与对数式的互化式 b .(0,1,0)aaN,,,logNbaN,,,a 30.对数的换底公式 logNmlogN, (,且,,且,). a,0a,1m,0m,1N,0alogam nn推论 (,且,,且,,). loglogbb, mn,0,a,0a,1m,1n,1N,0maam 31(对数的四则运算法则 若a,0，a?1，M,0，N,0，则 log()loglogMNMN,，(1); aaa M(2) ; logloglog,,MNaaaNn(3). loglog()MnMnR,,aa22f(x)32.设函数,记.若的定义域为,则,,b,4acf(x),log(ax，bx，c)(a,0)Rm f(x)，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验. Ra,0,,0a,0,,0a,0 33. 对数换底不等式及其推广 1ybx,log() 若,,,,则函数 x,a,0b,0x,0axa 11ybx,log() (1)当时,在和上为增函数. (0,)(,)，,ab,axaa 11ybx,log() (2)当时,在和上为减函数. ，(0,)(,)，,ab,axaa 推论:设，，，且，则 p,0nm,,1a,0a,1 4 (1). log()lognpn，,mpm， mn，2(2). logloglogmn,aaa234 平均增长率的问题 xyNp,，1)(如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有. xpy 39.数列的同项公式与前n项的和的关系 sn,1,,1{}asaaa,，，，( 数列的前n项的和为). a,,nnn12nssn,,,2,nn1, 35.等差数列的通项公式 *; aanddnadnN,，,,，,,(1)()n11 其前n项和公式为 naa()，nn(1),1n s,,，nad1n22d12. ,，,nadn()122 36.等比数列的通项公式 ann,1*1,,,,()aaqqnN; n1q 其前n项的和公式为 n,aq(1),1,1q,, s,1,q,n ,naq,1,1, aaq,,1n,1q,,1,q或. s,,n ,,1naq,1, ,,aaqadabq,，,,,(0)37.等比差数列:的通项公式为 nnn，11 bndq，,,(1),1, ,nn,1a,; bqdbqd，,,(),n,1q,,q,1, 其前n项和公式为 nbnndq，,,(1),(1), ,ns,. dqd1,,n(),(1)bnq,，,,111,,,qqq, 38.分期付款(按揭贷款) nabb(1)，an每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为). x,bn(1)1，,b 39(常见三角不等式 ,(1)若，则. x,(0,)sintanxxx,,2 5 ,(2) 若，则. 1sincos2,，,xxx,(0,)2 (3) . |sin||cos|1xx，, 40.同角三角函数的基本关系式 ,sin22，=，. sincos1,,，,tan,tan1,,,,cotcos, 41.正弦、余弦的诱导公式 n,2(1)sin,,,n,(n为偶数) ,sin()，, ,,n,1 2,2(1)s,co,,,(n为奇数) n,(n为偶数) 2(1)s,co,,n,, cos(),，, ,，1n2,2(n为奇数) (1)sin,,,, 42.和角与差角公式 ; sin()sincoscossin,,,,,,,,, ; cos()coscossinsin,,,,,,,, tantan,,,tan(),,. ,,1tantan,, 22sin()sin()sinsin,,,,,,，,,,(平方正弦公式); 22cos()cos()cossin,,,,,,，,,,. 22=(辅助角所在象限由点(,)ab的象限决ab，，sin(),,,absincos,,， b定, ). tan,,a 43.二倍角公式 . sin2sincos,,,, 2222. cos2cossin2cos112sin,,,,,,,,,,, 2tan,. ,tan2,2,1tan, 44. 三倍角公式 ,,3. sin33sin4sin4sinsin()sin(),,,,，,,,,,,33 ,,3.cos34cos3cos4coscos()cos(),,,,，,,,,,,33 33tantan,,,,,tan3tantan()tan(),,,，. ,,,,213tan33,, 45.三角函数的周期公式 yx,，sin(),,yx,，cos(),,函数，x?R及函数，x?R(A,ω,为常数，且A?0，ω, 2,,yx,，tan(),,,0)的周期,;函数，xkkZ,，,,(A,ω,为常数，且A?0，ωT,,2, ,,0)的周期T,. , 46.正弦定理 6 abc. ,,,2RsinsinsinABC 47.余弦定理 222; abcbcA,，,2cos 222; bcacaB,，,2cos 222. cababC,，,2cos 48.面积定理 111hhh、、(1)(分别表示a、b、c边上的高). Sahbhch,,,abcabc222 111(2). SabCbcAcaB,,,sinsinsin222 122(3). SOAOBOAOB,,,,(||||)(),OAB2 49.三角形内角和定理 在?ABC中，有 ABCCAB，，,,,,，,,() CAB,，. ,,,，222()CAB,,,,222 50.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb. 51.向量的数量积的运算律: (1) a?b= b?a (交换律); (2)(a)?b= (a?b)=a?b= a?(b); ,,,,(3)(a+b)?c= a ?c +b?c. 52.平面向量基本定理 如果e、e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有12 一对实数λ、λ，使得a=λe+λe( 121122 不共线的向量e、e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底( 12 53(向量平行的坐标表示 (,)xy(,)xy,,,xyxy0,, 设a=,b=，且b0，则ab(b0). 11221221 54. a与b的数量积(或内积) a?b=|a||b|cosθ( 55. a?b的几何意义 数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的积( 56.平面向量的坐标运算 (,)xy(,)xy(,)xxyy，，(1)设a=,b=，则a+b=. 11221212 (,)xy(,)xy(,)xxyy,,(2)设a=,b=，则a-b=. 11221212 (,)xy(,)xy (3)设A，B,则. ABOBOAxxyy,,,,,(,)11222121 (4)设a=(,),xyR,,，则a=(,),,xy. , (,)xy(,)xy()xxyy，(5)设a=,b=，则a?b=. 1122121257.两向量的夹角公式 xxyy，1212(,)xy(,)xycos,(a=,b=). ,11222222xyxy，,，1122 58.平面两点间的距离公式 ||ABABAB,, = dAB, 7 22,,，,()()xxyy(,)xy(,)xy(A，B). 11222121 59.向量的平行与垂直 (,)xy(,)xy,设a=,b=，且b0，则 1122 ,,,xyxy0A||bb=λa . ,1221 ,，,xxyy0,ab(a0)a?b=0. ,,1212 60.点的平移公式 '',,xxhxxh,，,,,,'', . ,,，OPOPPP,,''yykyyk,，,,,,,, '''''PPPxy(,)注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形上的对应点为，且的坐标F 为. (,)hk 61.“按向量平移”的几个结论 'Pxhyk(,)，，(1)点按向量a=平移后得到点. (,)hkPxy(,) ''(2) 函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式为(,)hkyfx,()CCC . yfxhk,,，() ''(3) 图象按向量a=(,)hk平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析yfx,()CCCC 式为. yfxhk,，,() ''(4)曲线:按向量a=(,)hk平移后得到图象,则的方程为fxy(,)0,CCC . fxhyk(,)0,,, (5) 向量m=(,)xy按向量a=(,)hk平移后得到的向量仍然为m=(,)xy. 62. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则 ABC,,abc,,O,ABC 222(1)为的外心. O,ABC,,,OAOBOC(2)为的重心,，，,OAOBOC0. O,ABC (3)为的垂心,,,,,,OAOBOBOCOCOA. O,ABC ,，，,aOAbOBcOC0(4)为的内心. O,ABC ，A,,，aOAbOBcOC(5)为的的旁心. O,ABC 63.常用不等式: 22,(1)(当且仅当a,b时取“=”号)( abR,,abab，,2 ab，，abR,,,(2),ab(当且仅当a,b时取“=”号)( 2 333abcabcabc，，,,,,3(0,0,0).(3) (4)柯西不等式 22222()()(),,,,.abcdacbdabcdR，，,，, (5)a,b,a，b,a，b. 64.极值定理 x,y已知都是正数，则有 x,y(1)若积是定值，则当时和有最小值; 2px，yxyp 12x,yss(2)若和是定值，则当时积有最大值. x，yxy4 22(x，y),(x,y)，2xy推广 已知x,y,R，则有 |x,y||x，y|(1)若积是定值,则当最大时,最大; xy 8 当最小时,最小. |x,y||x，y| )若和是定值,则当最大时, 最小; (2|xy||x，y||x,y|当最小时, 最大. |xy||x,y| 22axbxc，，,,0(0)或(0,40)abac,,,,,65.一元二次不等式，如果与a 22同号，则其解集在两根之外;如果与异号，则其解集在两根之间.简aaxbxc，，axbxc，， 言之:同号两根之外，异号两根之间. xxxxxxxxx,,,,,,,()()0(); 121212 xxxxxxxxxx,,,,,,,,()()0()或. 121212 66..斜率公式 yy,21Pxy(,)Pxy(,)k,(、). 111222xx,21 67.直线的五种方程 yykxx,,,()Pxy(,)(1)点斜式 (直线过点，且斜率为)( lk11111 (2)斜截式 (b为直线在y轴上的截距). ykxb,，l yyxx,,11yy,Pxy(,)Pxy(,)xx,,(3)两点式 ()(、 ()). 1211122212yyxx,,2121 xy(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，) ，,1ab、ab、,0ab (5)一般式 (其中A、B不同时为0). AxByC，，,0 68.两条直线的平行和垂直 lykxb:,，lykxb:,，(1)若， 111222 ?llkkbb||,,,,; 121212 ?. llkk,,,,11212 lAxByC:0，，,lAxByC:0，，,(2)若,,且A、A、B、B都不为零, 121211112222 ABC111?; ll||,,,12ABC222 ?; llAABB,,，,0121212 69.夹角公式 kk,21tan||,,(1). 1kk，21 lykxb:,，lykxb:,，(，,) kk,,111122212 ABAB,1221tan||,,(2). AABB，1212 lAxByC:0，，,lAxByC:0，，,(,,). AABB，,0111122221212 ,ll,直线时，直线l与l的夹角是. 12122 ll70. 到的角公式 12 kk,21tan,,(1). 1kk，21 lykxb:,，lykxb:,，(，,) kk,,111122212 9 ABAB,1221(2)tan,. ,AABB，1212 lAxByC:0，，,lAxByC:0，，,(,,). AABB，,0111122221212 ,ll,直线时，直线l到l的角是. 12122 71.点到直线的距离 ||AxByC，，00Pxy(,)d,(点,直线:). AxByC，，,0l0022AB， 72. 或所表示的平面区域 AxByC，，,0,0 设直线，则或所表示的平面区域是: lAxByC:0，，,AxByC，，,0,0若，当与同号时，表示直线的上方的区域;当与异AxByC，，AxByC，，BBB,0l 号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. l 若，当与同号时，表示直线的右方的区域;当与异AxByC，，AxByC，，AAB,0l 号时，表示直线的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. l ()()0AxByCAxByC，，，，,73. 或所表示的平面区域 ,0111222 AABB,0CAxByCAxByC:()()0，，，，,设曲线()，则 1212111222 ()()0AxByCAxByC，，，，,或所表示的平面区域是: ,0111222 ()()0AxByCAxByC，，，，,所表示的平面区域上下两部分; 111222 ()()0AxByCAxByC，，，，,所表示的平面区域上下两部分. 111222 74. 圆的四种方程 222()()xaybr,，,,(1)圆的标准方程 . 2222xyDxEyF，，，，,0(2)圆的一般方程 (,0). DEF，,4 xar,，cos,,(3)圆的参数方程 . ,ybr,，sin,, Axy(,)()()()()0xxxxyyyy,,，,,,(4)圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、111212 Bxy(,)). 22 75. 圆系方程 Axy(,)Bxy(,)(1)过点,的圆系方程是 1122 ()()()()[()()()()]0xxxxyyyyxxyyyyxx,,，,,，,,,,,,, 1212112112 AB,,,，,,，，，,()()()()()0xxxxyyyyaxbyc,,其中是直线的axbyc，，,01212 方程,λ是待定的系数( 22xyDxEyF，，，，,0(2)过直线AxByC，，,0:与圆:的交点的圆系方程是lC 22xyDxEyFAxByC，，，，，，，,,()0,λ是待定的系数( 2222CC(3) 过圆:与圆:的交点的xyDxEyF，，，，,0xyDxEyF，，，，,0122221112222xyDxEyFxyDxEyF，，，，，，，，，,,()0圆系方程是,λ是待定的系数( 111222 76.点与圆的位置关系 222Pxy(,)(x,a)，(y,b),r点与圆的位置关系有三种 00 22daxby,,，,()()若，则 00 点在圆外;点在圆上;点在圆内. PPPdr,,dr,,dr,,77.直线与圆的位置关系 222(x,a)，(y,b),rAx，By，C,0直线与圆的位置关系有三种: 10 ; d,r,相离,,,0 ; d,r,相切,,,0 d,r,相交,,,0. Aa，Bb，C其中. d,22A，B 78.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为O，O，半径分别为r，r， OO,d121212 ; d,r，r,外离,4条公切线12 d,r，r,外切,3条公切线; 12 ; r,r,d,r，r,相交,2条公切线1212 ; d,r,r,内切,1条公切线12 . 0,d,r,r,内含,无公切线12 79.圆的切线方程 22xyDxEyF，，，，,0(1)已知圆( (,)xy?若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是 00 DxxEyy()()，，00 . xxyyF，，，，,00022 DxxEyy()()，，00(,)xy当圆外时, 表示过两个切点的切xxyyF，，，，,0000022 点弦方程( yykxx,,,()?过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两00 条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线( ?斜率为k的切线方程可设为ykxb,，，再利用相切条件求b，必有两条切线( 222xyr，,(2)已知圆( 2Pxy(,)?过圆上的点的切线方程为; xxyyr，,00000 2?斜率为的圆的切线方程为. ykxrk,,，1k 22xa,cos,xy,，,,,1(0)ab80.椭圆的参数方程是. ,22abyb,sin,, 22xy，,,,1(0)ab81.椭圆焦半径公式 22ab 22aaPF,ex，()PF,e(,x)，. 12cc82(椭圆的的内外部 2222xyxy00Pxy(,)，,,,1(0)ab,，,1(1)点在椭圆的内部. 002222abab 2222xyxy00Pxy(,)，,,,1(0)ab,，,1(2)点在椭圆的外部. 002222abab 83. 椭圆的切线方程 22xxyyxy00Pxy(,)，,,,1(0)ab(1)椭圆上一点处的切线方程是. ，,1002222abab 11 22xyPxy(,) (2)过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是 ，,,,1(0)ab0022ab xxyy00. ，,122ab 22xy22222 (3)椭圆，,,,1(0)ab与直线相切的条件是. AxByC，，,0AaBbc，,22ab 22xy,,,,1(0,0)ab84.双曲线的焦半径公式 22ab 22aaPFex,，|()|，PFex,,|()|. 12cc 85.双曲线的内外部 2222xyxy00Pxy(,),,,,1(0,0)ab(1)点在双曲线的内部,,,1. 002222abab 2222xyxy00Pxy(,),,,,1(0,0)ab,,,1(2)点在双曲线的外部. 002222abab 86.双曲线的方程与渐近线方程的关系 2222xyxyb,,1,,,0(1)若双曲线方程为,渐近线方程:. y,,x2222ababa 22xyxyb (2)若渐近线方程为,,双曲线可设为,,,. ,,0y,,x22ababa2222xyxy,,1,,, (3)若双曲线与有公共渐近线，可设为(，焦点在x轴上，,,02222abab ，焦点在y轴上). ,,0 87. 双曲线的切线方程 22xxyyxy00Pxy(,),,,,1(0,0)ab (1)双曲线上一点处的切线方程是. ,,1002222abab 22xyPxy(,),,,,1(0,0)ab (2)过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是 0022ab xxyy00. ,,122ab 22xy,,,,1(0,0)ab (3)双曲线与直线相切的条件是AxByC，，,022ab 22222. AaBbc,, 2y,2px88. 抛物线的焦半径公式 p2ypxp,,2(0)CFx,，抛物线焦半径. 02 pp过焦点弦长. CD,x，，x，,x，x，p121222 2y22,(,)xyy,2pxP(2pt,2pt)或(,y)89.抛物线上的动点可设为P或 P，其中 ,2p2. ypx,2 2bacb4,22yaxbxcax,，，,，，()90.二次函数(0)a,的图象是抛物线:(1)顶点坐24aa 12 22bacb4,bacb41,，标为;(2)焦点的坐标为;(3)准线方程是(,),(,),24aa24aa 241acb,,. y,4a 91.抛物线的内外部 22Pxy(,)ypxp,,2(0),,,ypxp2(0)(1)点在抛物线的内部. 00 22Pxy(,)ypxp,,2(0),,,ypxp2(0)点在抛物线的外部. 00 22Pxy(,)ypxp,,,2(0),,,,ypxp2(0)(2)点在抛物线的内部. 00 22Pxy(,)ypxp,,,2(0),,,,ypxp2(0)点在抛物线的外部. 00 22Pxy(,)xpyp,,2(0),,,xpyp2(0)在抛物线的内部. (3)点00 22Pxy(,)xpyp,,2(0),,,xpyp2(0)点在抛物线的外部. 00 22Pxy(,)xpyp,,2(0),,,xpyp2(0)(4) 点在抛物线的内部. 00 22Pxy(,)xpyp,,,2(0),,,,xpyp2(0)点在抛物线的外部. 00 92. 抛物线的切线方程 2Pxy(,)yypxx,，()y,2px(1)抛物线上一点处的切线方程是. 0000 2Pxy(,)yypxx,，()y,2px (2)过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是. 0000 22ypxp,,2(0)pBAC,2 (3)抛物线与直线相切的条件是. AxByC，，,093.两个常见的曲线系方程 fxy(,)0,fxy(,)0,(1)过曲线,的交点的曲线系方程是 12 fxyfxy(,)(,)0，,,(为参数). ,12 22xy22kab,max{,}，,1(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当22akbk,, 222222kab,min{,}min{,}max{,}abkab,,时,表示椭圆; 当时,表示双曲线. 22ABxxyy,,，,()()94.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或 1212 2222ABkxxxxyyco,，,,,，,,，(1)()||1tan||1t,,(弦端点211212 y,kx，b,2AB(x,y),B(x,y)A，由方程 消去y得到，,,为直线ax，bx，c,0,,0,1122F(x,y),0, 的倾斜角，为直线的斜率). k 95.圆锥曲线的两类对称问题 Pxy(,)Fxxyy(2-,2)0,,(1)曲线Fxy(,)0,关于点成中心对称的曲线是. 0000(2)曲线Fxy(,)0,关于直线AxByC，，,0成轴对称的曲线是 2()2()AAxByCBAxByC，，，，. Fxy(,)0,,,2222ABAB，， 96.“四线”一方程 2222yAxBxyCyDxEyF，，，，，,0xxyy对于一般的二次曲线，用代x，用代，用00 xx，xyxy，yy，0000x代，用代，用代即得方程 xyy222 xyxyxxyy，，，0000，曲线的切线，切点弦，中点弦，AxxBCyyDEF，,，，,，,，,000222 弦中点方程均是此方程得到. 13 97(证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 98(证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 99(证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 100(证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 101(证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 102(证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 103.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a，b=b，a( (2)加法结合律:(a，b)，c=a，(b，c)( (3)数乘分配律:λ(a，b)=λa，λb( 104.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公 共始点为始点的对角线所表示的向量. 105.共线向量定理 ,对空间任意两个向量a、b(b?0 )，a?b存在实数λ使a=λb( ,,APtAB,,三点共线APAB||. OPtOAtOB,,，(1)PAB、、 ABCD,,ABtCD,ABCD||、共线且不共线且不共线. ABCD、ABCD、 106.共面向量定理 xy,,向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对,使paxby,，( xy,,推论 空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,使， MPxMAyMB,， xy,或对空间任一定点O，有序实数对，使. OPOMxMAyMB,，，107.对空间任一点和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC,，，O xyzk，，,()，则当时，对于空间任一点，总有P、A、B、C四点共面;当时，Ok,1k,1 若平面ABC，则P、A、B、C四点共面;若平面ABC，则P、A、B、C四点不共面( O,O, ADABAC,,,四点共面与、共面 ADxAByAC,，AB、、、 C D (平面ABC). ODxyOAxOByOC,,,，，(1)O, 14 108.空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y， z，使p,xa，yb，zc( 推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x， y，z，使. OPxOAyOBzOC,，， 109.射影公式 'AB已知向量=和轴，e是上与同方向的单位向量.作A点在上的射影，作B点在aAlllll '上的射影，则 B ''〈a，e〉=a?e ABAB,||cos 110.向量的直角坐标运算 (,,)aaa(,,)bbb设,，b,则 a123123 (,,)ababab，，，(1)，b,; a112233 (,,)ababab,,,(2),b,; a112233 (,,),,,aaa(3)λ, (λ?R); a123 ababab，，(4)a?b,; 112233 (,,)xyz(,,)xyz111.设A，B，则 111222 (,,)xxyyzz,,,ABOBOA,,= . 212121112(空间的线线平行或垂直 rr 设axyz,(,,)，bxyz,(,,)，则 111222 xx,,,12rrrrrr,,,; abPabb,,,(0)yy,,,12 ,zz,,12,rrrr xxyyzz，，,0ab,ab,,0,,. 121212113.夹角公式 (,,)aaa(,,)bbb设a,，b,，则 123123 ababab，，112233cos〈a，b〉=. 222222aaabbb，，，，123123 2222222()()()abababaaabbb，，,，，，，推论 ，此即三维柯西不等式. 112233123123 114.空间两点间的距离公式 (,,)xyz(,,)xyz若A，B，则 111222 222,,，,，,()()()xxyyzz||ABABAB,, =. d212121AB, Q115.点到直线距离 l 122habab,,,(||||)()PA(点在直线上，直线的方向向量a=，向量b=). PPQll||a 116.三个向量和的平方公式 2222 ()222abcabcabbcca，，,，，，,，,，, 222 ,，，，,，,，,abcababbcbccaca2||||cos,2||||cos,2||||cos, lll、、117. 长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为l123 ,,,、、,则有 123 15 2222222222. ,，，,sinsinsin2,,,llll,，，,，，,coscoscos1,,,123123123 (立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 118. 面积射影定理 'S. ,Scos, '(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的为). SS, 119(作截面的依据 三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 120(棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形， 相似多边形面积的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比( 121.球的半径是R，则 43其体积, ,,VR32其表面积( SR,4, 122.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 66aa棱长为a的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为. 124 123(柱体、锥体的体积 1(是柱体的底面积、是柱体的高). VSh,Sh柱体3 1(是锥体的底面积、是锥体的高). VSh,Sh锥体3 xxxm+++,124(不定方程的解的个数 12n ,n,1xxxm+++,nmN,,(1)方程()的正整数解有个. C12nm,1,n,1xxxm+++,nmN,,(2) 方程()的非负整数解有 个. C12nnm，,1,,xxxm+++,xk,nmN,,(3) 方程()满足条件(,)的非负kN,21,,,in12ni n,1整数解有个. C,,,(2)(1)nkm，1,,xxxm+++,xk,nmN,,(4) 方程()满足条件(,)的正整kN,21,,,in12ni nnnnnn,,,,,,11121221CCCCCCC,，,，,(1)数解有个. nmnmnknmnknmnk，,,，,,,，,,,，,,12222321(2) n0n1n,12n,22rn,rrnn(a，b),Ca，Cab，Cab，？，Cab，？，Cb125.二项式定理 ; nnnnn 二项展开式的通项公式 rn,rr(r,0，1，2？，n). T,Cab1r，n m126.等可能性事件的概率 . PA(),n 127.互斥事件A，B分别发生的概率的和 16 P(A，B)=P(A)，P(B)( 128.个互斥事件分别发生的概率的和 n P(A，A，„，A)=P(A)，P(A)，„，P(A)( 12n12n129.独立事件A，B同时发生的概率 P(A?B)= P(A)?P(B). 130.n个独立事件同时发生的概率 P(A? A?„? A)=P(A)? P(A)?„? P(A)( 12n12n131.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率 kknk, PkCPP()(1).,,nn 132.方差 、标准差 133.回归直线方程 nn,xxyyxynxy,,,，，，，,,iiii,ii,,11,b,,nn，其中2. yabx,，22,xxxnx,,，，,,ii,ii,,11,aybx,,, 134.相关系数 nn xxyy,,xxyy,,，，，，，，，，,,iiiiii,1,1 . r,,nnnn222222()()()()xxyy,,xnxyny,,,,,,iiiiii,,11ii,,11|r|?1，且|r|越接近于1，相关程度越大;|r|越接近于0，相关程度越小. x135.f(x)在处的导数(或变化率) 0 fxxfx()()，,,,y00,,. fxy()limlim,,,xx,00,,,,xx00,,xx 136.瞬时速度 ,，,,ssttst()(),. ,,,,st()limlim,,,,tt00,,tt 137.f(x)在(a,b)的导数 dydf,，,,yfxxfx()(),,. fxy(),,,,,limlim,,,,xx00dxdx,,xx x138. 函数y,f(x)在点处的导数的几何意义 0 ,xP(x,f(x))f(x)函数y,f(x)y,f(x)在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，0000 ,y,y,f(x)(x,x)相应的切线方程是. 000 139.几种常见函数的导数 '1n,,(1) (C为常数) (2) . ()()xnxnQ,,C,0n ,, (3) (sinx),cosx. (4) (cosx),,sinx. 11exxxxx,,,,(e),e(a),alna(lnx),(loga),log (5) ;. (6) ; . axx 140.导数的运算法则 ''uuvuv,'''''''()uvuv,,,()uvuvuv,，()(0),,v(1)(2).(3). 2vv141.复合函数的求导法则 ''ux,,()xy,f(u)x设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U处有导数ux,,()x 17 '''''，则复合函数在点处有导数，且，或写作yfx,(()),xyfu,()yyu,,uxux'''. fxfux(())()(),,,x f(x)142.判别是极大(小)值的方法 0 x当函数在点处连续时， f(x)0 ,,xf(x)(1)如果在附近的左侧，右侧，则是极大值; f(x),0f(x),000 ,,xf(x)(2)如果在附近的左侧，右侧，则是极小值. f(x),0f(x),000 143.复数的相等 .() abicdiacbd，,，,,,,abcdR,,,,144.复数的模(或绝对值) zabi,， 22==. ||z||abi，ab， 145.复数的四则运算法则 (1); ()()()()abicdiacbdi，，，,，，， (2); ()()()()abicdiacbdi，,，,,，, (3); ()()()()abicdiacbdbcadi，，,,，， acbdbcad，,(4). ()()(0)abicdiicdi，,，,，，,2222cdcd，， 146.复数的乘法的运算律 zzzC,,,对于任何，有 123 zzzz,,,交换律:. 1221 ()()zzzzzz,,,,,结合律:. 123123 zzzzzzz,，,,，,()分配律: . 1231213 147.复平面上的两点间的距离公式 22dzzxxyy,,,,，,||()()zxyi,，zxyi,，(，). 111222122121 148.向量的垂直 zabi,，zcdi,，非零复数，对应的向量分别是，，则 OZOZ1212 z2222,,, 的实部为零为纯虚数 OZOZ,zz,||||||zzzz，,，12121212z1 222ziz,,||||zzzz，,,,,,,(λ为非零实||||||zzzz,,，acbd，,0 1212121212 数). 149.实系数一元二次方程的解 2实系数一元二次方程， axbxc，，,0 2,,,bbac42?若,则; ,,,,bac40x,1,22a b2xx,,,?若,则; ,,,,bac40122a 2?若，它在实数集内没有实数根;在复数集内有且仅有两个共轭复数,,,,bac40RC 2,,,,bbaci(4)2根. xbac,,,(40)2a 18 19