不动点原理及其应用

题目：         不动点原理及其应用                    摘要 本文主要讨论了压缩映射原理，Schauder不动点定理以及不动点的应用三个方面。在解决微分方程，积分方程，以及其他方程的解的存在唯一性时，将问题转换为求某一映射的不动点，利用不动点原理进行解决。 关键词：压缩映射原理；Schauder不动点定理； 不动点原理应用 Abstract In this paper ,we talked about contraction mapping principle,Schauder’s fixed point theorem and the application of the fixed point theorem.As we deal with the solutions about differential equation, integral equation and other kinds of equations, it is a useful way to transform the problem into fixed point theorem.We can use it to solve plenty of practice problems too. Keywords: contraction mapping principle; Schauder’s fixed point theorem;the application of fixed point theorem. 目录 工贸企业有限空间作业目录特种设备作业人员作业种类与目录特种设备作业人员目录1类医疗器械目录高值医用耗材参考目录 引言    1 1.压缩映射原理    1 1.1压缩映射原理（距离空间）    1 1.2压缩映射原理（巴拿赫空间）    6 2.Schauder不动点定理    8 3不动点定理的应用    9 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf     11 参考文献    12 引言 在微分方程，积分方程以及其他各类方程的理论中，解的存在性,唯一性以及近似解的收敛性都是至关重要的课题，而不动点理论是研究这一问题的有力工具，在本文中我们将着重讨论压缩映射原理，Schauder不动点定理以及不动点的应用三个方面，对每一块内容，我们将给出定理，定理的 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 以及具体的实例，通过对具体实例的分析来说明问题。 1压缩映射原理 1.1压缩映射原理（距离空间） 定义1.1.1：设 是度量空间， 是 到 中的映射，若存在数 ，使得对所有 ，有 ，则称T是压缩映射。【1】 定理1.1.1：设 是完备的距离空间，距离为 ，T是由 到其自身的映射，且对任意的 ，不等式 ，                  （1.1.1） 成立，其中 是满足不等式 的常数，那么T在X中存在唯一的不动点，既存在唯一的 使得 = ， 可用迭代法求得. 证明：在X中任意取定一点 ，并令 ， ，由 可证明 由于 ，所以 ，则 是X中的基本点列，由X的完备性可知 收敛于X中某一点 ，由（1.1.1）式可知，T是连续映射，在 中，令 ，可得 = ， 因此 是T的一个不动点。 下证唯一性：设另有 使得 ，则 因为 ，所以 ，即 ，唯一性成立。 定理1.1.2：设 ： 是 上的映射，若对于某个自然数 ， 有唯一不动点，则 以同一点作为唯一不动点。【2】 证明：设 是 的唯一不动点， ，则 ，因此 是 的不动点，由唯一性可知 ，又因为 的每一个不动点肯定是 的不动点，因此 的不动点是唯一的。 例1.1.1 设 是矩形 上的连续函数， ，对于每个 有 （1.1.2） ，求证这个方程在 中存在唯一解。 证明：考虑映射 ， ， 则有 （1.1.3） 对此进行归纳， （1.1.4） 因此对任意的自然数n, （1.1.5） 当n足够大时，使 ，则 是 上的压缩映射，由于 完备，因此 有唯一的不动点，根据定理1.1.2， 有同一不动点，是方程的解。 例1.1.2 设 是压缩映射，求证 也是压缩映射，并说明逆命题不一定成立. 证明：（1）因为 是压缩映射，因此存在存在 ，使得 ，则 ，并且假设 成立，那么有： ，由数学归纳法可知 对任意自然数 成立，由于 ，则 ，所以 是压缩映射。 （2）该命题的逆命题不一定成立，如： ： ； ： 是压缩映射, ： ；不是压缩映射。 若 ： ；是压缩映射，则有，存在 使得 ，有 ，则差商是有界的。但若取 ，有 ，与差商有界矛盾，故证。 例1.1.3 设 满足： （1） 在 上连续； （2） 在 上存在， ，对于任意的 ，方程 存在唯一的解 . 证明： 是完备的距离空间，T是C[a,b]到C[a,b]上的连续映射， ， T不是压缩映射，添加一个参数M进行修正， ， ， 根据条件，结合中值定理可得： . 因此，T是压缩映射，存在唯一 ，使得 . 例1.1.4 微分方程解的存在性和唯一性 ，                        (1.1.6) 关于y满足利普希兹条件： ，  , , .      (1.1.7) 其中K>0为常数，过定点 的积分曲线只有一条 与方程（ 1.1.6）等价的积分方程为： ，                      (1.1.8) 取 >0满足 . 在C 中定义映射T： 则有， .        （1.1.9） 根据压缩映射原理，存在唯一的连续函数 使得： ， 由此， 就是微分方程过 的积分曲线。 例1.1.5 设T是度量空间下的压缩映射，求证T是连续的。 证明：只需证当 时，有 ，根据假设，存在 使得 成立，因此当 ， ， 成立因，此 ， . 1.2压缩映射原理（巴拿赫空间） 下面讨论压缩映射原理在巴拿赫空间下的情形。 定理 1.2.1：设X是巴拿赫空间，设 ： 非线性映射，并且有  ，  ，            （1.2.1）        其中 满足不等式 ， 那么 在 中有唯一的不动点，且由（1.2.1）式可知 是连续映射。【3】 证明：在X中任意取定一点 ，并令 ，k=0,1,2… ， 因此， ，k=0,1,… 于是有，如果 , ， 因此， 是X中的柯西列，那么存在一点 ，在 中点列 ，有 ，因此 是 的不动点，公式（1.2.1）保证了唯一性。 由于巴拿赫空间是特殊的度量空间，其应用与定理1.1.1类似，在此不再详述，对于该部分的详细内容可参考张恭庆，林源渠，泛函分析讲义一书。 例1.2.1 （1.2.2） 这里 ， ，U是开的有界集，边界光滑，时间T>0是固定的，我们假定初始函数属于 ，设 是利普希兹连续                    （1.2.3） 这个假设表明： （1.2.4） 对于 成立。 我们说函数 ， ,          （1.2.5） 是（1.2.2）的一个弱解，并有 a.e.  ,          (1.2.6) 对于每一个 ，且有 （1.2.7） 在（1.2.6）式中， 代表 和 的匹配，B 是与 相关的， 代表着 上的内积。 2 Schauder不动点定理 我们先讨论一个重要的不动点定理Brouwer不动点定理。 定理2.1：（Brouwer不动点定理）设 是中的闭单位球，又假设 是一个连续映射，那么 必有一个不动点 . 推论2.1：设 是 中的紧凸子集， 是连续的，则 必有一个在 上的不动点。 证明：由于 与 中的一个单位球同胚，记此同胚为 ，考察映射 ，显然有 ，对 应用Brouwer不动点定理，存在 ，使得 成立，据此可知 是 的不动点。 为了讨论无限维空间中的情形，我们引入Schauder不动点定理。 定理2.2：（Schauder不动点定理）设 是凸的紧集，并且假定 是连续的，那么 在 中有不动点。【4】 证明：给定 ,选定有限个点 ，于是开球 覆盖 ，即 ，                （2.1.1） 因为 是紧的，所以（2.1.1）成立，让 表示由点列 组成的闭凸壳： （2.1.2） 因为 是紧的，则有 ，现在定义 ： ，  （ ）  （2.1.3） 由（2.1.1）式可知，分母不为零。现在证明 是连续的： 对于每个 ，有 ，    （2.1.4） 考虑下一个由   定义的算子 ， 那么 与单位球 是同胚映射，定理（2.1）保证了 （2.1.5） 的存在性。 因为 是紧集，存在点列 和 ，使得在 中 ，我们断言 是 的不动点，事实上，根据（2.1.2）有， ， 又因为 是连续的，可得 。 例2.1 设函数 在 上二元连续（有常数M是的 成立），证明常微分方程初值问题的存在性定理。 证明： 考虑 中的球 上的映射： ，下面证明对足够小的 ， 映 到自身，并且 是紧的，因为： ， 所以 连续， 在 下的像是紧的应用Schauder不动点定理，故证。 3?不动点定理的应用 下面通过对一个实际问题的研究，来探讨不动点理论的应用。 问题背景： 把椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，放不稳，但挪动几次就可以使四只脚同时着地。 问题假设： 1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面的接触处能够看为一个点，椅子四个角连线成正方形； 2.地面可以视为连续曲面； 3.地面时相对平坦的，即椅子在任何地方都有四只脚着地。【5】 问题分析：椅子脚连线成正方形，可以考虑以椅子中心为对称点，正方形绕中心的旋转代表椅子位置的改变，所以能够用旋转角度表示椅子的位置，椅子四脚连线为正方形ABCD。AC连线与x轴重合，椅子绕中心旋转 后，AC与x轴的夹角表示椅子的位置。设AC两脚与地面距离之和为 ，BD两脚与地面距离之和为 ， 由假设可知， ， ，中至少有一个为零，假设在 时， ，问题转化为这样的数学问题： 继续阅读