复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结复变函数积分方法总结复变函数积分方法总结复变函数积分方法总结[键入文档副标 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ]acer[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变,各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势,同时也具有本来原函数的性质,也会有多类型的可积函数类型,也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数:z=x+iyi²=-1,x,y分别称为z的实部与虚部,记作x=Re(z),y=Im(z)。argz=θ₁θ₁称为主值-π＜θ₁≤π,Arg=argz+2kπ。利用直角坐标与极坐标的关系式x=rcosθ,y=rsinθ,故z=rcosθ+irsinθ;利用欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ。z=reiθ。1、定义法求积分:定义:设函数w=f(z)定义在区域D内,C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线,把曲线C任意分成n个弧段,设分点为A=z0,z1,…,zk-1,zk,…,zn=B,在每个弧段zk-1zk(k=1,2…n)上任取一点k并作与式Sn=(zk-zk-1)=∆zk记∆zk=zk-zk-1,弧段zk-1zk的长度={∆Sk}(k=1,2…,n),当0时,不论对c的分发即k的取法如何,Sn有唯一的极限,则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为:=∆zk设C负方向(即B到A的积分记作)、当C为闭曲线时,f(z)的积分记作(C圆周正方向为逆时针方向)例题:计算积分,其中C 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示a到b的任一曲线。(1)解:当C为闭合曲线时,=0、∵f(z)=1Sn=(zk-zk-1)=b-a∴=b-a,即=b-a、(2)当C为闭曲线时,=0、f(z)=2z;沿C连续,则积分存在,设k=zk-1,则∑1=(zk-zk-1)有可设k=zk,则∑2=(zk-zk-1)因为Sn的极限存在,且应与∑1及∑2极限相等。所以Sn=(∑1+∑2)==b2-a2∴=b2-a21、2定义衍生1:参数法:f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy带入得:=-vdy+i+udy再设z(t)=x(t)+iy(t)(≤t≤)=参数方程书写:z=z0+(z1-z0)t(0≤t≤1);z=z0+reiθ,(0≤θ≤2π)例题1:积分路线就是原点到3+i的直线段解:参数方程z=(3+i)t==(3+i)3=6+i例题2:沿曲线y=x2计算解:参数方程或z=t+it2(0≤t≤1)==(1+i)+2i]=-+i1、3定义衍生2重要积分结果:z=z0+reiθ,(0≤θ≤2π)由参数法可得:=dθ=dθ=例题1:例题2:解:=0解=2πi2、柯西积分定理法:2、1柯西-古萨特定理:若f(z)dz在单连通区域B内解析,则对B内的任意一条封闭曲线有:=02、2定理2:当f为单连通B内的解析函数就是积分与路线无关,仅由积分路线的起点z0与终点z1来确定。2、3闭路复合定理:设函数f(z)在单连通区域D内解析,C与C1就是D内两条正向简单闭曲线,C1在C的内部,且以复合闭路=C+C1所围成的多连通区域G全含于D则有:=+=0即=推论:=例题:C为包含0与1的正向简单曲线。解:被积函数奇点z=0与z=1、在C内互不相交,互不包含的正向曲线c1与c2。=+==+++=0+2πi+2πi+0=4πi2、4原函数法(牛顿-莱布尼茨公式):定理2、2可知,解析函数在单连通域B内沿简单曲线C的积分只与起点z0与终点z1有关,即=这里的z1与z0积分的上下限。当下限z0固定,让上限z1在B内变动,则积分在B内确定了一个单值函数F(z),即F(z)=所以有若f(z)在单连通区域B内解析,则函数F(z)必为B内的解析函数,且=f(z)、根据定理2、2与2、4可得=F(z1)-F(z0)、例题:求解:函数zcosz在全平面内解析∴=zsinz-=isini+cosz=isini+cosi-1=i+-1=e-1-1此方法计算复变函数的积分与计算微积分学中类似的方法,但就是要注意复变适合此方法的条件。2、5柯西积分公式法:设B为以单连通区域,z0位B中一点,如f(z)在B内解析,则函数在z0不解析,所以在B内沿围绕z0的闭曲线C的积分一般不为零。取z0位中心,以>0为半径的正向圆周=位积分曲线,由于f(z)的连续性,所以==2πif(z0)2、5、1定理:若f(z)在区域D内解析,C为D内任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z0为C内的任一点,有:f(z0)=例题:1)2)解:=2πisinz|z=0=0解:==2πi|z=-i=2、6解析函数的高阶导数:解析函数的导数仍就是解析函数,它的n阶导数为f(n)(z0)=dz(n=1,2…)其中C为f(z)的解析区域D内围绕z0的任一条正向简单闭曲线,而它的内部全含于D、例题:C:=1解:由高阶导数的柯西积分公式:原式=2πi(ez)(4)|z==3、解析函数与调与函数:定义:(1)调与函数:如果二元实函数(x,y)在区域D内具有二阶连续函数,且满足拉普拉斯方程:+=0,则称(x,y)为区域D内的调与函数。若f(z)=u+iv为解析函数,则u与v都就是调与函数,反之不一定正确(2)共轭调与函数:u(x,y)为区域内给定的调与函数,我们把就是u+iv在D内构成解析函数的调与函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调与函数。若v就是u的共轭调与函数,则-u就是v的共轭调与函数关系:任何在区域D内解析的函数,它的实部与虚部都就是D内的调与函数;且虚部为实部的共轭调与函数。3、1求解方法:(1)偏积分法:若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程先求得v的偏导数=,两边对y积分得v=、再由=又得+=-从而=dx+Cv=+dx+C同理可由v(x,y)求u(x,y)、3、2不定积分法:因为=Ux+iVx=Ux-iUy=Vy+iVX所以f(z)=+cf(z)=+c3、3线积分法:若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程可得的dv=dx+dy=-dx+故虚部为v=+C该积分与路径无关,可自选路径,同理已知v(x,y)也可求u(x,y)、例题:设u=x2-y2+xy为调与函数,试求其共轭函数v(x,y)级解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解:利用C-R条件=2x+y=-2y+x=2=-2所以满足拉普拉斯方程,有==2y-x==2x+y所以v=+=2xy-+=2x+=2x+y=y=+cv(x,y)=2xy-+cf(z)=u(x,y)+iv(x,y)=(2-i)+iC4、留数求积分:留数定义:设z0为函数f(z)的一个孤立奇点,即f(z)在去心邻域、0<<,我们把f(z)在z0处的洛朗展开式中负一次幂项系数c-1称为f(z)在z0处的留数,记为Res[f(z),z0]即Res[f(z),z0]=c-1或者Res[f(z),z0]=C为0<<4、1留数定理:设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1z2…zn,=2πi其中zk表示函数的孤立奇点4、2孤立奇点:定义:如果函数在z0不解析,但在z0某个去心邻域0<<内解析,则称z0为的孤立奇点。例如、都就是以z=0为孤立奇点函数以z=-1、z=2为孤立奇点、、、、、、、、、、在孤立奇点z=z0的去心邻域内,函数可展开为洛朗级数=洛朗级数中负幂项就是否存在,若存在就是有限项还就是无限项,这对f(z)在z0处的奇异性将起着决定性的作用。讨论孤立奇点z0的类型:4、2、1可去奇点:若函数f(z)在孤立奇点z0的去心邻域内的洛朗展开式中不含负幂项,即对一切n<0有cn=0,则称z0就是f(z)的可去奇点因为没有负幂项,即c-n=0,(n=1,2、、、、、)故c-1=0。遇到函数f(z)的奇点类型就是可去奇点,一般对函数求积分一般为零=2πi=0。判断可去奇点方法:⑴函数在某个去心邻域0<<内解析,则z0就是的可去奇点的充要条件就是存在极限=c0,其中c0就是一复常数;⑵在⑴的假设下,z0就是f(z)可去奇点的充要条件就是:存在r≤,使得f(z)在0<