2012广州中考数学复习5

2012广州中考数学复习5 初三数学讲义 圆 一(课前练一练 二(教学 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 一、圆的概念 集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念: 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆; 2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线); 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 ,,1、点在圆内 点在圆内; dr,CAd rOB,,2、点在圆上 点在圆上; dr,BdA,,3、点在圆外 点在圆外; dr,C 三、直线与圆的位置关系 ,,1、直线与圆相离 无交点; dr, ,,2、直线与圆相切 有一个交点; dr, ,,3、直线与圆相交 有两个交点; dr, rrd=rdd 四、圆与圆的位置关系 外离(图1) 无交点 ; ,,dRr,， 外切(图2) 有一个交点 ; ,,dRr,， 相交(图3) 有两个交点 ; ,,RrdRr,,,， 内切(图4) 有一个交点 ; ,,dRr,, 内含(图5) 无交点 ; ,,dRr,, ddd rRrRRr 图2图1图3 ddrrRR 图4图5 五、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理:此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即: ABBDAD ?是直径 ? ? ? 弧弧 ? 弧弧 ,,ABCD,CEDE,BCAC中任意2个条件推出其他3个结论。 A推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 DCAB 即:在?中，?? OCDOO EBABD ?弧弧 ,ACDC B六、圆心角定理 圆心角定理:同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， E只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， F O D ACB ABDE,即:?;?; ，,，AOBDOE BABD?;? 弧弧 ,OCOF, 七、圆周角定理 C1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 AB即:?和是弧所对的圆心角和圆周角 ，AOB，ACB OB ? ，,，AOBACB2 A2、圆周角定理的推论: 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧; ，D即:在?中，?、都是所对的圆周角 O，CDC ? ，,，CD OB A 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 AB即:在?中，?是直径 或? O，,:C90 CAB ? ?是直径 ，,:C90 BAO 推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 C即:在?中，? ABCOCOAOB,, ??是直角三角形或 ABC，,:C90BAO 注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即:在?中， ODC ?四边形是内接四边形 ABCD B EA ? ，，，,:CBAD180，，，,:BD180 ，,，DAEC 九、切线的性质与判定定理 (1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即:?且过半径外端 MNOA,MNOA ?是?的切线 MNOO(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 MNA 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理: 即:?过圆心;?过切点;?垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 十、切线长定理 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 PAPB即:?、是的两条切线 B PAPB, ? O，BPA 平分 POP A 十一、两圆公共弦定理 圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 ABOO如图:垂直平分。 A12 O2O1ABOO即:??、?相交于、两点 12 BABOO ?垂直平分 12 AB十二、圆的公切线 CO1两圆公切线长的计算公式: O2 2222(1)公切线长:中，; ABCOOOCO,,,RtOOC,121122 COCO(2)外公切线长:是半径之差; 内公切线长:是半径之和 。 22 十三、圆内正多边形的计算 C(1)正三角形 O 在?中?是正三角形，有关计算在中进行:OABCRtBOD, ABODBDOB::1:3:2,; D CB(2)正四边形 O同理，四边形的有关计算在中进行，: OEAEOA::1:1:2,RtOAE, AD E (3)正六边形 O同理，六边形的有关计算在中进行，. ABOBOA::1:3:2,RtOAB, B A 十四、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 A nR,1、扇形:(1)弧长公式:; l,180OlS 2nR,1,,SlR(2)扇形面积公式: B3602 R:圆心角 :扇形多对应的圆的半径 :扇形弧长 :扇形面积 nlS 2、圆柱: DD1A(1)圆柱侧面展开图 2母线长SSS,，2 = 22,,rhr，侧表底底面圆周长BC1C2(2)圆柱的体积: Vrh,, B1 (2)圆锥侧面展开图 O R CrAB 2(1)= ,,Rrr，SSS,，侧表底 12(2)圆锥的体积: ,,Vrh3 补充知识点: (1)相交弦定理:圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 ABP即:在?中，?弦、相交于点， OCD ? PAPBPCPD,,, (2)推论:如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段C的比例中项。 BAOE即:在?中，?直径， OABCD,D 2 ? CEAEBE,, (3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点A到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 ED OPAPB即:在?中，?是切线，是割线 OP CB2 ? PAPCPB,, (4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如 上图)。 PBPE即:在?中，?、是割线 O ? PCPBPDPE,,, 例题 1、如图，点A、B、C在?O上，若?BAC,20º，则?BOC的度数为 A(20º B(30º C(40º D(70º 【答案】C。 【考点】同弧所对圆周角与圆心角的关系。 【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角一半的定理，?BOC=2?BAC,40º。 ?2、如图，?ACB,60，半径为2的?0切BC于点C，若将?O在CB上向右滚动，则当滚动到?O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为 23A、2π B、4π C、 D、4 【答案】C。 【考点】圆和切线，解直角坐标三角形。 【分析】如图，当滚动到?O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离等 于CE的长。注意到当?O与CA和CB都相切时，OC平分?ACB，所以 OE2?在Rt?OCB中，?OCE=30，OE=2，CE=,,23。故选C。 0tan303 3 23、先作半径为的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方形，…，2 则按以上规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为 227667)A、( B、( C、( D、 )2)(2)22 【答案】B。 【考点】圆内接正方形，勾股定理，分类归纳。 2,,222,=,,【分析】根据已知知，第2个圆的内接正方形的边长为，第3个圆的内接正方形的边长为,,222,, 2367,,,,,,,,222222,=,=，故第7个圆的内接正方形的边长为。故选B。 ,,,,,,,,,,,,,,,,222222,,,,,,,, 4、已知两圆的半径分别为1和3(若两圆相切，则两圆的圆心距为____ ____( 【答案】4或2。 【考点】两圆的圆心距与半径的关系。 【分析】根据两圆的圆心距与半径的关系，两圆外切，两圆的圆心距为两圆半径之和4;两圆内切，两圆的圆心距为两圆半径之差2。 三(教学练习 1.(2007.21)(如图5，在?ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC、AC、AB分别切于点D、E、F((1)求证:BF=CE; (2)若?C=30?，CE =，求AC的长( 23 2.(2007.10)(如图1，?O是?ABC的外接圆，OD?AB于点D、交?O于点E， ?C=60?， 如果?O的 半径为2，那么下列结论中错误的是( )( ((C O D B A E (A) (B)弧AE=弧EB (C) (D) ADDB,AB,3OD,1 ??BCDE,3.(2008.23)如图9，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且 (1)求证:AC=AE (2)利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与?MCE的平分线，两线交于点F(保留作图痕迹，不写作法)求证:EF平分?CEN ?AB4.(2008.24)如图10，扇形OAB的半径OA=3，圆心角?AOB=90?，点C是 上异于A、B的动点，过点C作CD?OA于点D，作CE?OB于点E，连结DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE 图9 (1)求证:四边形OGCH是平行四边形 ?AB(2)当点C在上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段, 若存在，请求出该线段的长度 22(3)求证:是定值 CDCH，3 图10 5.(2008.15)命题“圆的直径所对的圆周角是直角”是 命题(填“真”或“假”) 6.(2008.14)将线段AB平移1cm，得到线段A’B’，则点A到点A’的距离是 27.(2009(9)(已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为cm，设圆锥的母线与高的夹角为(如图5所65π,示)，则的值为( ) sin, 551012 ,A( B( C( D( 12131313 图5 A AC,23cm8.(2009(20)(如图10，在中，，( ?O，,，,ACBBDC60? D (1)求的度数; ，BACO (2)求的周长( ?O B C 图10 9.(2010(14)一个扇形的圆心角为90?(半径为2，则这个扇形的弧长为_ _______( (结果保留) , 10.(2010(24)如图，?O的半径为1，点P是?O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一APB 点(与端点A、B不重合)，DE?AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作?D，分别过点A、B作?D 的切线，两条切线相交于点C( (1)求弦AB的长; (2)判断?ACB是否为定值，若是，求出?ACB的大小;否则，请说明理由; S(3)记?ABC的面积为S，若,4，求?ABC的周长. 32DEC P D A B E O 四(教学总结 五、布置作业 (2008.25)如图11，在梯形ABCD中，AD?BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰?PQR中，?QPR=120?，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰?PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰?PQR重合部分的面积记为S平方厘米 (1)当t=4时，求S的值 (2)当，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值 4,,,,t 图11 参考答案 1.(1)证明: A EF ? AE、AF是?O的切线， O? AE,AF( BCD又? AC,AB， 图5 ,, ? ACAE,ABAF( ?CE,BF，即BF,CE( (2)连结AO、OD， ? O是?ABC的内心， ? OA平分?BAC( ? ?O是?ABC的内切圆，D是切点， ? OD?BC( 又? AC,AB， ? AO?BC( ? A、O、D三点共线，即AD?BC( ? CD、CE是?O的切线， ? CD,CE=( 23 CD23在Rt?ACD中，由?C=30?，CD =，得 23AC,,,4cos303/2 2.D 3(证明:(1)作OP?AM，OQ?AN证,APO,,AQO由BC,CD，得CP,EQ得证 (2)同AC,AE得， ，ECM,，CEN 11由CE,EF得得证 ，FCE,，FEC,，MCE,，CEN22 4. 1)连结OC交DE于M，由矩形得OM,CG，EM,DM 因为DG=HE所以EM,EH,DM,DG得HM,DG (2)DG不变，在矩形ODCE中，DE,OC,3，所以DG,1 5. 真 6. 1cm 7. B 8(解:(1)?， BCBC, ?( ，,，,BACBDC60? (2)?， ，,，,BACACB60? ?( ，,ABC60? ?是等边三角形( ?ABC 求的半径给出以下四种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 : OA E:连结并延长交于点(如图1)( 方法1AOBC ?是等边三角形， D ?ABC O ?圆心既是的外心又是重心，还是垂心( O?ABC C B EE ACCE 23cm 3cm,,，在中， Rt?AEC 20题(2)图1 22?( AEACCE,,,3cm 2?，即O的半径为2cm( AOAE,,，2cm3 E方法 2:连结，作交于点(如图 2) OCOA、OEAC?AC?，， OAOC,OEAC? ?( CEEA, 11?( AEAC,,，,233cmA 22 ?， ，,，,AOCABCOEAC2120?，? E D ?中，( Rt?AOE，,AOE60?O AE在中，， sin，,AOERt?AOEC B EE OA 20题(2)图2 33AE,?即( sin60?,，2OAOA ?，即的半径为2cm( OA,2cmO E方法3:连结，作交于点(如图 2)( OCOA、OEAC?AC?是等边三角形的外心，也是的角平分线的交点， OABC?ABC 11?( ，,,,，,OAEAEAC30233cm?，22 3AEcos30?,在中，即( cos，,OAE，Rt?AEOOAOA 33,?( 2OA ?，即O的半径为2cm( OA,2cm E方法 4:连结，作交于点(如图2)( OCOA、OEAC?AC?O是等边三角形的外心，也是的角平分线的交点， ?ABC 11?( ，,,,，,OAEAEAC30233cm?，22 在中，设，则， Rt?AEOOEx,cmOAx,2cm 222?， AEOEOA，, 222?( (3)(2)，,xx 解得( x,1 ?，即O的半径为2cm( OA,2cm ? O的周长为，即( 2πr4πcm 9. π 10. 解:(1)连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA,1( C G P H D A B E F O 11?弦AB垂直平分线段OP，?OF,OP,，AF,BF( 22 132222OAOF,在Rt?OAF中，?AF,,,，?AB,2AF,( 31(),22 (2)?ACB是定值. 理由:由(1)易知，?AOB,120?， 因为点D为?ABC的内心，所以，连结AD、BD，则?CAB,2?DAE，?CBA,2?DBA， 1因为?DAE，?DBA,?AOB,60?，所以?CAB，?CBA,120?，所以?ACB,60?; 2 (3)记?ABC的周长为l，取AC，BC与?D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG,DH,DE， DG?AC，DH?BC. SSSS,，，? ,,,ABDACDBCD 11111,AB•DE，BC•DH，AC•DG,(AB，BC，AC) •DE,l•DE( 22222 1lDES2?,4，?,4，?l,8DE. 33322DEDE 1?CG，CH是?D的切线，??GCD,?ACB,30?， 2 DGDE?在Rt?CGD中，CG,,,DE，?CH,CG,DE( 33tan303 3又由切线长定理可知AG,AE，BH,BE， ?l,AB，BC，AC,2，2DE,8DE，解得DE,3， 333??ABC的周长为24( 3