空间解析几何学习方法

第九章  空间解析几何 一、本章提要 1．基本概念 空间直角坐标系，向量，向量的模，单位向量，自由向量，向径，向量的坐标与分解，向量的方向余弦，向量的点积与叉积，平面的点法式与一般式方程，直线的点向式及一般式方程，球面，柱面，旋转面，二次曲面，空间曲线在坐标面上的投影，失函数的导数，失函数的积分． 2．基本公式 两点间的距离公式，向量模与方向余弦公式，点积与叉积坐标公式，点到平面的距离公 式，平面与直线间的夹角公式． 3．方程 直线的点向式方程，直线的参数方程，直线的一般式方程，平面的点法式方程，平面的一般式方程． 二、要点解析 问题1  自由向量的基本特征为何?如何描述其基本特征? 解析  向量含有两个基本特征，一个是大小，另一个是方向．所谓自由向量是只考虑大小和方向，而不考虑它的始点和终点位置，即一个向量可以在空间自由地平行移动．不论位置如何，只要其大小相等、方向相同即认为是相等或同一向量．本书讨论的向量均为自由向量． 向量特征的描述，从几何上是用有向线段的方向代表向量的方向，有向线段的长度代表向量的大小．从坐标表示上，以为始点，为终点的向量为 ， 其大小(模)为，其方向由其与坐标轴正向的夹角的余弦确定，即 ，，． 问题2  向量的点积与叉积有何物理意义？如何计算？如何利用它们判别向量的位置关系？ 解析  设向量与的夹角为，则 ，， 其中为与，同时垂直，方向由右手螺旋法则确定的单位向量．点积为数量，叉积为向量． 点积在物理上可以表示功，若物体在力的作用下作直线运动，其位移向量为，则其功为 ． 叉积在物理上可以表示力矩、磁力等．当单位电荷以速度在磁场中运动时，它所受的磁力为，其大小为，方向由右手螺旋法则确定． 若，，则     ， ． 向量之间的位置关系： (1)； (2)∥或； (3)与的夹角由确定． 例1  设，，求和． 解  ． ． 问题3  说明确定平面的条件及典型的平面方程． 解析  满足下列条件之一者可确定一个平面： (1)  过空间中不共线的三个点； (2)  过直线和直线外一点； (3)  过两条平行或相交的直线． 我们用向量的方法可将条件归结为：过一已知点且与一已知向量垂直便可确定一个平面．由此条件建立的平面方程就是平面的点法式方程． 平面的主要方程形式： (1) 点法式：过点，法向量为的平面方程为 ； (2) 一般式：，其中； (3) 截距式：，其中平面与坐标轴交点为； (4) 三点式：，其中，，为平面上不在一条直线上的三点． 例2  求通过点和轴的平面方程． 解  因为轴的单位向量和均在所求平面内，故可取该平面的一个法向量为，于是所求方程为 ， 即                              ． 问题4  说明确定直线的基本条件及典型的直线方程． 解析  确定一条直线的条件有：过不重合的两点，或者二平面的交线等．我们用向量的方法可将这些条件归结为：过一已知点且与一已知向量平行可以确定一条直线，由此条件建立起来的直线方程为直线的点向式方程． 直线的主要方程形式： (1) 点向式：，其中为直线上定点，为直线的方向向量； (2) 参数式： (3) 两点式：，其中，为直线上不重合的两点； (4)一般式：其中此二平面不平行． 例3  求过点且垂直于平面的直线方程． 解  因所求直线的方向向量与已知平面的法向量同向，所以可取，故所求方程为． 注意：上式右端一项分母为零是一种记法，它只表示该直线与轴垂直． 问题5  列举常见的曲面方程，指明曲面及其方程特征． 名称 方程形式 方程特征 曲面形式 柱 面 母线平行轴的柱面方程， 圆柱面， 抛物柱面， 双曲柱面－， 椭圆柱面＋ 方程中不含变量 旋 转 曲 面 曲线：绕轴旋转而成的曲面 含有形式且的平方项系数相同 二 次 曲 面 椭球面 的平方项系数同号 抛物面 含的平方项，的一次项 单叶双曲面－ 的平方项系数与的平方项系数异号 三、例题精解 例4  已知向量的始点为，终点为，试求： (1)向量的坐标表示； (2)向量的模； (3)向量的方向余弦； (4)与向量方向一致的单位向量． 解  (1) ； (2)； (3) 在三个坐标轴上的方向余弦分别为 ； (4) ． 例5  求与共线，且的向量． 解  由于与共线，所以可设 ， 由，得 ， 即，所以，从而 ． 例6  已知，求，使且． 解一  待定系数法．设，则由题设知及，所以有 由①得 ，                                ④ 由②得 ，                            ⑤ 将④和⑤代入③得 ， 解得                        ， 于是                    或． 解二  利用向量的垂直平行条件，因为，所以∥． 设是不为零的常数，则 ， 因为，所以，解得 ， 所以                        或． 解三  先求出与向量方向一致的单位向量，然后乘以． ， ， 故与方向一致的单位向量为．于是 ， 即                        或． 例7  求满足下列条件的平面方程： (1)过三点，和； (2)过轴且与平面的夹角为． 解  (1)解一  用三点式．所求平面的方程为 ， 即                            ． 解二  用点法式．，，由题设知，所求平面的法向量为 ， 又因为平面过点，所以所求平面方程为 ， 即                            ． 用下面的方法求出所求平面的法向量，再根据点法式公式写出平面方程也可． 因为                      ， 所以                            解得                          ， 于是所求平面方程为 ， 即                            ． （2）因所求平面过轴，故该平面的法向量垂直于轴，在轴上的投影，又平面过原点，所以可设它的方程为 ， 由题设可知（因为时，所求平面方程为又，即．这样它与已知平面所夹锐角的余弦为 ，所以），令，则有，由题设得 ， 解得                          或， 于是所求平面方程为或． 例8  已知平面在轴上的截距为2，且过点和，求此平面方程． 解析  此题容易想到用三点式求平面方程，其实不然，因为用三点式需要解三阶行列式，比较麻烦．注意到所求平面与三条坐标轴都相交，它在轴上的截距已知是2，易知它在轴上的截距是-1，在轴上的截距也容易求得．故用截距式求该平面方程方便些． 解  设所求平面方程为 ， 由题设知                        ， 平面过点，所以，得．于是，所求平面方程为 ， 即                          ． 例9  求过点，平行于直线且垂直于平面的平面方程． 解一  用点法式．所给直线的方向向量，所给平面的法向量． ， 由题设知，所求平面的法向量且，取，于是所求平面方程为 ， 即                                ． 解二  所求平面方程为 ， 由平面过点得 ，                        ① 有所求平面垂直于平面 ， 知                            ， 所以                            ，                          ② 又由所求平面平行于直线，知 ， 所以                            ，                          ③ 解①，②，③联立方程组得 ， 所求平面方程为                ． 例10 求过点且平行于平面：，又与直线 相交的直线L的方程． 解一  用点向式方程。因为直线L平行于平面，故直线的方向向量垂 直于平面的法向量，从而得 ，                          ① 又直线的方向向量为，是直线上一点，是直线上一点，根据题设：直线与直线相交，所以及共面，因此 ， 即                            ，                            ② 将①和②联立解得 ， 由此得                            ， 于是所求直线方程为 ． 解二  用一般式，即先求出过的两个平面，将其方程联立便得的方程． 直线在过点且平行于平面的平面上，平面的方程为 ， 即                              ， 直线又在过点及直线的平面上，平面的法向量可取为 ， 故平面的方程为 ， 即                              ， 于是所求直线方程为 小结：在求平面或空间直线的方程时，“定点”(确定所求平面或所求直线上的一点)和“定向”(确定所求平面的法向量或所求直线的方向向量)是关键． 例11  求空间曲线在平面上的投影曲线方程并作其图形． 解  将所给方程组消去，就得到包含曲线的投 影柱面的方程 ， 所以柱面与平面的交线即为所求曲线的投影曲线(如右图)． 四、练习题 1．判断正误 (1)若且，则；                                    ( ) 解析  ==0时，不能判定或．例如，，，有，但． (2)若且，则；                                ( ) 解析  此结论不一定成立．例如，，，则，，，但． (3)若，则或；                                      ( ) 解析  两个相互垂直的非零向量点积也为零． (4)．                                                  ( √ ) 解析  这是叉积运算规律中的反交换律． 2．选择题 (1)  当与满足（ D ）时，有； ；    (为常数)；  ∥；  ． 解析  只有当与方向相同时，才有． (A)中，夹角不为0，(B)，(C)中，方向可以相同，也可以相反． (2) 下列平面方程中，方程( C )过轴； (A)  ；  (B) ；  (C) ；  (D) ． 解析  平面方程若过轴，则，故选C． (3)在空间直角坐标系中，方程所表示的曲面是( B )； (A) 椭球面；    (B)  椭圆抛物面；    (C)  椭圆柱面；    (D)  单叶双曲面． 解析  对于曲面，垂直于轴的平面截曲面是椭圆，垂直于轴或轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面． (4)空间曲线在面上的投影方程为( C )； (A)； (B)； (C) ；(D) 解析  曲线与平面平行，在面上的投影方程为． (5)直线与平面的位置关系是( B )． (A) 垂直；    (B)  平行；      (C)  夹角为；  (D)  夹角为． 解析  直线的方向向量={2，1，-1}，平面的法向量={1，-1，1}，=2-1-1=0， 所以，⊥，直线与平面平行． 3．填空题 (1) 若，，则 ，   0  ； 解  ==， ==0． (2) 与平面垂直的单位向量为 ； 解  平面的法向量 ={1，-1，2}与平面垂直，其单位向量为==， 所以，与平面垂直的单位向量为． (3) 过点和且平行于轴的平面方程为 ； 解  已知平面平行于轴，则平面方程可设为 ，将点 (-3，1，-2)和(3，0，5)代入方程，有     得        ，      即  ． (4) 过原点且垂直于平面的直线为； 解  直线与平面垂直，则与平面的法向量 ={0，2，-1}平行，取直线方向向量=={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为  ． (5) 曲线在平面上的投影曲线方程为 解  曲线在面上的投影柱面为 ，故 为空间曲线在平面上的投影曲线方程． 4．解答题 (1)已知，，计算 (a) ；  (b)  ；  (c)  ； 解  (a)  =， (b)  ， ， 所以                ． (c)  ， 所以                      ． (2)一直线通过点，且垂直于直线，又和直线相交，求该直线方程； 解  设所求直线的方向向量为      ， 因为直线过点，则所求直线方程为 ， 联立                          由①，令，则有代入方程② 有                              可得                                  ， 代入③解得                            ， 因此，所求直线方程为          ． (3)一平面过直线且与平面垂直，求该平面方程； 解  直线在平面上，令=0，得 ，=4，则（0，-，4）为平面上的点． 设所求平面的法向量为          =， 相交得到直线的两平面方程的法向量分别为 ={1，5，1}，={1，0，-1}， 则直线的方向向量          ==={-5，2，-5}， 由于所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即 ={-5，2，-5}•==0， 因为所求平面与平面垂直，则 ==0， 解方程组     所求平面方程为      ， 即                          ． (4)指出下列方程表示的图形名称： (a) ； 解  绕轴旋转的旋转椭球面． (b) ； 解  绕z轴旋转的旋转抛物面． (c) ； 解  绕轴旋转的锥面． (d) ； 解  母线平行于轴的两垂直平面：，． (e) ； 解  母线平行于轴的双曲柱面． (f) ． 解  旋转抛物面被平行于面的平面所截得到的圆，半径为，圆心在（0，0，2）处． （5）设，求，． 解  矢函数的导数  = = ， 矢函数的积分      = = = = ．