第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点

第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点 ?1 解析函数的洛朗展式 教学目的与要求: 了解双边幂级数,了解洛朗级数与泰勒级数的关系,掌握解析函数在孤立奇 点邻域内的洛朗展式的求法. 重点: 解析函数的洛朗展式;解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式的求法. 难点:解析函数的洛朗展式的证明. 课时:2学时 ，,CCnn1,,5.1定义 级数 (5.1)()(),,,,,，，,,,，，，,，,,,CzaCCza,01nn(),,zazan,,, 称洛朗级数，称为的系数. C()Laurent(4.22)n 对于点，如果级数 z ，,nn (5.2)CzaCCzaCza()()(),,，,，,,,，,，,,,,01nnn,,, ，,CCnn1,,收敛于，且级数 fx()(5.3)(),,,,,，，,,,，Cza,1nn(),,zazan,,, 收敛于，则称级数在点收敛，其和函数为当fx()fx()fx()(4.22)z，221 时，即变为幂级数. C,0(1,2,)n,,,,(5.1),n 类似于幂级数，我们有 5.1DDRzaR:,,,定理 设在圆环内解析，则在内 (0),,,，,RRfz()1212 ，,n (5.4)fzCza()(),,,nn,,, 1()fz其中 ,(0,1,)n,,,,,(5.5)Cdznn，1,,,,2()iza D,,,:za,RR,,,C，且，系数被及唯一确定. fz()n12 称为的洛朗展式. (5.4)fz() ,,zH:,,,za,,,,za,rR,,,,,证明:对作，，(其中) 1:12:212 zD,,,,,,za 且使:，(如图5.1)由柯西积分公式，有 12 ,,,fff，，，，，，111+ ,,ddfzd,,,，，,,,,,，,,,2121,,2iz2iz,2iz,,,,,, 图5.1 对于第一个积分，只要照抄泰勒定理证明中的相应部分，即得: n,f,,ffa，，1，，，，1n,Cd= 其中 ,,Cza,d,，，n,nn，1,,,2,22in!,,2iz,,,a，，,n0, fff,,,,f，，，，，，，，1对于第二个积分: ,,d,,,1zzaa,,,,,2izza,,,，，，，,,,,za1,,，，,,a,,,, a,,,11时 当 ,,,,,1zaza,, n,1,1,,a,,？, (右边级数对于是一致收敛) ,,,,,,1,a,za,,,n,11,za, n,1,,f,f,f,f,，，，，1，，，，,,a,,上式两边乘上得:= ,,,nn1,，,,za,,zzaza,,,,,zaan1,，，，，,,,n,1 右边级数对,,, 仍一致收敛，沿,逐项积分，可得 11 ,f,,f1，，1，，1d= ,d,,nn，1,,,,112i,2iz,za,,,,a,n1，，，，, f,f,，，，，11PTh3.10ddC其中=,, 113.n,，n1,，n1,,,,12i2i,,,,aa，，，，,, ，,f,，，1ndC,于是:， 其中= (n=0,,1,？) fzCza,,，，，，,nn，1n,,2i,,a，，,n,,, ，,n'fz下面证明展式唯一，若在H内另有展开式 fzCza,,，，，，，，,nn,,, 1右边级数在上一致收敛，两边乘上得: ,m，1za,，， ',fz，，Cn=，右边级数在上仍一致收敛，沿逐项积分，可得: ,,,m，1mn,，1za,za,n,,,，，，， ，,f,11，，1'Cd,d= ,,nmn,，1m，1,,,,2i2i,,,a,an,,,,，，，，, '= 即展式是唯一的. CC？nn 注:1)定理中的展式称为洛朗展开式，级数称为洛朗级数. 称为洛朗系数. Cn 2)泰勒展式是洛朗展式的特例. 1fz,例1(求 ，，zz,,12，，，， 在(1)zzzz,,,,,,,,,1,(2)12,(3)2(4)011中的洛朗展开式. 11解: fz,,，，zz,,21 nn,,,,,111zz1,,,,nnn(1)= fzz,,,,,,z,z1，，,,,,,,,,,11n，，nz122,z2,,2,,00,,nn,,000n,nn,,,21,,2,, z,1(). n,,,,z111111,,,fz,,(2) ,,,，，,,,,nn，1z1zz,,212zz,,,,nn,,00,,211,,z,,,,2z,,,, n,,,,z1,,,12,,z. () ,,,,nn，，112znn,,00,, 1111fz,,,,(3) ，，21zz,,21,,,,zz11,,,,,,zz,,,, n,,,,,1211n,,,,212,,,z . () ，，,,,,,nnn，1zzzznnn,,,000,, n,11111011,,,zfzz,,,,,,,,1(4). () ，，，，,zzzzz,,,,,,211111，，n,0 此例子说明:同一个函数在不同的圆环内的洛朗展式可能不同. sinzsinz例2 求及在内的洛朗展式 0,,，,z2zz 321nn,sinz1(1)zzz, 解 ,,，，,,,，，,,,2zzn3!5!(21)!， 242nnsinzzzz,(1) ,,，，,,,，，,,,1z3!5!(21)!n， 1z例3 e在内的洛朗展式为 0,,，,z 1111z,，，，,,,，，,,,e解 12nzznz2!! 作业: 第217页 1 (1) (3), 2(1)(3) ?2解析函数的孤立奇点 教学目的与要求: 掌握洛朗定理及孤立奇点的分类及判断 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 . 重点:孤立奇点的分类及判断方法. 难点:函数在本质奇点的邻域的性质. 课时:2学时 一 . 定义: 1(设在点的某去心邻域内解析，但在点不解析， aafz() 1sinzzz,0则称为的孤立奇点.例如，以为孤立奇点. afez z,0z以为奇点，但不是孤立奇点，是支点. 111z,0z,0sin0,zk,,,,(1,2...,)以为奇点(又由，得故不是孤立奇点) 1z,ksinz 2(设为的孤立奇点，则在的某去心邻域内，有aafz()fz() ,,,ncc,nn,fz(),，，称为在点的主要部分，称afz()(),za,,,ncnn10n=1nn,,(),(),zaza ,n为在点a的正则部分， fz()()za,,cn0n, 0a当主要部分为时，称为fz()的可去奇点; ccc,,(1)m,m,1当主要部分为有限项时，设为，，，,？(0) c,mmm,1()(),,,zazaza amafz()称为的级极点;当主要部分为无限项时，称为本性奇点. 二(判定 1(可去奇点 定理5.3 设为的孤立奇点,则下列条件等价 afz() 为的可去奇点 (1)af (2)lim()()fzb,,, za, 在的某去心邻域内有界 a()3f ()1证明:设条件成立,则在的某一去心 a"(1)(2)", ,n邻域内,有 fzfz()lim(),？,,,()za,,cc0nza,0n, 显然成立. "(2)(3)":, M设在的去心邻域kazaR,,,,{}:0内以为界 a"(3)(1)",f 考虑在点的主要部分: fz()z 1()f,,,,,,,,？ dnaR(1,2,): 0,,,,c,，n1,,n,2i,(),,a 1Mn ,,,,,,,,CM200，，,n,，1n2,, ？,,,？？0a为可去奇点. cc,,12 sinzz,0.例:说明是的可去奇点 z 324sin1zzzz法一: ,,，,,，,,,()1 0zz？？zz3!3!5! sinz,,,lim1法二: z,0z .2极点 5.4.a定理 设为fz()的孤立奇点则下列条件等价: ()1a为f的级极点 m kazaR,,,,{}:0a()2f在的某去心邻域:内可表示为 ,()zk其中在内解析，且 ,fz(),()0a,,()zm ()za, 1从为m级零点(可去奇点作为解析点看) a(3).()gz,fz() 证明:设条件成立，即在的某去心邻域内有: a"(1)(2)",fz()(1) cc,m,1 (0)c,()(),，，，，,，？？fzccza,m01m(),,zaza mm,1cczaczacza，,，，,，,，()()()？？,,，,mm110 ,m()za, ,()z 记m,()za (为幂级数的和函数，故解析) ,()z 其中在的某邻域内解析，且从 ,()0ac,,a,()z,m kazaR,,,,{}:0:设条件成立，即在的某去心邻域 a"(2)(3)",(2)f ,()z,内有fz()，其中满足已知的两个条件. ,()zm ()za, K,KzaRKK,,,,,,:.(),由例知存在，使得在内. ,()0z, 111K,故在内解析，且.即为的级零点. ,a,,am()0()fz(),za(), 1m设条件成立，即 ,,zaz,"(3)(1)",(3)()(),fz()其中在a的某领域内解析，且， ,()z,()0a, 1.28，,,,Kza:,,P由的例知 33 1KK,,z,？使在内在内解析.由Taylor定理， ()0,z(), 1K,,，,，bbza？在内有() 01,z() 在内有 Ka,,{}？ 11 fzzbbza,,，,，,？()()[()]01mmzaza,,()() bb01 ,，，？(0)b,0mm()(),,zaza 作业: 第218-219页 4(1) (3) (5), 5(1) (3). ?3解析函数在无穷远点的性质 教学目的与要求:掌握解析函数在无穷远点的性质. 重点: 解析函数在无穷远点的性质. 难点:解析函数在无穷远点的性质. 课时:2学时 1. 基本概念 ,定义1rz,,,:设在的去心领域: 内解析.则称点为的孤立奇fz()N,,{}fz()点(是任何函数的奇点). 112fz(),如fzzfz(),(),,，以为孤立奇点，但以为非孤立fzz(),,sinzz,2 奇点. 11定义2:设为的孤立奇点，令若,,,,, fz()(0).z,,,,,,()()()fzf,z, , z,,为的可去奇点(看作解析点).m级极点.本性奇点，则相应地，称是,,0,,()fz() ,的可去奇点(解析点).m级极点，本性奇点.当为的可去奇点时，若是,,0,,(),,0,,()的m级零点，称为的m级零点. fz(), 定义3:设为的孤立奇点，则在的去心领域内有fz(),,0 ,,,,,,nnnccbnnn,,,,(),(),，？,，，fz ,,,,,,,ccbnnnzznnn,101000nnnnnn,,,,,,(),zz,bcnn z,,,()Z，,arg(1)0,,cnffz() 称上式为在点的洛朗展式，并称为在的主要部分. ,bznn1, , , , , , , ,,,,,,,,,,, ,b,n为在的正则部分. ,nn,0z ,2、结论:命题1. 设是的孤立奇点,则以为可去奇点主要部分0.以为mfz() 2mZ，，，,？(0)bbbbzz12mm级极点主要部分为.以为本性奇点主要部分 有无穷多项. ,()z 命题2、以为m级零点在的去心领域内可表示为其中fz(),fz(),m zf ,()z,()0,,在的领域内解析，且. , 以为m级零点以为m级零点. ,,0,,,() m,,,,,,,()(),,,() 其中 在的领域内解析且 ,,0 11(),z,,, 其中(z)在点解析fz()(),,mmz,(0)0,zz . (即为可去奇点)。且(,,,,0)=(0)0 3. 主要定理: 定理5.3' 设为的孤立奇点,则下面三个条件等价: fz() lim()(0)fzb,, 1)为的可去奇点， 2) 3)在的去心领域内有界. fz,, 定理5.4' 设为的孤立奇点.则下面三个条件等价: f 1)以为m级极点， f m 2)在的去心领域内可表示为其中在的领域内解析， f,()zfzz()(),,z 且 . ,()0,, 1 3)以为m级零点. gz(),fz() lim()fz,, 定理5.5' f的孤立奇点为极点. ,z,, lim()fz 定理5.6' f的孤立奇点为本性极点不存在. ,z,, ?4整函数与亚纯函数的概念及许瓦兹引理 教学目的与要求: 了解整函数与亚纯函数的概念;掌握为可去奇点;为极点的充要条件;,, , , ff f , ,, f , , , f ,,,,,,,,,, 了解许瓦兹引理. 重点: 整函数与亚纯函数的概念;为可去奇点;为极点的充要条件. ,,难点:为可去奇点及极点的充要条件. , 课时:2学时 1. 整函数 定义4:在z平面上解析的函数称为整函数. ,n定理5.10 设为整函数，,则 fz()fz(),,czn0n, 1)为的奇点可去奇点 fz(),fc0 mfzm()(0),，，，,？2)为的m级极点 fccczz01m3)为的本性奇点有无穷多个(称为超越整函数) ,0fcn 2. 亚纯函数: 定义5:在Z 平面上除极点外无其他类型奇点的单值解析函数称为亚纯函数: 12,，,如 fzfz()1,()z,z1 定理5.11为有理函数在扩充复平面上除了极点外无其他类型的奇点. fz() Pz()证: “” 设，其中，为互质的多项式，次数分别为m，n. fz(),Pz()Qz(),Qz() a)的点是的极点. Qz()0,fz() b)当m,n时，是的极点. fz() c)当m?n时，是的可去奇点(解析点). fz() “” 若所设条件成立，则在扩充复平面上的极点有限个.若不然这些极点在扩fz(), 充平面上必有聚点.它是函数的非孤立奇点，与假设矛盾. ,,？,,？ 故可设为的极点，其级分别为. fz(),,,zzz12n12n ,,,n12gzfz()(),？令，则 gz()()zz,()()zzzz,,n12 为整函数，且以为极点或可去奇点，从而gz()为多项式或常数. 数f为有理数. 1fz(),定义6:非有理数的亚纯函数叫超越亚纯函数:如. sinz 3. 许瓦兹引理: 引理:设在K:内解析，且则 z,,ffz(0)0,(),,,fz() a)， b)， c)若，或，使则fzz(),f,,(0)1f,,(0)1fzz(),，,000z0 i,fzzR()(),,,. e 证明:由已知得: fzzz(),，，？(1)z,cc12 fz(),2,，，,cczz？,(0),12,()z, 令 z, ,cz(0),, 则在内解析. Kz:1,,()z 对取，使由最大模原理有: zr,,1,,,zK,r00 fz()1 . ,,,,,()max()maxzz0zrzr,,zr r,1令得,()1z,，特别地，fc,,,,(0)(0)1, 01 fz()0,()1z,fzz().,即(b)成立，又若，由，得，即以及，z,0,1f(0)0,0000z0 ,,zKfzz(),故对，有，即(a)成立. 几何意义:在引理条件下，的象都比本身，距坐标原点要近.若有z,0，z的象与zzz000 本身距原点的距离相等，则变换仅仅是一个旋转. 作业: 第219页6, 7, 8 (1) (3).