勾股定理的证法及其价值和应用

勾股定理的证法及其价值和应用 摘要:勾股定理是是初等平面几何中的一个基本定理，是数形结合的完美体现，其定理有着广泛的运用，是解决许多问题的工具.在数学的发展史上，勾股定理扮演着及其重要的角色，其证明方法也不计其数.本文将介绍几种著名的证明方法，并就几种主要的方法进行探讨各种证法之间的联系，并根据勾股定理价值介绍其在数学教学领域和其他领域的应用。 一、勾股定理历史 众所周知，勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方. 222 数学 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 中常写作:a + b=c(直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c). 这个著名的定理有着十分悠久的历史，是一条古老的数学定理，不论什么国家、什么民族，只要是具有自发的(不是外来的)古老文化，他们都会说:我们首先认识的数学定理就是勾股定理，几乎所有的文明古国(希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等)在公元前都有所研究。这个定理的叙述最早出自中国古代大约是西汉的数学著作《周髀算经》，书中商高答周公问中有“勾广三、股修四、径隅五”的话.意思就是直角三角形的两条直角边分别是3和4，则斜边是5. 以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”. 但在西方文献中，勾股定理一直以古希腊哲学家毕达哥拉斯的名字来命名，称为毕达哥拉斯定理欧洲国家，因为希腊另一位数学家欧几里德(Euclid，是公元前三百年左右的人)在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了.据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺.因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号:“百牛定理”. 二、勾股定理的证法 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，各国数学家对勾股定理的证明方法不计其数，1940 年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑,其中收集了367 种不同的证明方法。实际上还不止于此,有资料 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明,关于勾股定理的证明方法已有500余种,仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。下面就介绍几种主要的证明方法，并讨论其证法间的内在联系。 1.几种著名的证明方法: 证法一:(欧几里得证明) 在希腊数学中，关于勾股定理的明确证明见于欧几里得的《几何原本》( 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 G BF、CD. 过C作CL?DE， H 交AB于点M，交DE于点 L. a K C ? AF = AC，AB = AD， ?FAB = ?GAD， F b ? ΔFAB ? ΔCAD， b a M 1B A ?的面积等于,FABa， 2 c c D L E ?ΔCAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， 2? 矩形ADLM的面积 = a 2b同理可证，矩形MLEB的面积 =. ? 正方形ADEB的面积= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 2 2 2 222, ， c a b a，b,c?，即 . 值得指出的是，由于《几何原本》的广泛流传，欧几里得的证明是勾股定理所有证明中最为著名的，为此，希腊人称之为“ 已婚妇女的定理” ;法国人称之为“ 驴桥问题” ;阿拉伯人称之为“ 新娘图” “ 新娘的坐椅” ;在欧洲，又有人称之为“ 孔雀的尾巴” 或“ 大风车” (两千年来世界上《几何原本》不同文字对这一颇具特色的定理都附插图，异文同图，饶有风趣( 证法二:(赵爽证明) D 以a、b 为直角边(b>a)， 以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 b c 1abF G 2三角形的面积等于. 把这四个直角三 C 角形拼成如图所示形状. a A ? RtΔDAH ? RtΔABE, H E ? ?HDA = ?EAB. ? ?HAD + ?HAD = 90º， ? ?EAB + ?HAD = 90º， ? ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. B ? EF = FG =GH =HE = b―a , ?HEF = 90º. 2，，b,a? EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于. 1224，ab，b,a,c，，2? . 2 ， 2 , 2 a b c ? . 证法三:(1876年美国总统Garfield证明) 以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等1ab2于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. ? RtΔEAD ? RtΔCBE, C ? ?ADE = ?BEC. ? ?AED + ?ADE = 90º, D ? ?AED + ?BEC = 90º. ? ?DEC = 180º―90º= 90º. c b c a ? ΔDEC是一个等腰直角三角形， 12ca b A B 2E 它的面积等于. 又? ?DAE = 90º, ?EBC = 90º, ? AD?BC. 12，，a，b2? ABCD是一个直角梯形，它的面积等于. 21112?. ,，，2abab，，，c222 222，,?. abc 1881 年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。 证法四:(辛卜松证明) b a b a A D A D 1 1 ab ab 2 a a a ab a 2 c 2 b c 2 c c 2 ab b b b c b 1 1 a ab ab 2 2 a C a b B C B b 设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 222，，a，b,a，b，2ab;把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 122a，b,4，ab，c，，22ab，c2的面积为 =. 222a，b，2ab,2ab，c? , 222a，b,c? . 2.证法间的联系 前人的这几种证明方法可谓经典，是几何证法，拼图证法的代表作之一，让人无不为之称赞。证法一(欧几里德证法)是纯几何证法，由全等证明得出面积间的等量关系，得出勾股定理的证明。第二、三和四种证明方法是我们最常见也最常用的拼图证明方法，通过拼和凑，得到面积间的等量关系来进行证明的，其证法间也存在着内在的联系。证法四的图示的可以看作由证法三中的2个图示组成，都是通过建立总面积等于各部分面积之和，通过消去 222ab,,项得到关于的等量关系示，而证法二和证法四从图示上看又都是由四个三角abc 形和一个正方形拼接成一个正方形，得到等式的成立，在图形的拼凑上有异曲同工之妙，到无论是几何法还是拼图法，都是采用的数形结合的思想，将几何图形与代数式子的证明结合起来，将图形所反映出的等量关系转化为各部分面积之间的相等，最终得到勾股定理的代数 222a，b,c式“”的证明. 三.勾股定理的价值和应用 (一)勾股定理的文化思维教学的价值 我国著名数学家华罗庚教授在《数学的用场和发展》一文中谈到了想象中的首次宇宙“ 语言” 时，就提出把“ 数形关系” (勾股定理)带到其它星球，作为地球人与其它星球上的“ 人” 进行第一次“ 谈话” 的语言。可以说勾股定理是传承人类文明的使者，是人类智慧的结晶，是古代文化的精华。因此，世界各国都非常重视勾股定理(毕达哥拉斯定理)的社会文化价值，从许多国家发行的邮票上可略见一斑。 在学习中，我们常常用勾股定理“ 谁比谁早多少年” 来对学生进行爱国主义教育。然而，历史告诉我们:数学是全人类共同的遗产，不同文化背景下的数学思想、数学创造都是根深叶茂的世界数学之树不可分割的一枝。勾股定理的证明层出不穷，至今已多达近四百种。如果将这些多元文化的事例引入中 小学 小学生如何制作手抄报课件柳垭小学关于三违自查自纠报告小学英语获奖优质说课课件小学足球课教案全集小学语文新课程标准测试题 数学课堂，我们就会发现，“ 谁比谁早多少年” 已经不是最重要的了，重要的是，这会让我们的学生消除民族中心主义的偏见，以更宽阔的视野去认识古代文明的数学成就。同时，通过不同数学思想方法的对比，可提高学生数学创造性思维能力，并学会欣赏丰富多彩的数学文化，从而以平等、开放的眼光看待本民族与其它民族文化传统之中的数学成果，树立正确的数学观，实现多元文化观点下的数学教育目的。这一点也正是“ 新课标” 所提倡的， 教材 民兵爆破地雷教材pdf初中剪纸校本课程教材衍纸校本课程教材排球校本教材中国舞蹈家协会第四版四级教材 编写中应“ 介绍有关的数学背景知识” “ 注重数学的文化价值” ，使学生体会到数学与人类生活经验和实际需要的密切联系。 (二)勾股定理的应用 1.在数学学习上的应用 解决数学问题的灵魂便是数学思想，数学思想的理解有利于学生灵活的运用数学知识解决实际问题，特别在几何问题中，勾股定理的灵活运用显得异常重要。 下面我就勾股定理在学习当中的应用做个简单介绍。 在直角三角形中的应用就是直接套用勾股定理的数学表达式，这很简单，但实际应用的重点及难点是在非直角三角形中或者在非直观图形的基础上应用勾股定理. ABCAD例 1:如图所示, 在?中,, 求的长。 AB,4,AC,21,BC,5 A CBD AD,BCBD,xDC,5,xD解: 作 于. 设 , 则 . 由勾股定理, 知 22222, ,,,,ACDCADABBD 2222 即 ,,,(5,x)x421 x,2.解得 ABD在Rt? 中, 22222,,,,,12. BCADAB42 AD,23所以 例2:一个高层住宅突然发生火灾，消防车立即赶到距离大厦9米的灭火地点停靠，然后从消防车上升起云梯直达火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距离地面2米，问:发生火灾的住宅窗口距离地面有多高? AD,15BC,9CD,2解:实际现场对应的的几何图如图所示，做DE,AB,,,,ED,BCCD,EB,2且， 22222则 ,,,,BCAEADEDAD ？AE,8 ？AB,AE，EB,8，2,10 ?发生火灾的住宅窗口距离地面楼高10米。 因此，可以看出勾股定理是数学中的一个重要定理。在利用勾股定理解题时，我们常常把有关的已知量与未知量在图形中表示出来。这就是说，利用勾股定理解决问题时要用到“数形结合思想”，即在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。 2.在生活中的应用 现实生活中勾股定理应用广泛，与实际联系密切。解决此类题的关键是利用转化的思想将实际问题转化成直角三角形模型，利用方程(组)来解决。 我们以一个寻找“外星人”的有趣试探来引出勾股定理在生活中的应用，早在1820年，德国著名数学家高斯曾提出，可在西伯利亚的森林里砍伐出一片直角三角形的空地，然后在这片空地里种上麦子，在三角形的每个边上种上一片正方形的松树(如图1所示)，如果外星人看到这个巨大的数学图形，便会知道这个星球上有智慧的生命。我国数学家华罗庚也曾提出，若要沟通两个不同星球之间的信息交流，最好在太空飞船中带去这样的图形。 松树 松树麦子 松树 图1 寻找“外星人” 利用勾股定理寻找“外星人”是一个很有趣的尝试，同样我们巧妙地利用勾股定理解决生活中的许多实际问题，并提高我们解决问题的动手能力。在实际生活问题中勾股定理的灵活应用是获取数学思维认识的有效途径，并能拓展学生的知识技能，我们以一个有趣的实例来说明勾股定理在生活中的应用。 例1:帮一帮建筑工人。建筑工人在建房时，要确保房基的四个角都是直角，我们用怎么样的方法帮他们解决这个问题呢,如图2所示，我们该如何确定?是B直角。 DA CB 图2 房基直角示意图 222思路:只需测量得到边AB、BC与AC的长度即可，如果三边满足的关系，,，ACBCAB则可确定?B是直角;否则?B不为直角。 本文在介绍勾股定理历史的基础上，列举这几千年来中西方在勾股定理的证明中取得的成就，并就其在证明方法上简单的介绍了证法间的相同之处，引出其在数学及生活中的应用.并对起基本定理进行了推广，这样能激发学生的学习兴趣的同时，开阔学生的视野，培养学生的认知能力.使学生掌握勾股定理定理的同时，吸收数学的精华，领略其中的奥秘，传承数学的思想.