线性代数教案(2015)

第一章  行列式 1.1 行列式的概念 一、本次课主要内容 介绍行列式的起源，总结学习二阶行列式和三阶行列式，学习全排列和逆序数，归纳n阶行列式的定义。 二、教学目的与要求 掌握二阶、三阶及n阶行列式的概念，掌握逆序数的计算。 三、教学重点难点 1、二阶、三阶行列式的定义、计算； 2、逆序数的计算； 3、n阶行列式的定义。 四、教学方法和手段 课堂讲授、提问、讨论，总结归纳。 五、作业与习题布置 P22  习题1（6）、2（3），3 §1. 1  行列式的概念 对于方程组 用消元法，当 方程组有唯一解 和 。观察上面链各个式子的分母，发现是一样的。而且两个式子的分子和分母在型式上也是有相似之处的。 一、二阶行列式的概念 设有数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf ，两边加上竖线变为 ，记 注意：2阶的行列式一共能分成2=2!项相加相减（一项加一项减）。每一项里面有2个不同行，不同列的元素相乘。 简单介绍对角线法 其中 表示的是第i行，第j列的元素。i和j分别称为行坐标和列坐标。D称为行列式的值，是 的计算结果。 有两行两列，所以称之为二阶行列式。 如同水有气体，液体，固体三种表现形式一样。一个行列式也可以表现为三种形式：行列式，组成行列式的元素的计算式，和行列式的值。例如： 二元一次 方程组的求解公式 对于方程组 ，当 方程组有唯一解 和 。 记 ， 注意 和 就是用 和 分别替换原来 中第一，第二列元素所得的行列式。 则此时有 ，这个就是克莱姆法则。我们将在第四节的时候再一次讲到它。 P2例题1 二、三阶行列式的概念 设有数表 ，两边加上竖线变为 ，记 称这个式子就是对应于前面数表的三阶行列式。 继续补充对角线法则讲解。 3阶的行列式一共能分成6=3!项相加相减（三项加三项减） 。每一项里面有3个不同行，不同列的元素相乘。 有三行三列，所以称之为三阶行列式。 对于线性方程组 ，当 时。方程组有唯一解，记 ，其中 、 和 就是用 、 和 分别替换原来 中第一，第二，第三列元素所得的行列式 P4例2 往n阶行列式推广 对角线法写行列式仅限于两阶和三阶行列式，比三阶高的都不能用。 行列式的阶数：行列式的行数或者列数。有几行或者几列就是几阶。 n阶的行列式一共能分成n!项相加相减。每一项里面有n个不同行，不同列的元素相乘。 接下来就是介绍为什么n阶行列式有n!项相加相减，到底哪一项前面是+，哪一项是-号 三、排列与逆序数 <1> 由自然数1, 2, …, n 组成的一个有序数组i1, i2, …, in称为一个n级排列 例如，由1，2，3可组成的三级排列共有3!＝6个，分别为1 2 3; 1 3 2; 2 1 3; 2 3 1; 3 1 2; 3 2 1;  n级排列的总数为n!个。 <2> 一个排列中，若较大的数 is 排在较小的数 it 的前面 ( is > it ) 时，称这一对数 is it 构成一个逆序。 一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数。记为(i1, i2, … in)，简记为 。 例如      (1  2  3)=0,  (3  1  2)=2,             (4  5  2  1  3)=7, 奇排列与偶排列   逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列 对换  将一个排列中两个位置上的数互换，而其余不动，则称对该排列作了一次对换。 定理 1    每一个对换改变排列的奇偶性 结论：在 n ( 2) 级排列中，奇偶排列各有 个。 前三项的列排列的逆序都为偶数，前面的符号为+。后面三项的列排列都为奇数，前面的符号为—。 所以式子用连加符号表示为 类似的，而阶行列式也可以表示为 对于n阶行列式 注意到这里的行坐标是按照自然顺序来的，列坐标是乱序的。 n阶行列式的定义也可写成 注意到这里的列坐标是按照自然顺序来的，行坐标是乱序的。 或者 这里的行列坐标排列都是乱序。 例4，附带讲解上，下三角行列式和对角行列式。 教学后记： 第一章  行列式 1.2行列式的性质 一、本次课主要内容 介绍行列式的性质，并利用行列式的性质进行计算。 二、教学目的与要求 掌握n阶行列式的性质概念，并能利用这些性质进行行列式的计算。 三、教学重点难点 1、n阶行列式的性质； 2、利用行列式的性质进行计算； 四、教学方法和手段 课堂讲授、提问，总结归纳。 五、作业与习题布置 P22-23  习题1 4（1）、（3）、（7），5（2） §1. 2 行列式的性质 第一章  行列式 性质1：将行列式的行、列互换，行列式的值不变 则 。 行列式 称为行列式 D 的转置行列式。即把行列式 的行变成列，列变成行。讲解三种转置的记忆方法。 显然有 ， 即证 性质2  互换行列式的两行(列)，行列式仅改变符号 则 。（D和M就是呼唤了P，q两行得到） 在 M 中第 p 行元素 ，第 q 行元素 证明完毕 推论1：若行列式中有两行(列)对应元素相同，则行列式为零 交换行列式这两行，有D = －D，故D = 0 性质3  若行列式某一行(列)的所有元素都乘以数 k，等于该行列式乘以数 k，即： 证明： 推论2：若行列式中的某行(列)全为零，则行列式为零。 推论3：若行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则该行列式为零。 性质4  若行列式中某一行(列)的各元素都是两个数的和，则该行列式等于两个行列式的和。 即 证明： 一些符号 P11例题 （1）    （2） （3） 教学后记： 1.3 行列式按一行（列）展开 一、本次课主要内容 行列式的余子式、代数余子式，n阶行列式按行（列）展开。 二、教学目的与要求 掌握余子式、代数余子式的概念，掌握行列式按行（列）展开。 三、教学重点难点 1、余子式、代数余子式的概念、计算； 2、行列式按行（列）展开； 四、教学方法和手段 课堂讲授、提问、讨论，总结归纳。 五、作业与习题布置 P23  习题1 6（3）、7（2）、（4） §1. 3 行列式按一行（列）展开 一.拉普拉斯展开定理 在行列式 中划去元素 所在的行和列，余下的元素按原来顺序构成的一个n－1阶行列式。称为元素 的余子式，记作 。余子式带上符号 称为 的代数余子式，记作 。 写一个三阶行列式，略做练习 考察三阶行列式 发现三阶行列式可用其二级子式的线性组合表示 这个是按照第i行展开 这个是按照第j列展开 二阶行列式也是一样 定理1  (Laplace展开定理) 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即 或者 证明：证明步骤分为三步走 首先证明： （展开即得） 其次 （一共是做i-1次相邻两行交换，j-1次相邻两列交换） 最后 利用行列式的性质5即证 推论  行列式的任一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。 即 或者 利用 讲解带入理解法 P16例题 （1） （2） 求 用带入理解法 （3） 讲解地推的理念 得到了地推公式 ，后就能开始从第2项 递推，略讲解为什么是从第二项开始。 证明四阶范德蒙行列式 证毕，n阶范德蒙德行列式依次递推即得。 教学后记： 第一章  行列式 1.4 克莱姆法则 一、本次课主要内容 克莱姆法则的内容以及应用克莱姆法则求解线性方程组。 二、教学目的与要求 掌握克莱姆法则，并能用克莱姆法则求解线性方程组。 三、教学重点难点 1、克莱姆法则的内容及其证明； 2、能利用克莱姆法则求解线性方程组； 3、n阶线性方程组解的判定。 四、教学方法和手段 课堂讲授、提问、讨论，总结归纳。 五、作业与习题布置 P23  习题1 8（2），9 §1. 4 克莱姆法则 设线性方程组 的系数行列式 , 则方程组有唯一解，且解可表示为： 其中 是用常数项 代替 中第i列各元素而得到的n阶行列式，即：     (i=1, 2,…,n) 证明：分为两步走（1）先证明是解，（2）证明解一定能写成这个形式。 将 带入方程组的第i个方程得 将 按照第j列展开得到 带入之前的式子得 交换连加连乘顺序 括号里面的是第i行元素和第s行元素的代数余子式的乘积之和，所以当s不等于i的时候值为0,故关于s的连加里面仅有一项非0的乘积，即s=i时的那一项。 接下来证明解一定是这个形式给出：由行列式的性质 将第s列乘以    加到第j列（ ） 此时在第i行的第j列个元素就变成了原来方程组的第i个方程的左边部分，代入方程的值即得 即 P20例题 解： 所以 使用克莱姆法则时要注意：（1）未知量的个数等于方程的个数；（2）系数行列式 如果不满足这些条件的话，那么方程组的求解就必须用其他的方法解决，这个以后再说。 注：在方程组中，若所有的常数项b1= b2 = … = bn = 0，则方程组称为n元齐次线性方程组。 如 显然有零解    x1 = x2 = … = xn = 0 结论1：若齐次线性方程组(3)的系数行列式 ，则方程组只有零解。平凡解 结论2：若齐次线性方程组(3)有非零解，则系数行列式 D = 0。非平凡解 P21例题 为何值时，其次线性方程组 有非零解 解：方程组的系数行列式 因为要有非零解，所以 ，得 教学后记： 第二章  矩阵 2.1 矩阵的概念 2.2矩阵的运算（1） 一、本次课主要内容 矩阵的定义；矩阵的加法运算、数乘运算、乘法运算。 二、教学目的与要求 掌握矩阵的概念，掌握矩阵的加法运算、数乘运算和乘法运算。 三、教学重点难点 1、矩阵的加法运算； 2、矩阵的乘法运算。 四、教学方法和手段 课堂讲授、提问、讨论，总结归纳。 五、作业与习题布置 P54  习题2  1，2（3）、（6），3 §2. 1 矩阵的概念 定义  由m×n个数 有次序地排成m行(横排)n列(竖排)的数表 称为一个m行n列的矩阵，简记 通常用大写字母A，B，C，…表示，m行n列的矩阵A也记为Am×n，构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素，而aij表示矩阵第 i 行、第 j 列的元素。 注意    矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同. 行数与列数都等于 n 的矩阵 A，称为n 阶矩阵或 n 阶方阵. 也可记作 。 (1) 只有一行的矩阵 称为行矩阵 (2) 只有一列的矩阵 ，称为列矩阵 同型  两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵. 例如 两个矩阵 为同型矩阵,并  且对应元素相等,即 则称矩阵 相等,记作 元素全为0的矩阵称为零矩阵，记作O，不同型的零矩阵是不相等的。例如 方阵 称为单位矩阵（或单位阵）。仅在主对角线上有非0元素，且全部为1.注意：不同阶数的单位矩阵是不相等的. 形如 的矩阵称为对角矩阵(或对角阵）. 记作 当所有的 都相等的时候，变为 ，称为数量矩阵。 方阵 称为上三角矩阵。 方阵 称为下三角矩阵。 上三角与下三角阵统称为三角形矩阵（或三角阵） 教学后记： §2. 1 矩阵的运算（1） 一、矩阵的加，数乘运算 两矩阵同型： 与 的行数，列数分别相等。 两矩阵相等： 。 。 定义2 两矩阵加法： 。 定义3   数乘矩阵 加，数乘（称为线性运算）满足下列运算律： ①加法交换律： ②加法结合律： ③ 矩阵：      ④负矩阵：      ，则 。 ⑤恒等性：        。 ⑥数结合律：        。 ⑦分配律：        。 ⑧分配律：        。 设 是 矩阵的集合，在上述矩阵的加法、数乘定义下，且满足了上述8条运算，我们称 是一个矩阵空间。 例1： ， ，求 。 二、两矩阵的乘法。 1．规则：行乘列 定义4   其中     （“行乘列”） 即乘积 等于 的第 行元素与 的第 列对应元素积之和。 例2： ，求 。 解： 但 不存在。 可乘条件为： 的列数= 的行数。 乘积阶数为： 的行数= 的行数， 的列数= 的列数。 2．矩阵乘法应注意下面三点： 1）乘法交换律一般不成立，即 。 在中： 称 左乘 ，或 为左因子阵。 称 右乘 ，或 为右因子阵。 特别：若 ，称 与 乘法可交换，或 与 可换。 2）消去律一般不成立，即 ，不一定 。 （即使 ，也不一定有 ） 3） ，不一定有 。 3．矩阵乘法运算律为：（与数运算律相同） 1）结合律： 。 2）分配律： ， 。 3）数乘结合律： 。 4）恒等性： 。 4．方阵 的幂及多项式矩阵 。 设 的多项式为： ，则 称为 的 次多项式矩阵。 5．一般线性方程组的矩阵表示 例3：（1） （2） （3） ，求 。 例4： ， ①求 及 。        ②求 。 例5： ， 为 阶方阵， 例6：设 ，证明 。 例7： ， 为 阶方阵，证明 的主对角线上元素之和等于 的主对角线上元素之和。 证： 的第i行元素与 的第i列的元素积之和 主对角线元素之和 的主对角线元素之和。 教学后记： 第二章  矩阵 2.2矩阵的运算（2） 2.3矩阵的逆 一、本次课主要内容 矩阵的转置；矩阵的分块；矩阵的逆的定义、存在的充要条件、求解方法。 二、教学目的与要求 掌握矩阵的转置，了解矩阵的分块，掌握矩阵的逆以及其存在的充要条件和计算方法。 三、教学重点难点 1、矩阵的逆； 2、矩阵的逆及存在的充要条件、计算。 四、教学方法和手段 课堂讲授、提问、讨论，总结归纳。 五、作业与习题布置 P55-56  习题2  8（3）、（6），15（1）、（3），18, 22 §2. 1 矩阵的运算（2） 三、转置矩阵 行转成列得 1．定义1   称 为 的转置阵， 为 阶， 为 阶。 转置性质： （1） ，                （2） （3） ，      （4） ： 。 2．定义2   矩阵 ，若有 ，称 为对称阵。 为对称阵 。 矩阵 ，若有 ，则称 为反对称阵。 为反对称阵 定义3   对于 阶方阵 ，若有 称 为正交矩阵。 例①  与 皆为 阶对称阵，则 （ⅰ） + 为对称阵； （ⅱ）但 不一定为对称阵。 例②  但 为 矩阵，则 （或 ）为对称阵。 例③  与 皆为正交阵，则 （ⅰ） + 不一定为正交阵； （ⅱ） 必为正交阵。 四、分块矩阵 1、分块矩阵的加，数乘，转置 1）分块加法： + = ，使 与 分法相同。 2）数乘分块阵： 。 3）分块阵转置： 。 2、两矩阵的分块乘法 分块原则： 列分法与 的行分法相同，即满足可乘条件 ① 的列块数= 的行块数。 ② 的子块 的列数= 的子块 的行数。 其中子块 。 分块乘法与矩阵普通乘法形式相同。 例1： ， 分块为  其中 的列数等于 的行数，则 例2： 列分块为 ，则非齐次线性方程组    可转换为 。 例3：矩阵方程 ， 列分块为 ， 列分块为 ，则 得      。 则讨论矩阵方程 可转化为研究 个线性方程组。 例4： ， ， 为 阶方阵且 ，求 ？ 练习： 1． ，求 。 2．设 ，对任意 ，证明 。 3． ， ，求 。 §2.3  方阵的逆矩阵 一、方阵的行列式 阶方阵 ，称 为 的行列式，也记 。 方阵的行列式性质：设 ， 为 阶方阵： （1） 。 （2） 。 （3） 。 应注意： 。 例1： 为 矩阵，证明 是对称矩阵。 例2：证明 。    例3：1） 阶方阵 ，求 ______。 2）设 ______。 例4： ，证明 。 例5： ， 为 阶方阵， ，求 。 例6： 维列向量 ， 。证明    。 例7： 为3阶方阵， 是3维列向量。 ，求 。 例8： ，证明 。 二、 阶方阵逆的定义 定义1   阶方阵 ，若有 阶方阵 ，使得 称 可逆， 有逆，或 满秩， 非奇异， 就是 的逆。 若 可逆， 的逆是唯一的，故记 。 即        。 三、逆的求法及判别 1．定义2   对于 ，设 为 的元素 的代数余子式，构造矩阵： ， 称为 的伴随矩阵。 例如：① 。 ② 。 （准确求是求逆的关键） 注意：①准确求出 。 ② 中 的排法。 2．定理 可逆 证明思路：（1）利用逆的定义； （2）利用行列式展开公式及推论。 例9：求上述两矩阵的逆。 ① ，则 。 ② 。 例10：（1） 可逆， 。 注意： ，不一定有 。 （2） 。 例11： ， 为 阶方阵， 可逆 可逆，且 也可逆。 （同理 不可逆 ， 至少有一个矩阵不可逆。） 例12： 可逆，则 四、逆的运算性质 （1） ，        （2） ， （3） ，        （4） ， （5） 。 例13： ， 为3阶方阵， ，求 。 例14： ， 为 阶方阵， 可逆，且 ，证明 可逆。 例15： ， 为 阶方阵， 可逆，且 ，证明 可逆。 例16： ，（1）证明 可逆，求 。（2）证明 可逆，求 。 五、解矩阵方程 三种形式：设A，B可逆 例17： ，求 。 例18： ，求 。 例19： ，求 。 例20： ，求 。 例21： ，求 。 六、分块矩阵的逆 形如： ， 称 ， 为分块对角阵，其中 皆为子方块，若 的阶数相同， ，则 。 ，若 ，则 ， ，特别 。 四块的块三角矩阵： 为方子块， 则 。 例22： ，求 。 例23： 为可逆阵： 为方子块，证明 ，并求 的逆。 例24： ，求 。 练习： 1． 可逆，证明 。 若 ，求 。 2． ， 及 皆为 阶可逆矩阵，求 。 3． ，求 。 4． ，求 。 教学后记： 第二章  矩阵 2.4 矩阵的秩与初等变换 一、本次课主要内容 矩阵的秩的概念；矩阵的初等变换；初等矩阵。 二、教学目的与要求 掌握矩阵的秩概念，掌握矩阵的初等变换和初等矩阵。 三、教学重点难点 1、矩阵的秩； 2、矩阵的初等变换。 四、教学方法和手段 课堂讲授、提问、讨论，总结归纳。 五、作业与习题布置 P58  习题2  33（2）、34（2） §24  矩阵的秩与初等变换 一、矩阵的秩的概念 定义1   中取 行 列 这些行列交叉处元素按原顺序构成的 阶子行列式称为 的一个 阶子式。 的 阶子式共有 个，我们关心的是 阶子式的值为零或非零。 定义2   中，非零子式的最高阶数 称为 的秩，记为 ，记 。 理解秩的含义： （1） 。 （2） ， 。 （3） 。 （4）有一个 阶子式 ，则 。 （5）所有 阶子式 ，则 。 （6）至少有一个 阶子式 ，所有 阶子式 。 二、矩阵的初等变换 定义1   矩阵的初等变换是指下列三种变换 （ⅰ）对换变换：互换矩阵两行（列）的位置。 （ⅱ）数乘变换：用一个非零的数 乘矩阵的第 行（列）。 （ⅲ）倍加（消元）变换：将矩阵第 行（列）元素的 倍加到第 行（列）上。 对矩阵的行做初等变换称为初等行变换，对列做初等变换称为初等列变换。 注意：下面三点 ①变换用 号 ②数乘变换不记录 且 ③对换不记录负号 定义2   （ⅰ）矩阵阶梯形  一般形如 特点：1）如果存在零行，则零行全在矩阵下方。 2）从第一行起，每行第一个非零元前面零的个数逐行递增。 简化阶梯形如： 特点：阶梯形中非零行第一个非零元素为1，其对应的列的其他元素为0。 标准形为 特点：矩阵的左上角对角元有 个为1，其他皆为零。 定理     1）初等变换可把 化为标准形。 2）初等行变换可把 化为阶梯形或简化阶梯形。 例1：用初等行变换把 化为阶梯形 例2：用初等变换把 化为标准形 三、初等矩阵 定义1   单位矩阵I经过一次初等变换所得的矩阵称初等矩阵 （1）对换初等矩阵：单位阵I的 行（列）互换。 （2）数乘初等矩阵：单位阵的I的 行（列）的 倍。 （3）消元初等矩阵：单位阵的I的 行（列） 倍加到 行（列）上。 定理1   对矩阵 做一次初等行（列）变换，相当于用相应的初等矩阵左（右）乘 。 简言之：“左乘行变，右乘列变”。 例3：  ，用初等矩阵表示把 化为标准形。 解： 思考： 左乘或右乘一系列初等矩阵化为标准形。 一些结论 定理2    对于矩阵 ，必存在可逆矩 ，使 定理3    为可逆矩阵，则 可表成有限个初等矩阵之积，即 ( 为初等阵)。 四、初等变换求 的逆。 原理： ，（ 为初等阵）。 则 即：（1）式表一些行变换把 化为单位阵 （2）式表这些行变换把 化为可逆阵 例4：求下列矩阵的逆 （1）     （2） （3） 例5： ， ， 求初等矩阵 。 例6：可逆矩阵 的第 行与第 行对换变为 ，则逆阵 与 的关系如何？ 教学后记： 第二章  矩阵 2.5线性方程组有解的判别法 一、本次课主要内容 消元法与矩阵的初等变换；线性方程组有解的判定。 二、教学目的与要求 掌握矩阵的初等变换，掌握线性方程组有解的判定。 三、教学重点难点 1、矩阵的初等变换； 2、线性方程组有解的判定。 四、教学方法和手段 课堂讲授、提问、讨论，总结归纳。 五、作业与习题布置 P58  习题2  35（3）、36 §25  线性方程组有解的判别法 一、求解非齐次线性方程组 ：系数矩阵      ：增广矩阵 解方程组等价于对增广阵 做行初等变换化为阶梯形或简化阶梯形。设 的左上角的 阶子式 。 ， 对应于一个简化的方程组，与原方程组同解。 （1） ，方程组无解 。 （2） ，则有解。设 为自由取值，解得 个自由取值 定理1       当 时，无解。 当 时，有解。 （1）若 时，有唯一解 。 （2）若 时，有无穷多解。 求解非齐次方程组 步骤为： 1步：把 用初等行变换化为阶梯形或简化阶梯形。 2步：求 ， 。 3步：由未知数个数 ， ， 讨论。 解：（ⅰ） ≠ ，则无解。 （ⅱ） 4步：取 自由量，求解方程组。 二、求解齐次线性方程组： （总有解） 1． ，称为零解。 2．下面解决两个问题： 1）在何条件？ 仅有零解。 2）在何条件？ 有非零解（无穷多解）。 定理2   ，当 有无穷多解。 当 仅有零解。 推论1：    有  非零解 。 仅零解 。 推论2： ，当 ，则有非零解。 例1：求解方程组 例2：求解非齐次方程组及对应的齐次方程组