数学史话-傅种孙.doc

数学史话-傅种孙.doc 中国的数学教育大师——傅种孙 傅种孙(1898一1962)当时在北京师大附中教几何。他教几何时，每逢考试，必预先告诉学生要带圆规和直尺。但当时的学生大多不很认真，常常忘带，考试时临时抱佛脚，就用铅笔杆代替直尺，再从兜里拿出一个铜圆(形同现在流通的硬币)来画图。傅先生针对这个情形，干脆出了一个题目，让学生研究“用一个铜圆代替圆规，能否作直尺与圆规所能作的一切工作,”显然，傅先生的这道题对学生来说应该算是具有挑战性的问题。 众所周知，平面几何作图工具仅限于圆规和直尺。其中，直尺是没有刻度的，是一根具有理想的直且有有限长度的棍子。傅先生的学生用铅笔充当尺子虽不符合 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 ，但还不算离谱。用铅笔一类的物品充当直尺的关键不在于他是否是直的以及能否利用它画得很直，而在于画图者的观念或思想是否把它看作直线或线段。公元前三世纪以前，即欧几里得的《几何原本》诞生之前，圆规和直尺曾被当时的数学工作者看成是地位平等的画图工具。人们在作图时，对利用圆规和直尺，或只用圆规、或只用直尺是不加区别的。当时的人们有个风气，喜欢以增加问题条件的严苛性来挑战问题，用以证明自己比别人更智慧。他们不断的给问题设立苛刻的条件或前提，例如，在平面上作图只用直尺行不行、只用圆规行不行等，用以挑战智慧的极限。之后，欧几里得撰写教科书《几何原本》(这是世界上第一本传播科学真理和方法的教科书，建议专门研究“课程与教学论”的专家首先应该读懂这本书)时，才规定了以圆规和直尺为几何作图的基础。 在之后的二千年间，用尺规作图的研究并未停顿。直到1797年，意大利数学家Mascheroni证明了“所有用圆规和直尺可解的作图问题，只用圆规也能够精确地解决。”(注:有事实说明在他之前已有人率先证明了这个结果) 1833年瑞士数学家Steiner证明了:在平面上给出一个定圆和它的中心，则每个用圆规和直尺可解的作图题，只用直尺也能够解决。十九世纪，非欧几何产生，尺规作图仍是具有挑战性的问题，数学家们随即证明了在罗巴切夫斯基平面上也可以不用直尺作图。另外，对尺规作图问题的研究也导致了十九世纪的一些重要的数学进展，例如群论的产生就是作图问题代数化所促成的结果。 说到这儿，傅先生让学生研究的利用一个铜圆作图的问题相当于几何中的什么要求呢,傅先生把这个问题干脆称为“铜圆几何学”。这个几何学比只用圆规作图的几何学还要苛刻。是否比“固定脚开度的圆规作图”更苛刻呢,显然，实心的铜圆连“已知圆的圆心”这个条件都否具备，这铜圆甚至还不能算作已知圆。至此，这个铜圆能做什么，不能做什么，的确是个具有趣味性和挑战性的开放性问题。 一.傅种孙与钱学森的传承关系 八十年前的事了，傅先生早已作古，提这事干吗,五十年前，二十世纪六十年代初，钱学森在中国科技大学给o班学生授课，期末，他给学生出了一道题:建立从地球发射一颗航天器绕太阳飞行一周后再返回地球的数学模型。这班学生都是精选出来的中国航天事业的后备人才，他们考了一上午没人做出来，反而晕倒了几个。中午用餐后下午接着考，最终无人做出。结果是这班学生被钱教授延长了半年学业才毕业。(注:这个事是从电视访谈钱学森的秘书涂元季将军的节目中获知的，文字上可能有不准确之处，担事情是确凿的) 一位中学数学教师傅种孙，一位世界著名的科学家钱学森，他们都为自己的学生出了一道题，一道绝不平凡的题，精彩而又深刻，难得的考题。这之间有什么关系吗, 北师大附中是钱学森的中学母校。从1923年到1929年，他在这里度过了6年学习时光。钱学森曾坦陈:在我一生的道路上，有两个高潮，一个是在师大附中，一个是在美国读研究生的时候。师大附中的学习生活对我的教育很深，对我的一生，对我的知识和人生观起了很大的作用。“一个铜圆”和“一个绕日返回地球的航天器”，两道数学题，两个不同的时代，一对师生，这诠释了什么呢,这当中蕴含着某个规律，存在着重大的“解”。这个“解”可 以说明为什么建国以来培养的人才尤其是杰出人才，确实不能满足国家的需要;可以解答为什么我们的学校总是培养不出杰出人才。 我们不妨以傅种孙培养出钱学森、闵嗣鹤(中国著名的数学家、北京大学教授、陈景润那篇著名的 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 的审稿人，也曾在北师大附中任数学教师)这样的学生为例，剖析中国数学教育，从根本上揭示问题，求出解来。 二.以傅种孙为榜样 向傅种孙学习 今天的中国数学教育是中国教育的重灾区吗,可以用灾难深重来形容吗,若真是这样，此灾已经影响并正在继续影响着中国人的创新能力。许多知道或了解世界主要科学领域发展状况的有识之士清楚地看封:面对世界科学技术的最高水平，我们与之的差距似乎正在扩大。令人忧心啊～ 中国的数学教育的根本在于数学教师，在于究竟应该培养什么样的数学教师，提倡什么样的数学教学。在于以怎样的视野、用什么样的话语来讨论数学教育问题。 我们就以傅种孙先生为例，来搞清楚一个数学教师究竟应该有什么样的数学根底，对数学知识有什么样的思想认识。以大师为榜样，我们应该如何培养像傅先生这样的教师，提倡傅 这样的教学。 学森曾回忆过听傅先生讲课的感想，他说:“听傅老师讲几何课，使我第一次懂得了什么是严谨科学。”一名数学教师通过自己的数学课使一位未来的世界级科学家第一次懂得了什么是严谨科学，这是非常了不起的，也是非常值得后世效仿的。只可惜，我们今天的数学教育或数学教学，有多少人是提倡通过数学课来使学生懂得严谨科学的。当今的数学课本不提倡，数学教学不提倡，甚至我们的数学教育研究也不提倡。现在的数学课提倡学有用的数学，讲究立竿见影，喜欢抛弃本质，而在非本质的形式上打转转、作文章。这使得学生追求实惠、时髦，即使是学得非常好的，也容易为“实利”所累。话说回来，什么样的数学教师才能使学生懂得并追求严谨科学的规律或要求呢,傅种孙早在1920年前后就已经注意到西方先进的数学科学进展，特别重视与数学教育相关的思想或哲学层面的数学发展状况。例如数学哲学、数理逻辑、几何基础，集合理论等等。这些领域在当时是十分活跃的，是罗素、怀特海、克莱因、希尔伯特这些大师级数学思想家驰骋的天地，而这些知识涉及的往往是数学原理、数学思想，属于数学科学的哲学思考，对挖掘中小学数学的思想价值、育人价值极有意义。哪怕是最简单的数学对象，例如1、2、3、„„、线段、三角形、圆这些最基本的数字和几何图形也具有非常深刻的科学背景或数学思考，简单的知识并不简单。对此，傅先生深入研究过罗素的4《算理哲学》;早在1920年就发 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 过论文《什么是数学》。他将几何研究的先进成果引入我国，翻译出版了希尔伯特的《几何原理》。他于1931年所著《高中平面几何教科书》更是风行全国。由此再看傅先生向学生抛出“铜圆几何”，显然绝非偶然。傅先生注重对数学的原理、道理、科学方法、智慧思考的发掘，并将这些思想贯穿于数学教学的始终，使学生从数学中获取尽可能多、尽可能大的思想力量。我们就以当今小学数学中的“比和比例”的教学为例，看看傅先生是如何认识这个教学内容的。他认为教师首先要搞清楚: (一)什么是比,给学生讲比时，若讲码对尺的比，不是用公尺与市尺的关系来打比方，而是应该用三个手指与一个手指的关务作比喻。这就是:用比例说比。 (二)什么是比例,两比相等就是比例。这是用比来说比例。 搞清楚了(一)和(二)，自然就有问题 (三)比与比例应该谁先谁后, 这个问题是我们现今的小学数学教师很少会考虑的。课本上也是不会有的，但这又的确是个历史悠久且颇具思想意义的问题，靠小学生自主探究或凭空想是想不出来的。首先是教师要有这个问题意识。但是，关于这个问题，现如今的小学数学教师未曾受过相应的数学训 练，自然是不会思想到的，更由于教师缺乏对数学的科学认识，因此也就不会把问题(三)当作一回事，学生的发展智慧和提高理性思维能力的学习机会就这样流逝了。傅先生对这个问题有精到且科学的表达，可惜无人去读，更没有被重视，被淹没在历史的尘埃中。至此我们看到，今天，无论是中小学数学老师还是学生，绝大多数人对数学中的“比与比例的意义”的认识处在表面化是个不争的现实。而实际上问题还远没有完结。傅先生进一步指出:7 在确立了比的意义之后，继之而来的问题: (四)什么是量(liǎng)数,量Q的量数是该量对于特定么率(单位)U之比，显然么率不同则量数Q:U不同，这个问题未曾解决以前，我们又有问题 (五)(Q1/U)/ (Q2/U)=(Q1/U’)/ (Q2/U’)吗, (六)能说两量的比即是它们的量数的比吗, 傅先生指出当时(1941年)的教科书都漠视(五)而漫谈(六)，这是个缺憾。他不无讥讽的指出:我说的这一切，都是我们教学中所认为不成问题的。幸而学生们都有颜回之风，终日不言，教师得安然无事，若有子路在座，怕是要不得安宁了。 “比和比例”是目前在小学数学课程中安排的知识，小学数学教师几乎都曾讲授过，但能按傅先生所指点的，达到由(一)到(六)这样认识的，却极少有。想到:一些社会位置有利、能够影响导向和发展的著名的教育学家一再宣扬小学数学知识浅显，并无值得研究的内容，教师要将力量放在教育思想和教学法上，以致现今的这种教师状况，的确是令人不怪的了。(据观察，这些教育学家又在影响我国教育的“中长期规划”的制定呢，应该警觉此事)客观说，小学数学最丰富的就是其启迪性、思想性，包含了大量的、原始的、具有启蒙科学认识意义的思想。这些思想源于对数学科学中的元问题的研究，是两千多年来由大量一流数学家殚精竭虑的研究、争论而结晶出来的，形成了许多名篇佳作，是提高数学教师数学专业水平最好的食粮。目前的情况是，这些有价值的知识没有用于培养数学教师。而数学教师们在近几十年的高等或进修教育中学到的往往是被误导、误解的数学教育理论和知识。就如同《红楼梦》里的刘姥姥在大观园里吃了茄子却不知道吃的是茄子，因为茄子已经被大观园里的厨师加工得远离了茄子味。以贾母为代表的大观园的主人们还以此为自豪。试想连刘姥姥这样的种茄子的都识不出茄子味了，这样的茄子加工技术还不高明吗, 现如今，指挥或凌驾于数学教育之上，对数学教育说三道四而不懂得数学之意义的“贾母”太多、权力太大，在他们的好恶下，中小学数学课程已被加工得毫无数学味，充斥了各种各样无意义的、浪费时间的、望文生义的、只能带来误导或误解的各种热闹的、夹带着 口号 管理印章的关于负责的工作口号抗洪救灾口号体育运动口号宣誓口号公司企业文化口号 和空想的教学活动，对此，六十年不出大师还有什么可奇怪的。 傅先生在指导“扩大数系”的教学时，曾提出:当负数引进时，指出无论是用温度的升降，行程的进退、账项的收付，还是数轴及面积的表达都不是可通的证法。他指出若理论与实际兼顾教学，则应该 第一，须用一些事例说明自然数不能满足应用，需要扩张，把所得新数称为正负数，而不规定正负数之意义; 第二，须从这些事例概括出正负数在事实上所需要之性质(如关于加、减、乘、除及大小之各种规则)，将其中基本的性质列举出来，承认他们而不加证明。 第三，将自然数之重要性质，以正负数拟之，分别同异，以资比较。 这里有几点应当注意之处:升降进退都是我们想拿正负数去代表的事例，而不是正负数。„„故虽以升降为正负，而不可认升降为正负，此应注意者一也，„„。 当前小学数学教学的现实是什么呢,有上述正负数教学思想的教师少之又少。本人长期责编《中小学数学》，尽阅来稿，其中有关负数的教学讨论、案例很多，但无任何一篇能达到傅先生之认识，而他的认识是科学的、是数学教学的常识，能让学生有这个认识相当于提高了抽象或科学认识事物的能力。这也不怪教师，现在的课本编得相当离谱，为了所谓的情 境引入，为了说明数学来源于实际，僵化而又教条的在每章数学教学内容的开始一律强调数学来源于实际，甚至连数学知识课题都被代之以非数学的情境标题。从根本上忽视，作为数学的学习规律，更具优势的是可以先学习掌握数学的真理，即规律，再将规律应用于实际。这是数学科学独有的优势，知识可通过逻辑链条以及由浅人深的认知路径顺理成章的学习下去，十分高效。而讲授数学知识来源于实际，只须小学、初中、高中各安排一二节课即可。数学课应该尽量利用逻辑便利，以承前启后的方式将数学新知识揭示给学生，之后再学习或尝试对新知识的应用和发展，这才是数学学习的特点，这样才能发挥数学知识的智慧作用。那种恨不得从“钻木取火”开始去讲去学去认识某个数学知识的办法是极其低效的，是不符合数学学习规律的。以凭空想象为基础的、想当然式的、毫无道理的强调让学生重复数学家或经历数学家的研究过程的口号或要求是污染极大的形而上学垃圾。须知，哪怕是对数字“1”的认识过程也是历经了上万年的人类的思维曲折才发展出来的，这之中既包括有普通人的思想，也有数学工作者的提炼，更有现代数学家的理论概括。一般的宣扬所谓数学家的思考过程，根本上是误导学生，把创新当儿戏不说还难以符合实际，也无法发挥数学科学的培养人的智慧的作用。更何况，缺乏对数学知识深入了解的教师能领会或知道数学家是怎么想的吗,一个数学教师若不具备傅先生那样的思想和认识，他怎么能领会皮亚诺为何要建立自然数公理体系，而不懂得这个公理体系，他又怎么知道数字“l”的数学意义，连数字“1”的意义都不清楚，他能理解“1+1=2”的数学意义吗,教师连这些都不懂，让他教你的孩子，你愿意吗,教师们都不研究基本的数学原理、不研究基本的数学思想，习惯于就坡下驴，听凭教育学家们充满空洞说教的教育原则、任由课程与教学论专家们推广从国外整本抄引的各种教学法、热心于教育心理学家从国外拿来的经不起推敲的各种告诫，唯独不关注数学本身的原理、道理、规律。小学数学教师读了师范专业，却连基本的算术理论都没有学过，这使得小学数学教师职业客观上成了是个人就能干的职业。试问大师能从这样的教育环境中蕴育而生吗,我对“教育家办教育”这句话的最大担心是:谁是教育家,近六十年来，许多教育行业内的事都是“教育家”办的，我们的教育产生不出大师就与这些所谓的教育家有关。由此，我还想到“以教师为主导，以学生为主体”这个口号，是既误导了教师，又误导了学生。教师教学可以不讲，谓之“导”，学生上课可以不听，谓之“主”，“主导与主体”的说法在哲学上讲不通，容易引发思想混乱。傅先生和钱先生都是讲课有名的好，一堂课从头讲到尾，没人说这二位是在“满堂灌”，讲就是讲，许多知识不讲，仅靠学生自己是学不到、悟不会、探究不出来的。 可能有人会说，傅先生教书的时代实施的是精英教育，现在是大众教育，要求不一样。这是个“高标准高要求好呢,还是低标准低要求好呢,”的简单问题，仅从数学教育思想水平来看，我们今天的最好的数学教师与八十年前的傅先生相比，其专业差距是明显的，在实施大众教育、普及高水平教育的今天，难道不应该以傅先生这等水平的中小学数学教师为标准、为榜样吗,具有标志性的数学教育人才水准不升反降，难道不需要找找原因吗,难道有人喜欢“今不如昔”的现状, 最近围绕我国数学教育的讨论比较多，人们各执一词或两词，公说公有理、婆说婆有理，但不难看出所用词汇，放出的话语，讨论的问题，争论的焦点均像“贾府的茄子”，独缺数学或数学教育本身的话语。数学本是思想极其丰富的科学，历史上古希腊、古罗马的人们曾认为数学就是哲学，哲学就是数学，数学为人类的深入思考和思想解放提供了动力，提供了方法，提供了智慧，数学以最廉价的工具或手段，用无刻度的尺、圆规、笔，高效训练了人脑，发展了科学方法，甚至不用纸、不用笔，只需有根树枝子，坐在地上，就可以让思想驰骋，进行智慧角力。数学是社会和经济成本最低的科学与教育手段，是科学思想的高效培养途径，其应用的广泛性更是无人怀疑。十九世纪下半叶到二十世纪初，数学思想、方法、哲学基础处于蓬勃发展的时期，戴德金、康托尔、罗素、希尔伯特、克莱因、怀特海、哥德尔 等众多数学思想家都为建立数学的基础而不懈的努力和著述，形成了宝贵的思想结晶，这 些思想或认识正是中小学数学教师应该吸收学习或掌握的，像弗雷格的《算术基础》、阿达玛的《数学领域中的发明心理学》、兰道的《分析引论》、牛顿的《自然哲学之数学原理》(读了这本书，你将会体会到，我们现在的《数学课程标准》中将几何学习置于了什么样的可笑地位)、罗素的《数理哲学引论》、菲利克斯?克莱因的《高观点下的初等数学》(克莱因是有深远影响的数学家，这本书是他的助手为其整理出的讲课稿，他热诚献身子数学教育事业， 从1886年到1925年在哥廷根一直为中学数学教师讲培训课)。 傅先生以数学家的睿智，长期从事对中学数学教师的培养，从事中学数学教学。北京师范大学的刘绍学教授(代数学家)、王世强教授(数理逻辑学家)将中国的傅种孙、德国的克莱因，、美国的波利亚并列齐名，认为他们为数学教育做出了伟大的贡献，值得敬仰和热爱。王世强教授还殷切希望中国有更多的傅种孙式的教师出现。 现在的问题是，为什么傅种孙这样的教师没有象克莱因那样得到褒扬并发扬光大，甚至在中国，在现在，知其者甚少。我们现在并不难列举出,些其他国家的出色的中小学数学教 育研究者，现今的书架上有许多翻译进来的这类名家的著作可以佐证这一点。但在中国目前却几乎没有这样的从事中小学数学教育的名家，没有人所共知的，为数学界和教育界所公 认的中小学名教师。不仅没有，反而是傅种孙的数学教育思想和方法在中国与他本人的经历一样长期沉而未浮，这对于 数学教育来说是灾难性的。一个能培养出大师的大师级的数学教育思想、方法居然被长期湮没，太可悲了，现在是，“山中无老虎，猴子当大王”。数学教育领域本来是有一个类似国学 中的孔子、孟子那样的先行者、智者的，但这先行者的光芒却没有放射出来，被长期彻底的湮灭了，现在是需要我们挖掘并面对的时候了，否则，中国的数学教育会继续走在培养世界三流、四流科技人才以及高素质廉价劳动力的道上。 据了解，我们有许多具有大师潜质的数学人才在中国读一流大学本科，再到美国读一流大学硕士、博士，然后就到华尔街 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 金融衍生交易产品去了，这能为自己挣大钱。这种追求实惠的思想根源与我们从小学开始就受的是学有用的数学的教育有关，我们太过强调在小学、中学阶段学有用的数学、学实惠的数学、学立竿见影的数学了，这个只为眼前的利益而学习的数学教育是出不来大师的原因之一。 三.数学教育之“灾” 我们在追溯六十年以来的数学教育历史的时候，应该承认，在五十年代，起码由于两个原因，而未使傅先生的数学教育思想和方法得到光大和发扬，这就是对苏联数学教育的全面学习，以及1957年傅先生被错划成右派。尽管他在五十年代初多次为中学数学教师办过讲座，但从当时的中小学数学教材的编写等主流工作上看，少有傅先生的影子，也难见傅先生的思想的渗透。当时，他对数学教育的影响顶多限于北京师范大学的院子内。这是中国数学教育在二十世纪五十年代的一个令人心痛而永远无法挽回的损失。傅先生从1957年错划右派到1962年辞世，一直在北京师范大学数学系资料室任资料员工作。 摘自:让我们沉下心来聆听大师的呐喊:数学教育，教师为本 作者:首都师范大学数学科学学院 方运加 原文出处: