高中数学
高中数学选修全套教案浅谈高中数学教学策略高中数学解析几何题型高中数学10种解题方法高中数学必修4知识点
人教B版必修4学案：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算Word版含解析
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
1.了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算. 2.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.(重点)
[基础?初探]
教材整理1 度量角的两种单位制
阅读教材P，P“第17行”以上
内容
财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容
～完成下列问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
. 78
角度制与弧度制的定义 1.
(1)角度制:用度作单位来度量角的制度叫做角度制.角度制规定60分等于1
度，60秒等于1分.
(2)弧度制:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad.
以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制.
2.角的弧度数的计算
l在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对圆心角为α rad，则α,. r
判断(正确的打“?”，错误的打“×”)
(1)1弧度是1度的圆心角所对的弧.( )
(2)1弧度是长度为半径的弧.( )
(3)1弧度是1度的弧与1度的角之和.( )
(4)1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位.( ) 【解析】 根据弧度制的定义知(4)正确.
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)?
教材整理2 角度制与弧度制的换算
阅读教材P“第18行”，P“例1”以上内容～完成下列问题. 89
1.角度与弧度的互化
2.一些特殊角与弧度数的对应关系
(1)把67?30′化成弧度,________.
3(2)把π rad化成度,________. 5
π【解析】 (1)67?30′,67.5?,67.5?×rad 1803,π rad. 8
33(2)π rad,×180?,108?. 55
3【答案】 (1)π (2)108? 8
教材整理3 扇形的弧长与面积公式 阅读教材P“例4”，“例5”内容～完成下列问题. 10
设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则
α为度数 α为弧度数
απrl, 扇形的弧长 l,αr 180?
2απr112S, S,lr,αr扇形的面积 360?22
π圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为________. 3
1π2【解析】 扇形的面积为×6×,6π. 23
【答案】 6π
[质疑?手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:_________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________ 疑问2:_________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________ 疑问3:_________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________
[小组合作型]
角度与弧度的互化与应
用
(1)将下列角度与弧度进行互化.
?20?,________;?,15?,________;
7π11?,________;?,π,________. 125
(2)把,157?30′化成弧度为________.
(3)在[0,4π]中，与72?角终边相同的角有________.(用弧度表示) 【精彩点拨】 在进行角度与弧度的换算时～关键是抓住π rad,180?～1?π, rad这一关系. 180
ππππ7【自主解答】 (1)?20?,20×,,?,15?,,15×,,,?π1809180121271801111180,,,,,,,,,π×?,105?,?,π,,π×?,,396?. ,,,,12π55π
315π(2)因为,157?30′,,157.5?,,× rad 2180
7,,π rad. 8
(3)因为终边与72?角相同的角为θ,72?，k?360?(k?Z).
2当k,0时～θ,72?,π, 5
12当k,1时～θ,432?,π, 5
212π～π. 所以在[0,4π]中与72?终边相同的角有55
ππ【答案】 (1)? ?, ?105? ?,396? 912
7(2),π 8
212(3)π，π 55
角度制与弧度制互化的方法及注意点:
180π,,,,(1)方法:设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad,α??;n?,n?. ,,π180(2)注意点:
?以“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写. ?以“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别
要求，不必把π写成小数.
?度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.
[再练一题]
1.把56?15′化为弧度是( )
【导学号:72010003】
5π5πA. B. 84
5π5πC. D. 616
225π5π【解析】 56?15′,56.25?,×,. 418016【答案】 D
用弧度数表示
角
2 (1)与角π终边相同的角是( ) 3
11A.π 3
2B.2kπ,π(k?Z) 3
10C.2kπ,π(k?Z) 3
2D.(2k，1)π，π(k?Z) 3
α(2)若α是第三象限的角，则π,是( ) 2
A.第一或第二象限的角
B.第一或第三象限的角
C.第二或第三象限的角
D.第二或第四象限的角
【精彩点拨】 (1)可把选择题中角写成2kπ，α～(k?Z～α?[0,2π))形式来
αα判断,(2)可由α范围写出π,范围后～根据k为奇数或偶数来确定π,终边位22
置.
11π55【自主解答】 (1)选项A中,2π，π～与角π终边相同～故A错,2kπ333244,π～k?Z～当k,1时～得[0,2π)之间的角为π～故与π有相同的终边～B错,33310222kπ,π～k?Z～当k,2时～得[0,2π)之间的角为π～与π有相同的终边～故C333
25对,(2k，1)π，π～k?Z～当k,0时～得[0,2π)之间的角为π～故D错. 33
3(2)因为α为第三象限的角～所以有2kπ，π<α<2kπ，π～k?Z～ 2
πα3kπ，<
检测
工程第三方检测合同工程防雷检测合同植筋拉拔检测方案传感器技术课后答案检测机构通用要求培训
)设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇
形的面积最大,最大面积是多少,
【精彩点拨】 (1)可由扇形周长和面积建立方程组～通过解方程组求得,(2)
可通过建立扇形面积的目标函数来求解.
2r，l,8～,,
,【自主解答】 (1)设扇形半径为r～弧长为l～由题意得解得1l?r,4～, ,2,l,4～, r,2～,
l则圆心角α,,2 rad. r
【答案】 B
(2)设扇形的半径为r～弧长为l～面积为S.
1122则l,20,2r～?S,lr,(20,2r)?r,,r，10r,,(r,5)，25(0,r,10). 22
2?当半径r,5 cm时～扇形的面积最大～为25 cm.
l20,2×5此时α,,,2 rad. r5
?当它的半径为5 cm～圆心角为2 rad时～
2扇形面积最大～最大值为25 cm.
弧度制下解决扇形相关问题的步骤:
112(1)明确弧长公式和扇形的面积公式:l,|α|r，S,αr和S,lr;(这里α必22须是弧度制下的角)
(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式; (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解. [再练一题]
3.已知扇形的圆心角为α，半径为r.
(1)若α,60?，r,10 cm，求扇形的弧长;
(2)若扇形的周长是8，面积是4，求α和r.
6010π【解】 (1)弧长l,|α|r,×π×10,(cm). 1803
2r，α?r,8～ ?,,
,(2)由题意得 12?α?r,4. ?, ,2
82由?得ar,～代入?并整理得r,4r，4,0. r
?r,2～α,2.
[构建?体系]
1.正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( )
π,,,,A.2kπ，2kπ，(k?Z) ,,2
π,,,,B.kπ，kπ，(k?Z) ,,2
π，，,,C.2kπ，2kπ，(k?Z) ，，2
π，,,,D.kπ，kπ，(k?Z) ，,2
3,,,,【解析】 B中k,1时为π～π显然不正确,因为第一象限角不含终边在,,2
坐标轴的角故C～D均错～只有A正确. 【答案】 A
2.与30?角终边相同的角的集合是( ) ,,,π,,,,,A.αα,k?360?，，k?Z ,6,,,,
B.{α|α,2kπ，30?，k?Z}
C.{α|α,2k?360?，30?，k?Z}
,,,π,,,,,D.αα,2kπ，，k?Z ,6,,,,
ππ【解析】 ?30?,30× rad, rad～ 1806?与30?终边相同的所有角可表示为
πα,2kπ，～k?Z～故选D. 6
【答案】 D
在半径为10的圆中，240?的圆心角所对弧长为( ) 3.
4020A.π B.π 33200400C.π D.π 33
π4【解析】 240?,240× rad,πrad～ 1803
440?弧长l,|α|?r,π×10,π～选A. 33
【答案】 A
4.将,1 485?化成2kπ，α(0?α<2π，k?Z)的形式为________.
【导学号:72010004】
【解析】 由,1 485?,,5×360?，315?～
7所以,1 485?可以表示为,10π，π. 4
7【答案】 ,10π，π 4
5.一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数.
【解】 设扇形的半径为R～弧长为l～圆心角为α～
则2R，l,4.?
11由扇形的面积公式S, lR～得lR,1.? 22
l由??得R,1～l,2～?α,,2 rad. R
?扇形的圆心角为2 rad.
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一、选择题
25π1.,的角是( ) 6
A.第一象限的角 B.第二象限的角
C.第三象限的角 D.第四象限的角
25ππ【解析】 因为,,,,4π～ 66
25ππ所以,与,的终边相同～为第四象限的角. 66
【答案】 D
2.若2 rad的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所对的扇形面积是
( )
22A.4 cm B.2 cm
22C.4π cm D.2π cm
l411【解析】 r,,,2(cm)～S,lr,×4×2 |α|222
2,4(cm).
【答案】 A
3.圆的半径是6 cm，则15?的圆心角与圆弧围成的扇形面积是( ) π3π22A. cm B. cm 22
22C.π cm D.3π cm
π11π22【解析】 15?,～则S,|α|r,××6 122212
3π2,(cm). 2
【答案】 B
4.下列说法不正确的是( )
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
11B.1?的角是周角的，1弧度的角是周角的 3602π
C.1 rad的角比1?的角要大
D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
【解析】 用角度制和弧度制度量角～都与圆的半径无关. 【答案】 D
,,,ππ,,,,,5.集合αkπ，?α?kπ，，k?Z中角所表示的范围(阴影部分)是( ) ,42,,,,
【解析】 k为偶数时～集合对应的区域为第一象限内直线y,x左上部分(包
含边界)～k为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y,x的右下部分(包含边
界).故选C.
【答案】 C
二、填空题
把,570?写成2kπ，α(k?Z，α?(0,2π)的形式是________. 6.
【导学号:72010005】
π,,,,【解析】 法一:,570?,,570×rad ,,180
19,,πrad～ 6
195?,π,,4π，π. 66
法二:,570?,,2×360?，150?～
5?,570?,,4π，π. 6
5【答案】 ,4π，π 6
7.一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的
圆心角是________弧度，扇形面积是________. 【解析】 由题意知r,2～l，2r,πr～?l,(π,2)r～
l，π,2，r?圆心角α,,,π,2(rad)～ rr
11扇形面积S,lr,×(π,2)?r?r,2(π,2). 22
【答案】 π,2 2(π,2)
三、解答题
8.已知α,2 000?.
(1)把α写成2kπ，β(k?Z，β?[0,2π)的形式; (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ?(4π，6π).
10【解】 (1)α,2 000?,5×360?，200?,10π，π. 9
10(2)θ与α的终边相同～故θ,2kπ，π～k?Z～ 9
1046π又θ?(4π～6π)～所以k,2时～θ,4π，π,. 999.已知一个扇形的周长是40，
(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角; (2)求扇形面积S的最大值.
【解】 (1)设扇形的半径为r～弧长为l～圆心角为α～
l，2r,40～,,
,则由题意得 1lr,100～, ,2
,l,20～l解得,则α,,2(rad). rr,10～,
故扇形的圆心角为2 rad.
(2)由l，2r,40得l,40,2r～
11故S,lr,(40,2r)?r 22
22,20r,r,,(r,10)，100～
故r,10时～扇形面积S取最大值100.
[能力提升]
31.如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对2
的圆心角是原来的( )
1A. B.2倍 2
1C. D.3倍 3
l【解析】 设圆的半径为r～弧长为l～圆心角的弧度数为～将半径变为原r
3l32l来的一半～弧长变为原来的倍～则弧度数变为,3?～即弧度数变为原来的321rr2
倍.
【答案】 D
已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10. 2.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小; (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
【解】 (1)由?O的半径r,10,AB～ 知?AOB是等边三角形～
π?α,?AOB,60?,. 3
π(2)由(1)可知α,～r,10～ 3
π10π?弧长l,α?r,×10,～ 33
1110π50π?S,lr,××10,～ 扇形223311503而S,?AB?53,×10×53,～ ?AOB222
,,π3?S,S,S,50,,. 扇形?AOB,,,32
浙公网安备 33021202002483