第三章回归预测法
第三章 回归预测法
基本内容
一、一元线性回归预测法
是指成对的两个变量数据分布大体上呈直线趋势时，运用合适的参数估计方法，求出一元线性回归模型，然后根据自变量与因变量之间的关系，预测因变量的趋势。由于很多社会经济现象之间都存在相关关系，因此，一元线性回归预测具有很广泛的应用。进行一元线性回归预测时，必须选用合适的统计方法估计模型参数，并对模型及其参数进行统计检验。
1、建立模型
一元线性回归模型: y,b，bx，,i01ii
其中，，是未知参数，为剩余残差项或称随机扰动项。 bb,10i
2、用最小二乘法进行参数的估计时，要求满足一定的假设条件: ,i
?是一个随机变量; ,i
?的均值为零，即; ，，,E,,0ii
2?在每一个时期中，的方差为常量，即; ，，,D,,,ii
?各个相互独立; ,i
?与自变量无关; ,i
3、参数估计
用最小二乘法进行参数估计，得到的，的公式为: bb10
x,xy,y，，，，,b, 12，，x,x,
b,y,bx01
4、进行检验
2ˆy,y，，,SE, ?标准误差:估计值与因变量值间的平均平方误差。其计算公式为:。 n,2
?可决系数:衡量自变量与因变量关系密切程度的指标，在0与1之间取值。其计算公式
22，，ˆ,,,，，，，，，xxyyyy,,2,,为:,,,。 R1222,,，，,yy，，，，,,,xxyy,,，，
x,xy,y，，，，, ?相关系数;计算公式为:。 r,22，，，，x,xy,y,,
?回归系数显著性检验
i 检验假设: ，。 H:b,0H:b,00111
bSE1 ii检验统计量:~，其中。 S,，，ttn,2,b2Sb，，x,x,
iii检验规则:给定显著性水平α，若，则回归系数显著。 t,t,
?回归模型的显著性检验
i 检验假设: 回归方程不显著 ，回归方程显著。 H:H:10
2ˆy,y，，,F, ii检验统计量:~。 ，，F1,n,22ˆy,y，，,
，，n,2
iii检验规则:给定显著性水平α，若，则回归方程显著。 ，，F,F1,n,2,
?得宾—沃森统计量(D—W):检验之间是否存在自相关关系。 ,i
n2,,，，,,,1ii,2iˆ ，其中。 ,,y,yDW,,iiin2,,i,1i
5、进行预测
ˆ 小样本情况下,近似的置信区间的常用公式为:置信区间=。 y,tSE二、多元线性回归预测法
社会经济现象的变化往往受到多个因素的影响，因此，一般要进行多元回归分析，我们把包括两个或两个以上自变量的回归成为多元回归。多元回归与医院回归类似，可以用最小二乘法估计模型参数。也需对模型及模型参数进行统计检验。选择合适的自变量是正确进行多元回归预测的前提之一，多元回归模型自变量的选择可以利用变量之间的相关矩阵来解决。
1、 建立模型—以二元线性回归模型为例
二元线性回归模型:y,b，bx，bx，,。类似使用最小二乘法进行参数估计。 i01122i2
2、 拟合优度指标
?标准误差:对y值与模型估计值之间的离差的一种度量。其计算公式为:
2ˆy,y，，,SE, n,3
2ˆ,，，yy,22 ?可决系数:。意味着回归模型没有对的变差做出任,,yR,0R12，，,yy,
2何解释;而意味着回归模型对的全部变差做出解释。 R,1y
3、 置信范围
ˆ 置信区间的公式为:置信区间=，其中是自由度为的统计量数值y,tSEttn,kpp
表
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中的数值，是观察值的个数，是包括因变量在内的变量的个数。 nk
4、自相关和多重共线性问题
n2,,，，,,,1ii,2iˆ ?自相关检验:，其中。 ,,y,yDW,,iiin2,,i,1i
?多重共线性检验
由于各个自变量所提供的是各个不同因素的信息，因此假定各自变量同其他自变量之间是无关的。但是实际上两个自变量之间可能存在相关关系，这种关系会导致建立错误的回归模型以及得出使人误解的结论。为了避免这个问题，有必要对自变量之间的相关与否进行检
x,xy,y，，，，,验。任何两个自变量之间的相关系数为:，经验法则认为相r,22，，，，x,xy,y,,
关系数的绝对值小于0.75，或者0.5，这两个自变量之间不存在多重共线性问题。
三、非线性回归预测法
在社会现实经济生活中，很多现象之间的关系并不是线性关系，对这种类型现象的分析预测一般要应用非线性回归预测，通过变量代换，可以将很多的非线性回归转化为线性回归。因而，可以用线性回归方法解决非线性回归预测问题。
选择合适的曲线类型不是一件轻而易举的工作，主要依靠专业知识和经验。常用的曲线类型有幂函数，指数函数，抛物线函数，对数函数和S型函数。
四、应用回归预测法时应注意的问题
应用回归预测法时应首先确定变量之间是否存在相关关系。如果变量之间不存在相关关系，对这些变量应用回归预测法就会得出错误的结果。
正确应用回归分析预测时应注意:
?用定性分析判断现象之间的依存关系;
?避免回归预测的任意外推;
?应用合适的数据资料;
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