向量数量积公式的变形及广泛运用

向量数量积公式的变形及广泛运用 2006年4月1日理科考试研究?. 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 版 向量数量积公式的变形及广泛运用. 施文广 向量是现行高中数学教材的新增内容.是 代数,几何,三角等知识的交汇点.是高考命题 的热点.向量作为效学工具.在解决各种类型 的数学问题中有广泛的运用.它可使解题过程 变得轻松,灵巧,一目了然.给人以美的享受. 尤其是向量数量积公式的运用更为广泛,灵 活. 一 ,向量数量积公式m?一=ImII—I cos8的直接应用 I.证明与余弦有关的三角公式 在有关两角和,差 及倍角的三角公式中. 基本公式cos(a+)= o0s口o0s一sin口如是利 用单位圆与两点间的距 离公式证明的,过程比 , Jl ' - 一 V-一,P|- 较繁,但利用向量数量积公式.证明就筒捷, 明了.t 证明如图.在直角坐标系,中,作角 a,一p.始边均为0轴.终边交圆0于点PI, P2,则它们的坐标是Px(oos口,sina).P2(?8(一 卢),一卢)).向量的坐标是 m==(o0s口.). 一=i:;(&)s(一卢).sin(一卢)) ; ()sJ9.一sin卢), J,l与一的夹角为口+fl,代人公式立刻得到 ?s(口+J9)=cosocosfl—sinasin~. 2.求向量的模 当肘与厅取相同的向量口时.它们的夹角 为O.此时公式就变成为口?口=I口IJ口I枷, 即a2=I口I2,所以I口I=^,,4(书中已有公 式和应用.这里从略). 3.证明向量共线 当向量共线时.夹角为0或,r.此时m?一 =ImlI—Icos0就变成为m?一=ImlI—I, 或m?一=一I琳II—I.反之当非零向量m,一 满足上述两个关系式时,它们共线.满足前者, 向量肘,露同向共线;满足后者.向量肘,露反向 共线.因为有向量共线的充要条件.且应用起 来比较简便可靠,这里就不再展开了. 二,向量数量积公式与不等式 '数量积公式m?一=ImII—Icos0中,由 于一I?cos0?I原公式就变为m?一? ImIl—I或者m?一?一ImII—I(当且仅当 m,一同向或反向时取等号).总之, 一 ImIl—I?埘?一?lmII—l.即lm?一l ?ImII—I(当且仅当向量埘,一共线时取等 号).用这些公式可以证明不等式.求最大值, 最小值,比较两个效的大小等同题. i.证明不等式 例I已知口.b.c?R,且口+b+c= l.求++?+ 证明设向量m=(,.).一= (1.1,I).则有m?一=++, ImI=~/.丽=l.- I—l:丽=. 代入不等式IJ,l?nI?lmIl—I.可得 结论. 2.解决一些最值问题 例2已知口,b均为正数,且口+b=1. 1-' 求土+?的曩小值.口口 解设m=(.告).一=,).aqb 根据拼?刀?I肘IlJ露I,就有 (,).) 理科考试研究?数学版2006年4月1日 ??)2+()府, IlP2~?丢+丢,所以丢+吾?4. 从而丢+寺的最小值为4. 3.还可用于比较大小( 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 大同小异,这 里就不作展开了) 三,向量数量积公式的变形与求角 将向量的数量积公式变形,得oosO= ,其中是两个非零向量的夹角.很 显然,已知两个非零向量就能求出它们的夹 角. 特殊情况,若两个非零向量m,疗互相垂 直,即0=9o.,则cosO=O,从而得到m?一= 0.反之亦然.所以有m-i-聘臼m?拜;0. 1.证明某些垂直问题 例3(高中课本二册上) 如田,直线=z一2与抛 物戏2=2相交于A.B 两点,求证:OA上0B. 证明设A(x1, Y1),B(z2,Y2),则 . 一 = ' (z1,1),=(z2:此). ___'?0?_'+又0A?0丘=1X2+l =zl2+(z1—2)(2—2) =2zl2—2(xI+2)+4. 由方程组{__三2'消去,得到方程z2— 6z十4=0,z1+2;6,124. 这样,ij【.渣=2×4—2×6+4:0. 所以_i-魂,即OA上OB. 例4(2Ooo年全国 高考题改编)如图,已知 平行六面体ABCD— AtBtCiD1的底面四边 形脚是菱形,且 ClCB=C1CD=c BCD=60.,求证:A1CD _上-BD. , ,证明谢=口,=,=c.则 <口,)=(口,c)=<,c)=60', I口I=II. 又=当Z+=口++c, 亩:一菇:口一,. 则:?亩=(口++c)?(口一)=口 一 2+口?c一?c=l口I2一卜I2+I口l IcIo.s(口,c)一IIlcIo.s(,c)=0, 所以?:0,即cA1上BD. 2.求异面直线所成的角 例5如田,在正方体脚一 A1B1ClD1中,E是DDl的中点,F是AD的中 点tG避A1B1上的任意一点,求异面直线AE 和FG所成的角. 解如图,建立空间直角坐标系D一耻. 不妨设正方体的棱长为2,则有关点的坐标是 A(2,0,O),F(1,o,0),Al(2,0,2),B1(2,2, 2),E(o,o,1).由于G在A1B1上,可设G的坐 标为(2,,2),所以=(一2,o,1),= (1,Y,2).设异面直线AE和FG所成的角 为,则 硎=-?' = =0, 得=90.. 所以异面直线AE和F6互相垂直. 注:(1)因为异面直线所成的角?(o, 90.],所以cosO非负,公式要加绝对值; (2)若求出cos0的值,不是特殊角的余弦 值,可用反余弦表示. 3.求某些轨迹方程 例6在AABC中,A(4,3),B(2,1), 2006年4月1日理科考试研究?数学版?13? C(5,2),求A平分线所在直线的方程. 解取A平分线所在直线上的任意一 点P(,),则与的夹角0等于与 的夹角口. 【{;:(一4,一3),=(一2,一2), = (1,一1). . 菇 瞄而 一 2(一4)一2(—3)一 ?II 一 2一2+14 ?一'?8【API' . 瞄口而 一 !兰二2=(二圣2一 FII~/1+(一1)II 一31一I 一 II' 由题意得eO6t/'=cos0,即 二兰二?垒一兰=:.=!— 4—8APd—2'IIIAPI 化简得A平分线所在直线的方程为 =4.. 4.求线与面所成的角 例7(2000年全 国高考题)如图,正三棱 柱ABC—AlBlCl的底 面边长为a.侧棱长为 ?2口,求直线AC1与使l 面ABBA1所成的角. 解如图,以A为 坐标原点,以AB所在直线为Y轴,以AAl所在 直线为z轴,以经过点A且与面ASB1Al垂直 的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标 系,贝4A(O,0,0),A1(O,0.?2口),B(O,a,0), C1(一口,告口口).先求出平面粥lAl的 法向量. 设法向量为一=(,Y,). = (o,0口),=(0,口,0), . ————- ??———'由一?AA=0,一?柚=0, . 有 . .'~,ly一 - -- 0, ay00【=.一, 所以一=(,0,0),取,l=(1,O,0). 再求与Jl两向量所在直线的夹角0. 由o.s= I_口I1 ._' 得0=60. 所以直线AC1与平面ABB1A1所成的角 为30.. 注直线与平面所成的角和直线与平面 法向量所成的角互余. 5.求二面角的大小 例8.(20o2年全 国高考题改编)如图, 正方形AB?,ABEF 的边长都是1,而且它 们互相垂直.M,N分 别是AC,BF-的中点, 求面与面MNB 所成的二面角口的大小. 解以B为坐标原点,分别以BA,BE, BC为,,z轴建立如图所示的空间直角坐标 系.则riCO,0,0),A(1,O,0),c(o,0,1),F(1, l,0),所以M(,0,1) , N(丢,1,o),厶??? : (o,,一), 劢;(一百1,0,1). 先设平面AMN的法向量一=(a,b,c), 根据法向量的定义及求法有 一 1 c=0, l一号口+号c—o, 可得a=b=c,所以一=口(1,1,1), 取一=(一1.一1.一1). 理科考试研究?数学版2006年4月1日 (这里取n(-1,一1, 量指向二面角的内部) 一 1),因为这个法向一础,则 同理求出平面BMN的法向量m=(1,一 1,一1),它也指向二面角的内部.叉螂(J,l,,1) 丝:曼一=.??: ImlI—IX3' (注:这里求出的是向量的夹角) 因为=面角a是两个平面法向量夹角的 补角,所以口=,r—arc?8丢. 注这里先求的是平面法向量的夹角.注 意法向量的方向必须同时指向二面角的内部, 或背向二面角,这时二面角的大小与两个法向 量的夹角互补.+ 四,向量数量积公式的变形与求距膏 将数量积公式变形为ImIoo8=号!.?旱, 用于求m在一上的投影.用于求距离.注意投 影可正,可负,而距离就为非负数了. 1.在平面解析几何中求点到直线的距离 倒9求点P(2,1)垂IJ直绒Z:3z+4+l0. =0的距离. 解先找直线Z上的任意一点,如A(一6, 2),=(8,一1),写出直线z的任意一个法 向量一=(3,4).求点P到直线Z的距离d就是 求向量=(8,一1),在法向量一上的投影的 绝对值,所以 . 洼(1)平面解析几何中直线的法向量 (其中一个)的横纵坐标分别是直线方程z,Y 的系数,所有法向量都与它共线. (2)立体几何中.求点到直线的距离,由于 所需的法向量不容易求得,因此不可仿效 此法. 2.在立体几何中求点到平面的距离 例10(1991年全国南考题)如图.已知 CD是边长为4的正方形,E,F分别是AB, AD的中点,GC上面ABCD,且GC=2,求点 B到面EFG的距离. 解建立如图所示的空间直角坐标系c = (2,4,一2), = (4,2,一2), 蔗=(2,0,0). 设平面EFG的法向量 为一=(,Y,z), G C 则一上奁,n上, 即J24-4y一2z0,. .t4x4-2一2z0- 令z=3.得=l,=l, 即一=(1,1,3).碡在一方向上的投影的 绝对值为 ? 一 I?Q?QI. , l' 2v厂豇 可, 这就是所求的距离. 注本解法求商在一方向上的投影的绝 对值,峦也可廊,代替,只要B与平面上 的任意一点所确定的向量都可代替商. 3.在立体几何中求直线到平面,平面到平 面的距离. 这两种题型都可转化为点到平面的距离, 只要在直线或其中一个平面上任取一点,求这 一 点到平面的距离即可.方法与上例相同,这 里从略. 4.在立体几何中求两条异面直线何的 距离 这种题型的做法是:先求与两条异面直线 都垂直的向量,l,方法同于求平面的法向量.再 在两条异面直线上各找一点M,N,求出相应 的向量,两条异面直线间的距离就是向量 菌在向量,l上的投影的绝对值.这里从略. 总之,向量的数量积公式有着广泛的应 用,运用它来求解代数,三角,几何问题,特别 是立体几何中求角,求距离,证明垂直等问题, 有着不可比拟的优越性,有着广阔的发展空 间,为中学数学教与学注入新鲜血液和活力. 【作者单位:(321200)浙江省武义第三中学】