几何光学中光线的拉格朗日函数和动力学参量

几何光学中光线的拉格朗日函数和动力学参量 ( )年 12 月 渝西学院学报 自然科学版 Dec1 , 2002 2002 ()第 1 卷 第 4 期 Journal of Western Chongqing University Nature Sciences Edition Vol11 No14 几何光学中光线的拉格朗日函数和动力学参量 龙 晓 霞 ( )渝西学院 物理与电子信息工程系 ,重庆 永川 402168 [ 摘 要 ]本文将几何光学中的费马原理和经典力学中的哈密顿原理进行类比 ,得到了几何光 学中光线的拉格朗日函数 ,在此基础上 ,求得几何光学中光线的线动量 、角动量 、力和能量等动 力学参量 ,并对这些动力学参量的特征作以分析 。结果表明 : 几何光学与粒子力学具有相似 性 ,利用这一相似性 ,可以建立与粒子力学类似的几何光学中光线遵从的规律 。 [ 关键词 ]光线 ;拉格朗日函数 ;动力学参量 () [ 中图分类号 ] TU311 [ 文献标识码 ]A [ 文章编号 ]1671 —7538 200204 —0020 —04 1 几何光学与粒子力学具有相似性 ,不少文献都作了论述。物理学家得布罗意正是在这种相似性的启发下 ,提出了粒子波粒二象性的假设 ,进而建立了量子力学。 已有作 者对由几何光学到量子力学波动方程建立过程等问题作了分析和论述 ,但是 ,能否建立 一套类于粒子力学的一套几何光学光线的动力学参量和运动规律 ,至今国内外研究甚 少 。实验观测表明 :当光线紧靠巨大星体掠过时 ,光线会弯曲 ; 光线在高温星体周围未被 2 3 磁化的等离子体中也有弯曲现象 ,并且呈现开放的双曲线轨道或椭圆轨道。这些问 题都不是传统的几何光学所能解释的 。因此 ,有必要在进一步探讨几何光学与粒子力学 相似性的基础上 ,研究几何光学中光线的动力学参量和遵从的规律 ,并由此探讨诸如光 线弯曲等现象 。为此 ,本文将探讨几何光学光线的动力学参量和遵从的规律 ,至于如何 用此规律来解释上述光线弯曲现象 ,以后再作论述。 1 光线的拉格朗日函数和拉格朗日方程 根据费马原理 ,实际光线总是沿着光程取极值的路径传播 。因此 ,如果假设光线从 (σ)(σ) (σ)一点 ?r 到另一点 ?r 为轨道参量 ,如时间 t ,必然满足光程的变分为零的条件 , 1 2 即 : σσ2 2 ds( ) ( ) δσ ()δ1 n?r ds = n ?r d= 0σd σ σ1 1 ? ? ( ) 式中 n ?r是介质的折射率 , ds 是路程的微分 2 2 2 ()ds = 2dx+ dx+ dx= d?r 1 2 3 ( ) = x t是光线 I 这里 dx、dx、dx分别代表 oxy 直角坐标系中的 dx 、dy 、dz ,并且 x 1 2 3 i [ 收稿日期 ] 2002 —06 —21 () [ 作者简介 ] 龙晓霞 1965 —, 女 , 副教授 , 主要从事力学教学及研究 。 σ2 δσ ( ) L d= 03 σ1 ? () () 将 1式和 2式比较 ,我们可以认为几何光学的拉格朗日函数为 ()( ) ( ) L = L r , v 4?= n r?v opt 这里速率 v 是这样定义的 : dxids 2 2 2 + X+ X, x = ?X??()V = = , i= 1 、2 、3 5 1 2 3 i σσd d () 从方程 4中可以看出 ,几何光学中的拉格朗日函数只依赖于位置矢量 ?r 和速率 v , 与速度的方向无关 ,且里面没有出现经典力学中拉格朗日函数里的动能和势能 。 定义了光学中的拉格朗日函数 ,可得光学中的拉格朗日方程为 : 9L 9L opt d opt()- = 0 6 σ d9?x 9x ii 从上可以看出 ,几何光学和经典力学具有相似性 ,都存在对应的拉格朗日函数 ,遵从 相同形式的拉格朗日方程 。因此 , 在光学中也可以引入和力学中相对应的线动量 、角动 量 、力和能量等概念 。由于几何光学中的拉格朗日函数和经典力学中拉格朗日函数的差 异 ,所以对应量的含义也不同 。下面就分别定义光学中的各物理量。 几何光学中光线的动力学参量2 2. 1 几何光学中光线的动量 仿照经典力学中广义动量的定义 ,可定义几何光学中光线的线动量的分量为 9L ( )()7 = 1 、2 、3 P= ii 9?x i () () 比较 4、5可得光线的线动量矢量为 σ d?r/ d d?r )(( )( )8 Pn r ? ?= n r ?=opt σ ds ds/ d d?r τ() ττ= = ,由 8得到 是光线轨道切向方向的单位矢量 而 d?r = ds,,所以 ds ( ) τ()?P= n r? 9 opt () 9式表明 :几何光学中光线的动量矢量的大小等于介质的折射率 ,方向与该点切线 方向相同 。 2 . 2 几何光学中光线所受的力 () () 将 7式代入拉格朗日方程 ,即 6式可得到 : dp dp dp 123 9L 9L 9L = , = , = σ σ σ d9x d9x d9x 1 2 3 将上分量写成矢量形式得 : dp? optΔ() = L 10optσd Δ()( ) = L 11 Fr , v ??optopt 上式表明作用于光线的力等于光学拉格朗日函数的梯度 ,且此力也依赖于速率和位 置矢量 。此式为光学拉格朗日方程的另一种形式 。 2 . 3 几何光学种光线的势能函数 ()11 式中若定义一几何光学的势能函数为拉格朗日函数的负值 ,即 : ( ) ( )()V ?r , v= - L ?r , v 12 opt opt () 则 10式写为 : dp? optΔ( )()13 = L ?r , v opt σd σ为得到势能函数的具体形式 ,我们给参数 一个具体规定 ,即 : ds ds ()σ n 或= 14 =σ nd ? σ() 注意到 v = ds/ d并不明显地依赖 ?r ,利用 14式可得 : 1 2 ΔΔ( ( ) )(Δ( ) ) Δ( ) ) σ ( ) (Δ( () )= n r()?= n ?rv = n ?rds/ d= n ?rn r? L 15 opt 2 () () 由 12和 15可得 : 1 2)(ΔΔ( ( ) )16 = - n r?V opt 2 由此得到光线的势能函数为 1 2( ) ( ) ()V r?= - n r?+ const17 opt 2 该式把把几何光学中的光线的势能函数与折射率联系起来了 。 几何光学中光线的角动量及角动量定理 2. 4 () 类似于经典力学 ,并利用 9式可得光线的角动量为 ()L?( ) τ= ?r ×?p= n ?r?r × 18optopt σ将上式对 求导 ,得到 : dL Dp? ? d?r optopt( ) τ = n ?r+ ?r ×× σσ σd d d d?p optτdr? = ds,上式右边第一项为零 ,并利用 = 由于 ?F可得到 : opt σd dL? opt()= ?r ×?F= N? 19 opt σd 上式表明 :角动量的变化率等于所受力的力矩 。此即光学中的角动量定理。 2. 5 几何光学中光线的哈密顿函数 类似于经典力学 ,光线的哈密顿函数定义为 : dr ?()20 = ?P? - HL optoptopt σd () () ( ) 由 9式 、5式知上式右边第一项刚好是 n rv = L ,所以光线的哈密顿函数 ?opt ()21 = 0 H opt 性 ;但同时也有不同之处 :力学系统能量不一定守恒 ,拉格朗日函数与时间有关 ,力学系 统能量可以增加也可以减少 ;而光学的拉格朗日函数与轨道参数无关。 3 结论 通过以上讨论可以看出 ,光线在介质中的传播 ,与一个实物粒子在力场中的运动具 有相似性 。由于存在这种相似性 ,我们可以将力学的思想和方法用于处理光学问题 ; 也 可以将光学的思想和方法用于处理力学问题 。可以构建与经典力学十分类似的几何光 学中光线的拉格朗日函数以及线动量 、角动量 、力 、势能 、哈密顿函数等动力学参量 。进 而可采用与经典力学类似的方法 ,探讨几何光学中光线的传播规律。 并对许多物理现象 给予解释 ,如解释前所述光线弯曲问题 ,对此问题以后再作论述 。 [ 参考文献 ] 1 曾谨言 1 量子力学 M 1 北京 :科学出版社 ,19811 ( ) 2 R. K. Luneberg. Mathematical Theory of Optics Califonia University press. Rerkeley and Los Angeles ,19641 3 Abbas A. Rangwala and Vaman H. Kui Karmi . Laplace - Runge - Len2 vector for a light ray a trajectory in r - 1 media Am. J . phys. Vol . 69 No . 7. J uly 2001. 803 - 8091 The L ight Ray’s Lagrangian Function and Dyna micsPara meters in Geometrical Optics LONG xiao - xia ( )Dept . of Physic s &Ele etro nic Informatio n , We stern Cho ngqing Univer sity Cho ngqing 402160 , China Abstract : Fermat ,s principle of geometrical optics is compared with Hamiltonian principle of Classical Mechanics in this artical ,andLagrangian of light ray in geometrial optics is obtained Being based upon this ,the parameters of dynamics such as Linear momentum ,angular momentum ,force ,energy and so on. Furthermore . the characters of these dynamics parameters are analysized. A conclusion that geometrical optics is similar to partide mechanics is drawn , and a law followed by the light ray of geometrical optics uhich is similar to partide mechanics is founded by making use of the similarity. Key Words :a light ray ; lagrangian ; dynamics farameters.