元素与集合的关系
22aax,y1(设,{|,,}，求证:(1)?(); x,y,ZAA2k,1k,Z
(2) 4k,2,A (k,Z)
aaa
分析
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:如果集合,{|具有性质}，那么判断对象是否是集合的元素的基本方法AAp
a就是检验是否具有性质。 p
22k,(k,1)解:(1)?,?且,,故?; ZAkk,12k,12k,1
22x,y(2)假设，则存在，使, 4k,2,A (k,Z)x,y,Z4k,2即 (*) (x,y)(x，y),2(2k,1)
由于与具有相同的奇偶性，所以(*)式左边有且仅有两种可能:奇数或x，yx,y
4的倍数，另一方面，(*)式右边只能被4除余2的数，故(*)式不能成立。由此，
4k,2,A (k,Z)。
33xx，19y,y，19x2(设集合,(,3，2)。已知，,,,判断 x,y,NAya,与集合的关系。 Alog(x，y)1
2
分析:解决本题的关键在于由已知条件确定的取值范围，从而利用对数函数的单调x，y
a性确定,的范围。 log(x，y)1
2
33x,y,19(x,y)x解:因为且x,y,N，,，所以 y
2222x，xy，y,19,3x, x，x
x由此及得=3,从而=2. yx,N
aa所以,3,,,即?。 Alog(3，2),log5,,211
22
3(以某些整数为元素的集合具有下列性质:?中的元素有正数，有负数; PP
xx?中的元素有奇数,有偶数;?,1;?若，?,则，?试判断实数0PPPPyy,
和2与集合的关系。 P
xxxkx,P (k,N)解:由?若，?,则，?可知，若?，则 PPPyy
xxxx(1)由?可设，?，且,0，,0，则,,|| (||?) PyyyyyN
xxxx故,,?,由?,0,(,)+?。 PPyyyy
(2)2。若2?，则中的负数全为偶数，不然的话，当,()?()PPPP2k，1k,N,
时，,1,(,)，?，与?矛盾。于是，由?知中必有正奇数。设PP2k,12k
，我们取适当正整数，使 ,2m,2n,1,P (m,n,N)q
，则负奇数。前后矛盾。 q,|,2m|,2n,1,2qm，(2n,1),P
aa4(设为满足下列条件的有理数的集合:?若?，?，则+?， SSSSbb
rrrr;?对任一个有理数，三个关系?，,?，,0有且仅有一个成立。ab,SSS
证明:是由全体正有理数组成的集合。 S
rrrrr证明:设任意的?，?0,由?知?，或,?之一成立。再由?，若?，QSSS
222rr,(,r),(,r),S则;若,?，则。总之，。 r,Sr,SS
r取=1，则1?。再由?，2=1+1?，3=1+2?，…，可知全体正整数都属于。 SSSS
p11,pq,,S设，由?，又由前证知，所以?。因此，含p,q,Spq,SSS22qqq有全体正有理数。
再由?知，0及全体负有理数不属于。即是由全体正有理数组成的集合。 SS
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