导数在研究函数中的应用(曾华春)

导数在研究函数中的应用(曾华春)导数在研究函数中的应用(曾华春) 导数在研究函数中的应用江西省南康唐江中学曾华春邮编:341411 【摘要】随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题.新课程利用导数求曲线的切线，判断或论证函数的单调性，函数的极值和最值. 【关键词】导函数切线单调性极值最值一、用导数求函数的切线 32例1.已知曲线，过点作其切线，求切线方程. 13,,yxx,,,31，， 2,,x,1解:，当时，即所求切...

导数在研究函数中的应用(曾华春) 导数在研究函数中的应用江西省南康唐江中学曾华春邮编:341411 【摘要】随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题.新课程利用导数求曲线的切线，判断或论证函数的单调性，函数的极值和最值. 【关键词】导函数切线单调性极值最值一、用导数求函数的切线 32例1.已知曲线，过点作其切线，求切线方程. 13,,yxx,,,31，， 2,,x,1解:，当时，即所求切线的斜率为.故所求切线的方程为y,,3yxx,,36,3 ，即为:. yx，,,,331()yx,,3 x点评:函数yfx,在点处的导数的几何意义，就是曲线yfx,在点Pxfx,，，，，，，，，,,, ,处的切线的斜率.即曲线yfx,在点处的切线的斜率是fx，相应的Pxfx,，，，，，，，，,,, ,yfxfxxx,,,. 切线方程为:，，，，，，,,, 二、用导数判断函数的单调性 32例2(求函数的单调区间. yxx,,,31 ,,,分析:求出导数y，令y,0或y,0，解出的取值范围即可. x 2,,,x,0x,202,,x解:，由y,0，解得或;由y,0，解得. yxx,,36 ,,，,,,,0202,故所求单调增区间为，单调减区间为. ，，，，，， fx点评:利用导数判断函数的单调性的步骤是:(1)确定的定义域;(2)求导，， ,,,fxfxfx,0fx,0fx数;(3)在函数的定义域内解不等式和;(4)确定，，，，，，，，，，, 的单调区间.若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论. 三、用导数求函数的极值 13fxxx,,，44例3(求函数的极值. ，，3 2x,,2,x,2fxx,,4解:由，解得或. ，， 1 428当x,,2时，有极大值f,,2，当x,2时，有极小值f2,,. ，，，，yy33 ,,点评:求函数极值的步骤是:(1)确定函数定义域，求导数;(2求fxfx,0，，，，的所有实数根;(3)用函数的间断点(即的无定义点)把函数的定义区fxfx，，，，间分成若干个小区间;(4)对每个实数根进行检验，判断在每个根(如)的左x, ,,右侧，导函数的符号如何变化，如果的符号由正(负)变负(正)，则fxfxfx，，，，，，, ,xx,是极大(小)值.如果的根的左右侧符号不变，则不是极值. fx,0fx，，，，,,四、用导数求函数的最值 32例4(函数在区间上的最值. fxxx,,，32，， 2,xx,,02,,解:,令fx,0,得(舍). fxxx,,36，，，， fxf,,02fxf,,,,12比较fff,101,,的大小知:,. ，，，，，，，，，，，，，，maxmin ab,yfx,ab,在区间上的最值的步骤:(1)求函数在区间内点评:求函数yfx,，，，，,,，， yfx,fafb,的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大(小)，，，，，，的一个是最大(小)值. 五、解决不等式问题 1223x,1xxx，,ln例5(求证:当时，. 23 2xxx,，，121()211，，322,,x,1gxxxx,,,lngxxx,,,2解:设, , 时, ， gx,,0，，，，，，x32x 11223x,1gxg,,,10xxx，,lngx则1,，,在上是增函数，.即当时，. ，，，，？，，，，623点评:利用导数解决不等式问题,实质是利用求导的方法研究函数的单调性,通过单调性求解不等式或证明不等式,即 “构造函数，利用导数研究函数最值”. 六、利用导数求范围 322xxxx,,,xx,,2fxaxbxaxabR(),,，,，,31例6(设函数在处取得极值,且.，，1212a,0b若,求的取值范围. 2222,xx,3230axbxa，,,fxaxbxa,，,323解:,为方程的两根, ，，12 23436ba，2201,,axx,,xxbab,,,,,291所以.从而.由上式及题设知:. ，，12123a 2 22223考虑则在(,)0上单调递增,在(,)1上单调,gaaa,,99,gagaaa,,,27(),，，，，，，333 24g(),递减,从而在上的极大值为,又在上只有一个极值, ga01,ga01,，，，，，，,,33 24g(),所以为在上的最大值,且最小值为. ga01,g10,，，，，，,33 ，，42323，，2b所以即的取值范围为 b,,,,,.0,,,,333，，，，七、利用导数画函数的大致图象解决实际问题 13fxxx,,，k例7(已知函数44,若关于的方程有三个零点,求实数的fxk,x，，，，3 428,,,k取值围.( 见例题3结合图象:) 33 八、导数在实际中的应用例8(设有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶,已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍,问:如何设计能使总造价最小? ,底面半径为,又设单位面积铁的造价为,桶的总造价为解:设圆柱体的高为mrh mV2V2222ymrr,,，,.Vrh,,y40,则由于,得,所以 ymrmrrh,,，,，,32().，，h,2r,r 11VVVmV233r,(),, 所以,令得,此时. y,0h,,4()ymr,,,.822,44,,rr 0,，,设函数在内连续可导,且只有一个使函数的导数为零的点,问题中总造价，， 1V3r,()hr:,4的最小值显然存在,当时, 有最小值,即时,总造价最小. y,4 点评:解决生活中的优化问题,将问题中涉及的变量关系用函数关系表示,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去,有时遇到函数在区间内只有 ,fx,0一个点使的情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,，，也可以知道这就是最大(小)值. 总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，在应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维. 参考资料: 1、普通高中课程标准实验教科书(北京师范大学出版社) 2、普通高中复习资料《黄金榜》(北师大版). 3

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