2.三角形中的几何计算
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1．知识与技能:能够根据计算的需要,在平面图形中构造恰当的三角形,并正确选择正弦定理、余弦定理解决问题.
2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
3.情态与价值：培养学生良好的思维习惯，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点.
教材知识清单
知识储备
1.三角形中的几何计算
正弦定理、余弦定理是两个重要的定理,在解决与三角形有关的几何问题中有着广泛的应用.运用正弦定理、余弦定理解决一些平面图形的计算问题,其关键是在三角形中灵活运用正弦定理和余弦定理,建立已知与未知的等量或不等量关系,其具体步骤可归纳如下:
(1)要根据计算的需要，在平面图形中构造恰当的三角形，作为沟通已知和未知的桥梁;
(2)仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件;
(3)正确选择正弦定理或余弦定理解答.
例1 P39 原例1
解题方法技巧
2.利用正、余弦定理巧解几何计算问题
三角形中的几何计算可归结为以下三类问题:
(1)几何中的长度问题
把几何中的线段长转化为三角形的边长,在三角形中利用正、余弦定理求解.
(2)几何中的角度问题
将所求的角度放在一个或几何三角形中，利用正、余弦定理求解.
(3)几何中的面积问题
把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形面积公式求解.
常用的面积公式有
【点评】在三角形中求长度或角度，若利用平面几何的方法，通过添加辅助线，利用几何性质等求解，通常比较麻烦，若应用三角公式，借助正弦定理、余弦定理可以减少辅助线的添加，是几何计算中的常用方法.
3.实际问题中的几何计算
在运用正、余弦定理解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，要明确它的哪些元素是已知的,哪些元素是未知的，应该选用正弦定理还是余弦定理进行求解.利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤为：
(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理解量与量之间的关系;
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型;
(3)利用正弦定理和余弦定理求解;
(4)将三角形的解还原为实际问题，注意单位与近似计算的要求.
例3 P41 原例6
思维探究提升
4.三角形中的最值问题
三角形中的最值问题一般有求最大(小)角、边、周长、面积等,按其求解方法,我们可把这类问题分为以下几类:
(1)利用三角对大边(大边对大角定理)求最值
(2)构造三角函数求最值
利用正、余弦定理将所求量
表
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示成关于某个角的三角函数，将问题转化为求三角函数的最值，这是解决三角形中的最值问题所使用最多的方法.
(3)利用余弦定理，构造二次函数求最值
例5(改编)某建筑工地上,一工人从废料堆中找到了一块扇形薄钢板,其半径为R,中心角为60°.该工人决定将此废钢板再利用,从中截一块内接矩形小钢板备用,问:他应怎样截取,会使截出的小钢板面积最大?
解析:
(1)在图①中,在
上取一点
，过
作
于
，过
作
交
于
，再过
作
于
.
设
，
.在
中，
由正弦定理，得
.∴
.
于是
.
当
即
时，
取得最大值
.
（2）在图②中，取
中点
，连结
，在
上取一点
，过
作
交
于
，过
作
交
于
，过
作
交
于
，连结
得矩形
，设
，则
.
在
中，由正弦定理得：
，
∴
.
∴
（当
时取“
”）.
∴当
时，
取得最大值
.
∵
，
∴作
，按图①划线所截得的矩形小钢板面积最大.
【点评】此题属于探索性问题，需要我们自己寻求参数，建立目标函数，这需要有扎实的基本功，在平时学习中要有意识训练这方面的能力.
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