2011江苏省南京市高三数学二轮专题复习：数列

2011江苏省南京市高三数学二轮专题复习：数列 豆丁文档--教育资源 数列二轮复习建议 一、 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 地位与考查要求 (一)数列地位 数列是刻画离散现象的数学模型，数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值具有重要的意义，是高中代数的重要内容之一.在高考中承载着对 高中数学 高中数学选修全套教案浅谈高中数学教学策略高中数学解析几何题型高中数学10种解题方法高中数学必修4知识点 抽象概括能力、运算能力、建模能力、类比与化归能力等多种数学能力的考察.因此，在历届高考中，数列作为必考题，其难度属于中、高档难度. (二)考查动向 在2009年全国十九套高考 试卷 云南省高中会考试卷哪里下载南京英语小升初试卷下载电路下试卷下载上海试卷下载口算试卷下载 中，十四套试卷出现一个小题，两套试卷各出现两个小题;十五套试卷数列出现在解答题中，其中十套试卷数列出现在压轴题，三套试卷数列出现在解答题倒数第三题，两套试卷数列出现在解答题倒数第四题.2010年全国二十套高考试卷中，十一套试卷出现一个小题，四套试卷出现两个小题;十五套试卷数列在解答题中出现，其中五套试卷数列出现在压轴题，四套试卷数列出现在倒数第二题，其余出现在解答题第一题或第二题. 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 近两年数列高考题出现的频率和位次，发现数列解答题出现的题号向前移动，难度有所下降，部分省份如福建、辽宁、广东、浙江已连续两年没有出现数列解答题.但江苏这两年每年数列均出现一填空题和一解答题，解答题由易变难，这可能与江苏《考试说明》中的考查要求有关. 内容 要求 A B C ? 数列有关概念 数 列 ? 等差数列 ? 等比数列 不难发现，江苏将等差等比数列定位C级要求，即系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题，因此数列是江苏数学高考的一个重要的内容.而全国各套试卷中数列又为必考题，题型在常规中出现变化，在注重基本能力考察的同时，又注重探究创新能力的考察.如果出现在客观题中，一般考察两种常见题型:1、等差等比数列求项求和等问题，主要涉及基本量思想;2、数列的探索性问题，如周期数列、分形等.如果数列出现在解答题的前几题中，往往考察等差等比数列的求项求和，运用累加、累乘法的简单递推豆丁文档--教育资源 豆丁文档--教育资源 数列的求项求和问题，主要考察学生的运算能力.如果数列问题出现在最后一两题，则是综合性很强的问题，大多以数列为考查平台，综合运用函数、方程、不等式、简单数论等知识，通过运用递推、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法，考查学生灵活运用数学知识分析问题、解决问题的能力和数学探索创新的能力. 二、基本题型与基本策略 基本题型一:运用基本量思想解决等差、等比数列的求项求和问题 例1.(1)在等差数列{ a }中，a，a,30，a，a,120，则a，a, . n123456 ,30，a，a,120，说明:这是一道典型的运用基本量思想求数列和的问题，根据a，a1234可以列出关于的方程两个二元一次方程方程，通过加减消元或带入消元接出的ad和ad和11值;同时注意到个方程数列项下标特征，根据等差数列的性质，aaaaaa，,，,2,2153264 得到a，a,=210. 2()()aaaa，,，563412 变式:(2010全国卷?理科数学4)已知各项均为正数的等比数列中，=5，{}aaaan123 =10，则 aaaaaa,________.789456 说明:表面看这是一道可以用基本量思想解决的问题，但在实际操作过程中发现，使用基本量列出方程组计算量较大，要得到结果还需借助指数幂的运算性质，易出错.如果仔细 222观察已知条件与所求结论的关系，不难发现，，，运用等aaa,aaa,aaa,417528639比数列的性质可以很快得到选择恰当的方法有时可以大大简化我们的计算，aaa,52.456 为考试赢得宝贵的时间，而恰当方法的选择，借助于我们认真审题和知识的融会贯通. (2)等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和aa,10aaa，，a,,,,n43610n ( S20 说明:这也是一道典型的运用基本量思想求数列和的问题，同时也是一道简单地将等差数列和等比数列组合在一起的问题，通过和成等比数列可以直接列出两a,10aaa，，43610 ad，,310,1个关于基本量ad和的方程组:，此方程组是由一个二元,12(5)(2)(9)adadad，,，，111, 一次与一个二元二次方程组合而成，宜采先化简再带入消元法的方法求解，第二个方程可化 2简为，学生特别容易将d直接消去，导致漏解的错误.最终结果=200或330.Sadd,7201 豆丁文档--教育资源 豆丁文档--教育资源 此种题型方法常规，思路明确，计算量适中，常常出现在填空题的前六题或解答题的前两题，属容易题. 例2. 已知数列{a}的通项公式a=9-2n，则| a|+| a|+…+| a|= ( nn1220 说明:这是一道利用等差数列基本量求分段数列和的问题.关键是引导学生正确写出分 92(4),,nn,*段数列的通项公式，分段的依据是|9-2n|=0，利用分段通项anN,,(),n29(5)nn,,, 2,,，,nnn8(4),*公式分段求和得|a|+|a|+…+|a|=.此题不仅考察学生的()nN,1220,2nnn,，,832(5),, 基本运算能力，也考察了学生分段函数、含绝对值表达式的处理方法. 例3.(2010浙江理科数学卷15)设为实数，首项为，公差为d的等差数列{}ad,aa11n的前n项和为，满足+15=0，则d的取值范围是__________. SSS,n56 说明:直接运用基本量列出关于方程，在列式时ad和(10)(615)150adad，，，,111 注意等差数列求和公式的选择，由于此题中涉及的两个基本量是，所以可以选择用ad和1 22表示的求和公式，从而化简得，结合二次函数方程有解判ad和291010adad，，，,111 2别式大于等于零的性质，得这是一道将数列基本量,,,,,,,ddd80,2222.即或 思想与二次方程知识有机结合的问题，不仅考查学生的计算能力，同时还考查了知识的迁移与转化能力. 基本策略:等差、等比数列是两类最基本的数列，它们的通项公式、前n项和的公式中均含有两个基本量，因此数通过基本量思想求解等差等比的通项和前n项和是高考考查的重点也是热点.在运用基本量思想解决问题时，要注意以下两个方面:1、基本两思想在解决问题时比较程序化，认真审题选择恰当的方法是关键，有两个性质有时可以简化我们的计算(在 *等差数列中，若则aaaa，,，在等比数列中若mnpqmnpqN，,，,(,,,),mnpq *则aaaa,,,);2、在计算过程中注意观察表达式的特mnpqmnpqN，,，,(,,,),mnpq 征，灵活地运用计算方法(在等差数列求和的问题中，首先是确定通项，选择恰当的求和公式，在等比数列求和中要注意q =1的情况单独讨论. 基本题型二:递推数列的求项求和问题 豆丁文档--教育资源 豆丁文档--教育资源 例4. 设数列{a}的前n项和为S，已知a=5S,3 (n?N)，求a+a+…+a的值( , n nn n 1 3 2 n1 说明:在表达式中同时出现a和S时，我们通常采用的方法是运用公式n n Sn(1),,1，将表达式转化为都关于a或S的式子，然后再进行求解.因此，a,n n,nSSn,,(2),nn1, 此题表达式可变形为，即，所以为等比数列，aaSS,,,5()aaa,,5a,,nnnn,,11nnnn,1 求和问题迎刃而解. n,1例5.(2010新课标全国理科卷17)设数列满足，. aa,2aa,,，32,,n1nn，1(1)求数列的通项公式; a,,n (2)令，求数列的前n项和. bbna,S,,nnnn 说明:此题为解答题的第一题，是一道典型的运用递推数列性质求项求和的问题，第一问用到我们熟知的累加法求通项，即 nn,,230 aaaaaaaa,,，,，，,，,，，，，，，，3232322nnnnn,,,112211 n,1n,1;第二问中，则采用分组求和的方法求和，在分组求bnann,,，,32,，,321nn 和中的第一个分组则采用错位相减法求和，此题主要考察学生对基本方法的熟悉程度.使用累加法求通项的递推形式为，使用累乘法求通项的递推形式为a,a,f(n)n，1n ann，1，使用错位相减法求和的通项公式为. canbqaq,，,,,()(0,0,1),f(n)nan 的通项为例6. 设数列{a}满足a,1，a,2a，1(n?N)，则数列a，，,,n1n1nn_______________. 说明:这个递推通项满足的递推形式，通常可以采(0,1,0)ccd,,,acad,，nn，1 用待定系数法构造新数列，如等式两边同时加上1得到a+1,2(a，1)，新数列{a，1}，n1nn为首相为2，公比为2的等比数列，从而得到数列{a，1}的通项公式，自然得到数列{a}的nn通项.这种递推形式是较为常见的递推形式.但作为一道数列填空题，我们有时也可采用特殊值法进行简单的推导得到通项，如此题通过递推公式很快可以得到a,3，a,7，a,31，234 n2,1因此，我们可以猜想a,，再代入验证.这种由特殊到一般的推理方法对于数列的填n 空题有时也很奏效. 豆丁文档--教育资源 豆丁文档--教育资源 n*例7.(2007全国数学?文科19)在数列中，，( a,1aaa,，22,,n1，1nn an(?)设(证明:数列是等差数列;(?)求数列的前项和( baS,nb,,,,nnnn,1n2 说明:这也是一道典型的运用递推数列性质求项求和的问题，递推公式往往形式多样，而通过适当地变形转会为等差等比数列是常用的一个手段，直接转化难度较大，而第一问中 annn的给了我们一些暗示，是否两边同时除以就可以构造成一个新2,aa,，22b，1nnn,1n2 的等差数列呢,通过猜想、探索很快验证了我们的想法是正确的.通常我们遇到的运用构造新数列方法求递推数列的通项还有其它形式，如 (可采用amaaam，，,,0(0)nnnn，，11 两边同除以构造为等差数列)，(可使用待定系a,aacad,，(0,1ccd,,,,0)n，1nnn，1 数法变形为的形式，构造为等比数列)，a，,,c(a，,)n，1n nn(两边同除以后再使用待定系数法构造为等(0,1,0,)ccdbc,,,,acadb,,，,bnn,1 比数列)(在第二问中，则出现了使用错位相减法求和的常见模型. 基本策略:一般数列的求项求和问题大多以递推通项为背景，通过常见的公式、累加、累乘、构造等方法对递推公式进行变形，最终转化为我们熟知的等差、等比数列的定义式进行求解，有时候在构造过程中我们会用到多种构造方法，但最值的目的还是将未知的数列转化为我们已知的数列进行求解.对于理科的学生可以通过列举前几项，猜想通项公式，运用数学归纳法证明的方式求解通项.求递推数列通项是数学中化归思想的重要体现，对学生的能力要求较高，是历年高考中的热点与难点.复习时建议不同层次的学校根据学生特点进行复习，几种基本的递推模型人人掌握，对于变形巧妙，难度较大的问题，讲解时可预设台阶或视学生情况选讲. 基本题型三:数列与不等式、函数与方程等知识的综合问题 ,,,,例8. 数列a是等比数列，,8，设()，如果数列的前7b,loganN,bann2nn1， ,,,,,项和是它的前n项和组成的数列S的最大值，且，求a的公比q的取值范SSSnn778 围( 说明:这是一道较为简单的数列与函数、不等式结合的问题，解题步骤如下: 因为{}为等比数列，设公比为q,由 aa,8n1 n,1n,1则， aq,,8bqnq,,,,，log(8)(1)log3nn22 豆丁文档--教育资源 豆丁文档--教育资源 s,ss?{}为首项是3，公差为的等差数列;由最大，且 blogq787n2 ssbsbb,，,，，s,s,s? ? 678667678 36log0，,q2,37log0，,q?且 ? 0,bb,0278 317,,1321672? ? 即 22,,q,,,,logq,,q22722 从解题的过程可以看出此题运用到对数运算性质、简单对数不等式的解法，数列在题中作为问题的载体，仅用到基本的等差等比通项知识. 例9.已知数列{a}满足，a，a,4n,3(n?N*)( nn+1n (1)若数列{a}是等差数列，求a的值; n1 }的前n项和S; (2)当a,2时，求数列{a1nn 22a，a，nn1(3)若对任意n?N*，都有?4成立，求a的取值范围( 1a，a，nn1 说明:这是南京市2011届高三学情分析考试中的压轴题，题目涵盖了数列中的常见思想方法，如第一问运用基本量思想，第二问题分奇偶化归为等差数列求和，第三问是与不等式、函数相结合的恒成立问题.较为全面地考察了学生分析解决问题的能力. 在第二问中，分奇偶讨论通项是求和的前提，而为什么要分奇偶讨论通项是学生理解的一个难点，由已知a，a,4n,3(n?N*)，得a，a,4n，1(n?N*)，两式相减，得，，，n1nn2n1 a,a,4，这个表达式是数列的隔项递推公式，也就说明此数列隔一项具备等差数列的，n2n 形式，那数列中隔项项的下标特点即是奇偶分类，因此，想到分奇偶讨论通项就理所当然.而有些学生可能避开分奇偶讨论通项而直接求和也是很好的，因为已知a，a,4n,3(n，n1n?N*)，这个表达式传递给我们连续两项的和组成一个新的数列，而这个数列是我们熟知的等差数列这一信息，求和非常方便，但在计算的过程中很容易发现求和时项数还是要分奇偶讨论. 当n为奇数时， S,a，a，a，…，a,(a，a)，(a，a)，…，(a，a)，a ,,n123n1234n2n1n ,1，9，…，(4n,11)，2n n,1×(1，4n,11)2,，2n 2 豆丁文档--教育资源 豆丁文档--教育资源 22n,3n，5,((在组合过程中将单独提出可能更为简单，不需要求解通项) a12 当n为偶数时， S,a，a，a，…，a,(a，a)，(a，a)，…，(a，a) ,n123n1234n1n,1，9，…，(4n,7) 22n,3n,( 2 第三问是不等式的恒成立问题，由第二问的提示，处理第三问的前提是找到数列的通 项，即 ,2n,2，a，n为奇数，1,a, n2n,3,a，n为偶数(,1 ?当n为奇数时， 22a，a，nn122?4即为2a,2a，5?,8n，28n,12， 11a，a，nn1 72522令f (n),,8n，28n,12,,8(n,)，， 42 1，71,72当n,1时，f (n),8，所以2a,2a，5?8，解得a?或a?. max111122?当n为偶数时，a,2n,a,3，a,2n，a， ，n1n11 22a，a，nn122?4即为2a，6a，9?,8n，28n,12， 11a，a，nn1 72522令f (n),,8n，28n,12,,8(n,)，， 42 12当n,2时，f (n),12，所以2a，6a，9?12，解得a?或a?,3( max11112 1，7综上，a的取值范围是a?或a?,3( 1112 3a3n*例10((2008陕西卷理科数学22)已知数列的首项，，{}a,a,an1，1n5，21an ( n,12，， (?)求的通项公式; {}an 112,,ax?,,(?)证明:对任意的，，; x,0n,12，，n,,2n，，xx1(1)3,, 2n(?)证明:( aaa，，，,n121n， 说明:这是一道高考压轴题，虽然难度大，但第一问还是常规递推数列求通项问题，寻 豆丁文档--教育资源 豆丁文档--教育资源 3an找正确的数列通项公式是解决此类问题的前提，这个表达式可以两边直接取,a，1n，21an 1112倒数，变形为的形式，而这种形式正是我们前面提及的,,，a3a3n，1n 形式，可使用待定系数法变形为的(0,1,0)ccd,,,acad,，a，,,c(a，,)n，1nnn，1 n3111形式，构造为等比数列的形式，从而求得,.此种构造法属a,1,(,1)nnaa3，23n，1n 二次变形构造，第一次先变形为我们熟知的可以使用构造法解决通项的数列递推形式，第二次则变形为我们熟知的等差等比数列模型求解通项，属于难度较大的递推数列求通项问题. 后两问是数列与函数、不等式的证明融合一体的综合问题.从第二问的提法中我们可以感知这是个函数与数列结合的恒成立问题，对于不等式的右边进行变形，分离变量求最值是我们通常的手段，但在变形过程中我们发现无法将n与x分离，而不等式右边含有n的表达式与又有着密切的关系，自然想到如下变形方式:, an 由于则原命题成立. a,0,n 在此问中，既然涉及到函数求最值的问题，我们也可以直接将不等式右边看做关于x的一个函数，对其进行求导求最值. 第三问是数列求和与不等式证明相结合的问题，通常处理方法有以下两种:(1)能直接求和的先直接求和，将所求和的表达式与要证明的式子进行做差或对比证明;(2)将求和的数列通项进行有效放缩，使之变为能够求和的通项进行求和. 本题显然不适用(1)，因为an的通项不宜直接求和，因此放缩通项使我们的首选，而放缩的形式非常丰富，如 n322，很好的一个放缩形式，求和也十分方便，但是整理后a,,1,,1,nnnn3，23，23 豆丁文档--教育资源 豆丁文档--教育资源 1得，这比我们所要求的结果略小，说明放过了.此时我们有两a，a，？，a,n,1，12nn3 个思路，一是对放缩的式子进行微调，使之符合我们的要求，如果行不通我们可以再次审题，发现第二问的结论为我们放缩提供了条件，即 . 1n1,()nnx3,，,221，x(1，x)(1，x) nnx1,，,221，x(1，x)(1，x) 2nnx1n1若关于x的方程有解，，则符合对任意的，,,x,,0221，xn，1n(1，x)(1，x) 2112n,,，这种放缩形式，此时结论成ax?,,x,0aaa，，，,nn,,122n1，，xx1(1)3n，,, 立. 在解决数列中的不等式问题时，有时直接使用不等式的知识求解，有时则需用到裂项法、放缩法进行数列求和，有时还会运用函数的单调性、函数的最值等知识进行判断求解，教师在讲解此类问题是尽量避免技巧性过强的放缩类问题，可根据学生情况对原题进行改编，降低难度. 基本策略:数列与函数、不等式都是高中数学重要内容，一些常见的解题技巧和思想方法在数列与函数、不等式的综合问题中都得到了比较充分的体现(以其知识交汇处为主干，构筑成知识网络型代数推理题，在高考中出现的频率高、难度大(学生遇到此类问题一般具有为难情绪，因此，建议复习时从入口低的问题入手，让学生找到解决此类问题的基本途径，建议能力稍弱的学生遇到此类问题不必强求. 基本题型四:数列的探索型、开放型问题 豆丁文档--教育资源 豆丁文档--教育资源 12321,,,,,nnn,, ,,23411,,,,nn,, ,,例11.(2010上海理科10)在行列矩阵中，34512,,,nnn ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,nnnn12321,,,,,,,, 记位于第行第列的数为。当时，jaijn(,1,2,),,,,n,9iij . aaaa，，，,,,，,11223399 说明:这是一道新定义数阵问题，学生应该不陌生，一般的处理方法是从特殊到一般寻找规律.由于此题所涉及数据情况较少，所以完全可以采用枚举法，逐行写出各项1,3,5,7,9,2,4,6,8，直接求和得45，属中档题.如果学生情况较好还可以在此基础上进行改编， n 如求. a,iii,1 *例12.(08江苏卷19)(?)设是各项均不为零的等差数列()，aaa,,,n,412n 且公差， d,0 a1(1)若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列:?当n = 4时，求d的数值;?求的所有可能值; n (2)求证:对于一个给定的正整数n(n?4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列 ，其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列( bbb,,,12n 说明:课程改革突出强调培养学生的探究、发现和创造能力，近几年江苏卷中的数列题较好地体现了这种思想( 此题第一问属于简单探索型问题，在项数比较少时，逐个检验是一种可行的方法，当然，加以理论分析，可以提高我们的运算速度.如当n=4时, 中不可能删去首项或末aaaa,,,1234 项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0. a221,,4 若删去，则，即化简得，得 aaaa,,(2)(3)adaad，,,，ad，,4021314111d a221,1若删去，则，即化简得，得 aaaa,,()(3)adaad，,,，ad,,031214111d aa11,,4,1综上，得或. dd 接着求的所有可能值，这时我们依然可以尝试n取几个特殊值，但不能无限制尝试下n 豆丁文档--教育资源 豆丁文档--教育资源 去，在刚刚n=4的探索过程中我们已经找到规律，即新构成的等比数列中不能出现原等差数列中的连续三项.因此 当n=5时, 中同样不可能删去，否则出现连续三项. aaaaa,,,,aaaa,,,123451245 2若删去，则，即化简得，因aaaaa,,,aadadad(4)()(3)，,，,，30d,315241111 为，所以不能删去; ad,03 当n?6时，不存在这样的等差数列.事实上，在数列中，由于aaaaaa,,,,,,12321nnn,,不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾;同样若删去aaaaa,,,ad,02132nn,n,1也有，这与矛盾;若删去中任意一个，则必有aaaa,,,aa,,d,0132nn,32n, ，这与矛盾.(或者说:当n?6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有aaaa,,,d,0121nn, 连续的三项) . 综上所述，n,4 第二问是个存在性命题的证明，一般的处理方法是假设存在，进行推理.这种方法大部分学生都能掌握，而难点在于假设存在后列出等式如何推出矛盾，这道题用到了数论中的一些知识. 假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中b,b,......b12n 2()为任意三项成等比数列，则，即bbb,,01,,,,,xyznbbb,,xyz，，，111，，，yxz111 222，化简得 (*) ()()()bydbxdbzd，,，,，()(2)yxzdxzybd,,，,1111 2由知，与同时为0或同时不为0 bd,0xzy，,2yxz,1 2当与同时为0时，有与题设矛盾. xzy，,2xyz,,yxz, 2byxz,21,故与同时不为0，所以由(*)得 xzy，,2yxz,dxzy，,2 b1因为，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数. 01,,,,,xyznd b1于是，对于任意的正整数n(n,4)，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列. d 1(1)2，,n例如n项数列1，，，……，满足要求. 12，122， 基本策略:探索型开放型的问题是新课改后高考中的一个热点，此类数列题型在高考中具备以下两个特点:1、解答题常常以探索存在性的提法出现，往往结合数论中整数方程、奇偶性的基本性质进行求解;2、填空题中的探索型开放型问题往往和数阵、新定义、分形、周期性等相结合，需要学生在理解题意的基础上不断地尝试探索，往往是从特殊到一般寻找豆丁文档--教育资源 豆丁文档--教育资源 规律，会使用到列举法，特殊值法，代入验证等方法.总之我们必须仔细审题，合情推理，恰当转化，透过现象看本质.此类问题充分考察了学生阅读与理解、探索与化归的能力，试题有易有难. 豆丁文档--教育资源 豆丁文档--教育资源 三、本单元二轮专题和课时建议 专题 内容说明 注意事项 软件开发合同注意事项软件销售合同注意事项电梯维保合同注意事项软件销售合同注意事项员工离职注意事项 注重培养学生的 等差等比数列求项重点侧重于基本量思想的运用， 第一课时 运算能力，以填 求和 结合等差等比数列的基本性质 空题训练为主 培养学生表达式 重点侧重于几个常见的递推模的变形与转化和 递推数列的求通项 第二课时 型及几个常用的求和方法，如分字母运算的能 与求和 组求和法，裂项法，错位相减法 力，以解答题训 练为主 数列与函数、方程、简单的运用函数、不等式等知识 第三课时 不等式的综合运用求解数列的表达式、单调性、比 知识的迁移与综 (一) 较大小等问题 合运用能力，以 数列与函数、方程、数列与函数、不等式的综合运 综合性解答题训第四课时 不等式的综合运用用，适当加大难度(根据学生情 练为主 (二) 况选讲) 知识与方法的灵 多种题型呈现:数阵、周期数列、活运用，填空题第五课时 探索型、开放型问题 分形、存在性问题等 与解答题均可出 现 豆丁文档--教育资源