志英杯备考-2012年全国初中数学竞赛试题(含答案)

中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年 全国初中数学竞赛 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分） （第1题图） 1．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式 可以化简为（    ）． （A）2c－a      （B）2a－2b      （C） －a        （D）a 2．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y = （b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（    ）． （A）（2，3）  （B）（3，－2）  （C）（－2，3） （D）（3，2） 3．如果 为给定的实数，且 ，那么 这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（    ）． （A）1      （B）       （C）         （D） 4．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（    ）． （A）1        （B）2        （C）3        （D）4 5．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为 ，则 中最大的是（    ）． （A）       （B）       （C）         （D） 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是          . （第7题图） （第6题图） 7．如图，正方形ABCD的边长为2 ，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是          . 8．如果关于x的方程x2+kx+ k2－3k+ = 0的两个实数根分别为 ， ，那么 的值为          ． 9．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为        . 10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E.  作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F.  若AE = AO，BC = 6，则CF的长为        . （第10题图） 三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11．已知二次函数 ，当 时，恒有 ；关于x的方程 的两个实数根的倒数和小于 ．求 的取值范围． 12．如图，⊙O的直径为 ，⊙O 1过点 ，且与⊙O内切于点 ． 为⊙O上的点， 与⊙O 1交于点 ，且 ．点 在 上，且 ，BE的延长线与⊙O 1交于点 ，求证：△BOC∽△ ． （第12题图） 13．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值. 14．求所有正整数n，使得存在正整数 ，满足 ，且 . 中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年 全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题 1．C    2．D  3．D  4．D 4、解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元， 均为非负整数. 由题设可得 消去x得                (2y－7)n = y+4， 2n = . 因为 为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7． 5．D 解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以 ，因此 最大． 二、填空题 6．7＜x≤19 解：前四次操作的结果分别为 3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80. 由已知得      27x－26≤487， 81x－80＞487.      解得  7＜x≤19. 7．8 解：连接DF，记正方形 的边长为2 . 由题设易知△ ∽△ ，所以 ， 由此得 ，所以 . 在Rt△ABF中，因为 ，所以 （第7题） ， 于是            . 由题设可知△ADE≌△BAF，所以 ， . 于是        ， ， .  又 ，所以 . 因为 ，所以 . 8． 解：根据题意，关于x的方程有 =k2－4 ≥0， 由此得                          (k－3)2≤0．  又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+ =0，解得x1=x2= . 故 = = ． 9．8 解：设平局数为 ，胜（负）局数为 ，由题设知 ， 由此得0≤b≤43. 又 ，所以 . 于是 0≤ ≤43， 87≤ ≤130， 由此得 ，或 . 当 时， ；当 时， ， ，不合题设. 故 ． 10． 解：如图，连接AC，BD，OD. 由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. （第10题） 依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，所以  ∠BCF =∠BAD, 所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此 . 因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC， 于是 . 因此 . 由△ ∽△ ，知 ．因为 ， 所以 ，BA= AD ，故  . 三、解答题 11．解： 因为当 时，恒有 ，所以 ， 即 ，所以 ．        ………（5分） 当 时， ≤ ；当 时， ≤ ，即 ≤ ， 且    ≤ ，解得 ≤ ．                  ………（10分） 设方程 的两个实数根分别为 ，由一元二次方程根与系数的关系得 ． 因为 ，所以 ， 解得 ，或 ．因此 ．    …………（20分） （第12题） 12． 证明：连接BD，因为 为 的直径，所以 ．又因为 ，所以△CBE是等腰三角形． …………（5分） 设 与 交于点 ，连接OM，则 ．又因为 ，所以 ．        …………（15分） 又因为 分别是等腰△ ，等腰△ 的顶角，所以△BOC∽△ ．………（20分） 13．解：设a－b = m（m是素数），ab = n2（n是正整数）. 因为        (a+b)2－4ab = (a－b)2， 所以          (2a－m)2－4n2 = m2， (2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2.    ………（5分） 因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m为素数)，所以 2a－m+2n m 2，2a－m－2n 1. 解得              a ， . 于是              = a－m .          …………（10分） 又a≥2012，即 ≥2012. 又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥ =2025. 当 时， ， ， . 因此，a的最小值为2025.                        …………（20分） 14．解：由于 都是正整数，且 ，所以 ≥1， ≥2，…， ≥2012． 于是  ≤ ．…………（10分） 当 时，令 ，则 .…………（15分） 当 时，其中 ≤ ≤ ，令 ，则  ． 综上，满足条件的所有正整数n为 ．  …………（20分）