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p_进Haar正交函数系与p_进Franklin正交函数系p_进Haar正交函数系与p_进Franklin正交函数系 2进 正交函数系与p H aa r 2进 正交函数系p F ran k lin 柴伯琪 ( )无锡轻工大学数理学科部, 无锡 214036 摘要 引入了 2进 函数系和 2进 函数系, 证明了它们都是0, 1 上p H aa r p F ran k lin () 完备的标准正交系, 而且是空间 0, 1 的广义基。C Sch au de r 关键词 2进 函数系; 完备的标准正交系; 连续模; 基; 2进有理区 p H aa r Sch au ...

p_进Haar正交函数系与p_进Franklin正交函数系
p_进Haar正交 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 系与p_进Franklin正交函数系 2进 正交函数系与p H aa r 2进 正交函数系p F ran k lin 柴伯琪 ( )无锡轻工大学数理学科部, 无锡 214036 摘要 引入了 2进 函数系和 2进 函数系, 证明了它们都是0, 1 上p H aa r p F ran k lin () 完备的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正交系, 而且是空间 0, 1 的广义基。C Sch au de r 关键词 2进 函数系; 完备的标准正交系; 连续模; 基; 2进有理区 p H aa r Sch au de r p 间; 2进 函数系p F ran k lin 分类号 ƒ174. 21174. 41O O 1 2进 正交函数系的定义p H aa r n n + 1 0 0 设正整数 p ?3, 自然数 n 0 满足 2?p < 2. 置 n n 00 p - 22 , 0?t >, 1 rn 0 n 1 对区间p n n n 0 1 r ) ( > ?2, 使得 - 2+ 2+ + 2?3. 则对于正整数?1, 我们置n r p m m + 1 nnnnnnn- 1 0 s0 1 s+ 1 0 s+ 1()2+ + 2p p - 2- 2- - 22+ + 2< t< ,nnnm + 1 m s+ 1 0 s () p - 2 2- - 2p p () p nn ( ) () x 0 + + 2s + 1 t=1m , 2 m + 1nnn- 1s+ 10 s+ 1p ?2 2 + + 2 1 - , < t< nnnnm + 1 m0 s 0 s+ 1 () () p - 2- - 2p - 2- - 2p p () p n n i ( )0 s m , 2 + + 2 + 2 + j t =x nnn- i- 10 s s+ 1m + 1nnn- i- 1 () 2+ + 2+ 2 j - 1?2 0 s s+ 1 )( ) p 2+ + 2+ 2 j - 1?2m + 1< t<,m + 1 n- i p s+ 1 p 2 ()2m + 1 nnn- i- 1 nnn- i0 ss+ 1 0s s+ 1 ( ) ) pj j - 1?2 2 + + 2 + ?2 2 + + 2 + 2 - , < t< n- im + 1m + 1s+ 1 2 p p 0 0, 1 的其它点 i 其中 = 0, 1, , - 1, = 1, 2, , 2; = 0, 1, , - 1.in s+ 1 j sr nn 0 r (() 当 2+ + 2= 时, 由于少了一个正、负值不对称的函数 即1式当 = - 1 时的这 p sr (p ) ) () ( )个函数, 故2式的最后一个函数为 .x m , p - 1 t nn 0 r 若 2+ + 2= - 2, 则应添入一项p m + 1 m + 1 m + 1() () p ƒ2 , p - 2ƒp < t< p - 1ƒp () p m + 1 m + 1 m( ) ()=3 x - 1 t m , p () - p ƒ2, p - 1ƒp < t< 1ƒp 0 0, 1 中的其它点nn 0 r 如果 2+ + 2= - 3, 则应添入如下两项:p m + 1m + 1 p - 3p - 1p - 3p - 2p p < t<< t< , , m + 1 m + 1 m + 1 m + 1 p p p p 6 2 () () p p ( ) ( ) ()x m , p - 2 t=, x m , p - 1 t=4m + 1m + 1p p - 1p p - 2 p - 11 - 2 , < t< - , < t< m + 1 mm + 1 m6 2 p p p p 0 0, 1 中的其它点0 0, 1 中的其它点 最后, 置 k ) ((p )p m( ) ()t+x m , k (p - 1) + l t= x m , l , = 0, 1, , - 1; l= 1, 2, , p - 1 5 k pm p ()p ( ) 其中当 | 0, 1 时, 规定 tx m , l t = 0. 在上述定义中所说的0, 1 中的其它点, 不包括已有定义的两个 2进有理区间的两个p ()p ( ) 或 3 个端点。这些端点是 的间断点。在间断点处, 取它的左、右极限的算术平均值作m , k x t ()p ( ) 为函数值。 另外, 定义应满足条件: x m , k t 在 t= 0 为右连续, 在 t= 1 为左连续。 ()()p m m p ( ) () 若令 = + , = 1, 2, , - 1, = 0, 1, 2, , 则函数系{n t }可简记为{x n p k k p p m x m , k 1 ? ( ) ( )} . , 并称它为 2进 函数系。 当 = 2 时, 它就是经典的 函数系{t}n= 1 n tp H aa r p H aa r x () p ( ) }的完备正交性和逼近定理2 函数{n x t (p )? ( ) 定理 1 2进 函数系{}是0, 1 上完备的标准正交系。p H aa r x n t n=1 证 由定义易知 1 1, 当 i= j( ) ( ) = =x i tx j td t?i j (), 、= 1, 2, 6ij ?0 , i?j ()()p p 0 ( ) 设有 f t?L 0, 1 , 使得 1()p ( ) ( ) ()f tx td t= 0, n = 1, 2, 3 7n 0 ? 置 t ( ) () = , 0??1.F tf sdst ?0 m j ( )= 0 = 0, 1, , , = 0, 1, . 由于 j p m F ( ) 7式及 2进 函数系的定义, 易知 由 m p H aa r F p j( ) ()是0, 1 上的稠密集, 故 ?0 0??1. 再由不定积分的导数定 F tt ( ) t是连续函数, mp 2 ( ) ( ) () 理知, 几乎处处有 = ′= 0 0??1. 证毕。f tF tt ()()q p p 12) (( ) ( ) () 如果 = 整数 ?2, 则函数系{p 1 p 2 qx n t }与{x n t }是相同的, 仅排列次序有 (p )3 ( ) , 也可取为它在 点所不同。 又, 在间断点 左、右极限的某种“加权平均”.n t0 t0 x t0 ()()H , p p ( ) ( ) ( ) ( ) 定理 2 设 ?0, 1 , 以 , 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 ft 关于标准正交系{x t }展开的 Fo u r ie rn n f tf tC S () ( ) 级数的 n 次部分和, Ξf , ?是 f t的连续模, 则成立着估计式: 1()p H , () )( 8 ( ) , | ?2f , , = 1, 2, 3, . - f t n |n p Ξ m ax f tS 0?t?1 n 1(p ) ( ) ( ) 证 设 a n = f tx n td t, n = 1, 2, 3, . 则 ?0 n 1 ()H , p (p ) (p ) ( ) ( ) () ()() , 9, = K n tsf sds = a j x j tS n f t6 j = 1? 0n ())()(p p p ( ) ( ) () 其中 , = 称为 次核。K n ts6x j tx j sn D ir ich le t j = 1 ()p 1m + 1( ) , 的取值分布, 与 = 2 时的取值分布 类似, 结论如下: 当 = 时, 将单 核 n tsp n pK ()m + 1 2 p ( ), 位正方形n 0, 1; 0, 1 分成边长为 1ƒ的 个小正方形。只在位于对角线 = 上tsp n K ts m + 1 m + 1 m 的 个小正方形上等于 , 在它们的边界上取值 2, 其余的地方都取零值。如果 <ƒn p p p m + 1 m m ()p (j - 1) < , 设 = + - 1+ , 0??- 1, 1??- 2. 则 n p n p k p lk p lp K )( , ts n 在正方形< , ts m + 1 p j j - 1 j m m + 1() () < 1??内时取值为 ; 在正方形< , < + 2??内时取值j kp p tsk j p m + 1m m p p p k k + 1 m 2 ( ) 为 ; 而中间那个正方形 < , < , 需将它再分解为边长不等的 + 1个小正方形,p tslm mp p ()p ( ) K n t, s只在位于对角线上的 l+ 1 个正方形内时才不等于 0 而等于其边长的倒数, 在边界 上, 则取它在相邻两个正方形内的值之算术平均, 至于对角线上那 + 1 个小正方形的位置l 1()p (p ) ( ) 和边长, 是与定义中 ( ) 的分法相对应的。 例如当 = 1 时, 分为m , p x 到 关于 0, lm , 1 t x - 1 tm p n 0 2n 0 2k + 1 k k k < , <+两个小正方形; 当 = 2 时, 前一个小正方形又和+< , 1. 所以 n 1 1()()()p p p ( ) () ( ) (), = ?1, 0??1, = 1, 2, . 10K n tsds6x i sds x i ttn = 1 ?i ?0 0 () () 由9, 10两式得 1 () ()H , p p ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) f t- S n f , t?n t, sf t - f s ds 11K ?0 () m + 1 p ( ) 若 = , 则由对 , n p K ts的取值分析知n k m + 1 m + 1 当 ?d s t 1 ? ?- 1p , 1 k p m + 1 ?Ξ f , ?p I m + 1m + 1p p m + 1p (H , p ) 2 km + 1 ( ) () f , t?f t- S n ?, 1??- 1f ,当 = d sk p Ξ tm + 1m + 1 ?p + 1 + I + 1 2 p ()()1 2 I m m pp m + 1 1 p 当 = 0, 1 ds t f ,?Ξ m + 1 2 ?I m+ 1p p 1 ()12 ?2f , Ξ n 1 ()()12 其中 、、都表示边长为的 2进有理区间, 且后两个是相邻区间。I m + 1I m + 1 I m + 1 p m + 1p p p p m m + 1 m m () 当 p < n < p 时, 设 n = p + k p - 1+ l, 0?k ?p - 1, 1?l?p - 2. 则: k () I 当 0?? 时, 与上述相似, 可得tm p 1(H , p ) ()( ) () 13 f t- S f , t?2f , n Ξ n k + 1 () () 当??1 时, 与13式相似, 可得?tm p 1(H , p ) ()( ) () 14 f t- S f , t?2f , n p Ξ n k k + 1 k()m + 1 p ( ( ) )( ) , 当 < < 时, 只有当 = 1?k ?p - 1、 t- s 达到最大且 K t, s ?0||n ttm + 1m m p p p 1 () 时, 11式右边的积分才可能达到最大。由于此时这 l+ 1 个小正方形的边长皆小于 , 因此mp () 由14式, 知此时有 1(H , p ) ()( ) () 15 f t- S f , t?2f , n p Ξ n ()() 由12, 15即知定理 2 成立。 证毕。 1 定理 2 是经典的B. Sz 2N agy 定理的推广。由定理 2 知, 连续函数的p 2进 Fo u r ie r2H aa r 级数 ()p ? ( )( ) 在0, 1 上一致收敛于 f t. 依文4 中的定义 2, 2进 正交函数系{}是空间p H aa r x n t n=1 0, 1 的广义 基。C Sch au de r 1 ()(p )p (p )( ) ( ) ( ) 定理 3 设= K n 为 2进 正交函数系{}的函数,n t, sn L t ds p H aa r x t L eb e sgu e ?0 则我们有 ()p ( ) ?1, 0??1, = 1, 2, 3, L n ttn ()()p p ( ( ))(), , 10 证 由定理 2 中对 n 的取值分析知 n ?0, 所以由式即知定理 3 成立。证tstsK K 毕。 定理 2 右边的常数 2并非是“最好的”。 当 = 2 时, 文献5 建立了双边不等式:p p 1 1 3 1()H , 2( ) () ()f , ? f t- S n f , t? f , , 0??1, = 1, 2, 3, 16Ξ Ξ tn 4 n 2 n 且上式左、右两边的常数都是“最好的”。 若将文5 的定义 1 中的 n 次二进位区间换成下述 定义中的 次 2有理区间, 则文5 中的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 可推广到 2进 函数系。n p p H aa r m m () 定义 1 设 = + - 1+ , 0??- 1, 1??- 1. 则称如下的 个开区间为 次n p k p lk p lp n n 2进有理区间:p i- 1 ij - 1 j m( ) ( ), i= 1, 2, , kp ,, j = k + 2, k + 3, p m + 1 m + 1 m m p p p p k k + 1 对于区间 , , 需再分成 l+ 1 个小区间。 当m m p p ()17nn0 0k k k k + 122 l= 1 时为 , + 和 + , ; 当 l= 2 时为m mm + 1m m + 1 m p p p p p p n- 1n- 1nn 00002222k + 1 k k k k k , +,+, +和+,;m m m + 1 m m + 1 m m + 1 m m + 1 m p p p p p p p p p p () 其中 及 等的含义见第一段。 当 = 3 时 = 1.n 0 n 1 p n 0 ( ) 定理 4 若 ?0, 1 , 则对一切 = 1, 2, 3, 成立着f tC n 1 11 1() H , p ( ) () ()f , ?‖- , ‖? 2-f ,18Ξ f tS n f tC Ξ n 4n p 1 1 且上式中的常数 和 2- 都是准确的, 即对一切 而言是不能再改进的, 其中‖?‖表n C 4 p 示最大模范数。 ()21 ( ) A. H aa r 早就想对函数系{x t }作推广, 但未见显式表示。n 3 2进 正交函数系及其逼近定理p F ran k lin ()p ( )称函数系{n }:Υt t()()()p p p ( ) ( ) () ()0 ?1, n = n , 0??1, = 1, 2, 3, 19Υ tΥtx sdstn ?0 为 2进 函数系, 它是完备的线性无关函数系。按6 中的论证, 可得p Sch au de r ( ) 定理 5 设 ?0, 1 , 则f tC ? 1() p ()p ( ) () = 0+ s df s ?20f tf 6Υt x n= 1 ?0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n ( ) 且上式右端的级数在0, 1 上一致收敛于 f t. ()7 p ( ) 应用 标准正交化程序于{ Schm id t Υt } 后所得的0, 1 上的完备标准正交系称为n ()p ? 8 ( ) 2进 函数系, 记为{. = 2 时就是古典的 函数系.p F ran k lin f t }0p F ran k lin n n= ()()p p ( ) ( ) 由定义知 的全部尖点, 因此, 若将插值节点改为f n t 的尖点包含了函数组{f i t } i n? ()p ( ) 由 17式所定义的 次 2进有理区间的端点, 则文献9 中的方法和结论对函数系{n n p f ?同样成立。 这里叙述两个主要结果。 ( ) t}n= 0 定理 6 存在仅与 p 有关的正常数 C p , 使得 m() p - 1p m (p )m ( ) () 21 f + k t?C p ? pp6n = 1 (F , p )(p )? ( ) ( ) ( ) ( ) 定理 7 设 ?0, 1 , , 是 按正交系{}展开的 级数的 f tC S n f t ft f n t n=0 Fo u r ie r n 次部分和, 则1()F , p )( ) ( , , = 1, 2, 3,()f t ‖?4f , n 22 ‖f t- S n C p Ξ n () p ?( ) 故{n t}n= 0 是空间 C 0, 1 的 Sch au de r 基。 f 4 2进 函数系及其有界正交性p C ie s ie lsk i ()p ‖ ( ) f ‖在0, 1 上不是一致有界的。 置n tC () () ()()p p p p ( )( )( ) ( )t = f t ?1, C t= f t C 0 01 1 m () p - 1p () ()0??123t1m ( ) ( ) ( ) () , m = 0, 1, 2, af t, 1?k ?p - 1?pn t= C p + k t= k , l p+ l 6m p()l= 1 p ()p C m()()p p m m ()p 式中 a () p ?(() ( ) ) k , l 是某个 p - 1?p 阶的正交矩阵的 k , l元素。 这个函数系{C n t}n= 0 称为 p 2进 10 ?( ) 函数系, 它是 函数系{}的推广。 C ie sie lsk i C ie sie lsk i C n tn= 0 ()p ? ( ) 定理 8 2进 函数系{}是0, 1 上一致有界的标准正交系。p C ie sie lsk i C n t n=0 ()()p p () ( ) a k , l 证 标准正交性由 23式及{n t }的正交性而得。下面证明一致有界性。因为 ?1,f () 所以由定理 6 及23式, 得m ) ( 1?p p - () p 1 ()p ( ) ‖?f t ?, = 0, 1, 2,n tC C n m ‖ ( ) C p + l p6ml= 1 p (p ) ?( ) 即{n t}n= 0 在0, 1 上关于 n 是一致有界的。 证毕。 C 参 考 文 献 1 . . , 1961: 46, 47, 48, 49, 295.A lex it s GT h e co nve rgence p ro b lem s o f th e o r tho go na l se r ie sB udap e st ( ) 2 那汤松 . 实变函数论上册修订本, 徐瑞云译. 北京?人民教育出版社, 1958. 282ИП ( ) 3 柴伯琪. 级数和级数对连续函数的逼近. 无锡轻工大学学报, 1996. 15, 4, 10ƒ: 5H aa r W a lsh A ( ) 4 柴伯琪. 空间 的一个新的 基. 无锡轻工大学学报. 1998, 17 2: 102, 1100, 1 C Sch aude r ( ) 5 柴伯琪. 关于 级数的逼近. 西安交通大学学报, 1983. 17 2: 101, 115H aa r ( ) 6 . 〈0, 1〉. 1, , 1959, 7 4:C ie sie lsk i ZO n H aa r func t io n s and o n th e Sch aude r ba sis o f th e sp ace CB u ll A cad Po lo n Sc i 227, 232 ( )7 纳唐松 . 函数构造论中册. 何旭初, 唐述剑译. 北京: 科学出版社, 1958. 30, 31.ИП 8 . . , 1928, 100: 522, 529.F rank lin P hA se t o f co n t inuo u s o r tho go na l func t io n sM a th A nn ( ) 9 . . , 1963, 23 2: 141, 157C ie sie lsk i ZP rop e r t ie s o f th e o r tho no rm a l F rank lin sy stemS tud ia M a th . , 1968, 31: 34010 . , 346C ie sie lsk i ZA bo unded o r tho no rm a l sy stem o f po lynom ia lsS tud ia M a th -pa d ic Haa r or thon orm a l sy stem an d an d -pa d ic Fran k l in or thon orm a l sy stem C h a i Bo q i (), , 214036D ep t o f M a thm a t ic s and P h y sic s Sc ienceW ux i U n ive r sity o f L igh t Indu st ryW ux i 22A bstra c t In th is p ap e r w e in t ro du ce th e p ad ic H aa r sy stem an d th e p ad ic F ran k lin sy s2 Κ Κ1 Κ 0 tem an d it is p ro ved th a t th ey a re com p le te o r tho no rm a l sy stem s o n th e in te rva l ; Γ Κ1 .0 an d th ey a re th e gen e ra lizedSch au de r b a se s o f th e sp ace C - 2ΜΜ ΜKeyword s p ad ic H aa r sy stem Com p le te o r tho no rm a l sy stem co n t in uo u s m o du iu s Μ2Μ2Sch au de r b a sisp ad ic ra t io n a l in te rva lp ad ic F ran k lin sy stem () 责任 安全质量包保责任状安全管理目标责任状8安全事故责任追究制幼儿园安全责任状占有损害赔偿请求权 编辑: 秦和平
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