数学与应用数学毕业论文-行列式求法的探讨

数学与应用数学毕业论文-行列式求法的探讨 目 录 内容摘要……………………………………………………………………………………1 关键词………………………………………………………………………………………1 1引言 ………………………………………………………………………………………1 2行列式的定义 ……………………………………………………………………………1 3行列式的性质 ……………………………………………………………………………2 4求行列式的方法 …………………………………………………………………………3 5小结 ……………………………………………………………………………………13 …………………………………………………………………………………15 参考文献 英文摘要 …………………………………………………………………………………16 行列式的求法探讨 数学与应用数学 指导老师: 【内容摘要】 在了解行列式的定义、性质后，本文主要探讨了行列式的计算方法，介绍了阶行列式的几种行之有效的方法.有常用的定义法、化归、加边法等方法外，n 还介绍了递推法、数学归纳法等技巧性较高的计算方法，并给出针对性例子. 【关键词】行列式;递推法;数学归纳法 1引言 行列式这一名称是著名的法国数学家柯西于1812年提出来的，行列式的计算是高等代数的重要内容之一，阶行列式的计算是学习中的一个难点，对于阶数较低的n 行列式，一般直接用定义法计算出结果，当较大的时候，直接用定义计算有些困难，n 所以探讨行列式的计算方法很有必要.通常灵活地运用一些计算技巧和方法，可以简化计算过程.本文介绍了几种行列式的计算方法，如果能够将各种方法掌握并灵活运用，可以很大程度上解决阶行列式的计算问题. n 2行列式的定义 首先,我们给出阶行列式的定义. n [1]2定义2.1 由个元素aijn(,1,2,),组成的符号 nij aa111n aannn1a称为n阶行列式，简记为.它 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示一切可能的取自不同行不同列的n个元素乘积ij 的代数和(共n!项)，各项符号是:当项中各元素的行标构成自然排列时，如果列标的排列为偶排列，取正号;如果列标的排列为奇排列，则取负号，即 1 aa111n ()jjj,12naaa,,(1),,12jjnj (2.1) aannn1 注表示级排列 的逆序列. n,()jjjjjj12n12n ,()jjj12n(1),aaa式2.1称为阶行列式按行标自然顺序排列的展开式，n12jjnj a称为阶行列式(2.1)的一般项.当 时，一阶行列式 就是数. nn,1a 3行列式的性质 由于计算行列式的时候需要展开行列式，交换行(列)，添加一行(列)对行列式进行变换，所以在探讨行列式的计算方法前，我们需要先了解行列式的一些基本性质. [1] 定义3.1 把行列式D的行列互换后得到的行列式称为的转置行列式，记作D T.即 D aaaaaa11211n11121n aaa12222nTaaa21222nD,D= ，. aaa12nnnnaaannnn12 T显然，行列式与它的转置行列式互为转置行列式. DD [1]T性质3.1 行列式D与它的转置行列式相等. D [1]Da=性质3.2 交换行列式的两行(列)，行列式改变符号，即设阶行列式 ，nij交换的第行和第行(sk,)得行列式，则 . DksDDD,,11 [2]性质3.3 若行列式D有两行(列)的对应元素相同，则 D,0. [3]性质3.4 行列式某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式外面.即 2 aaaaaa1112111121nn kakakakaaa,iiiniiin1212 . aaaaaannnnnnnn1212 [4]性质3.5 如果行列式中有两行(列)的对应元素成比例，那么这个行列式的值为零. [4]性质3.6 如果行列式中有一行(列)的各元素都是两项之和，则此行列式等于两个行列式之和，即 aaa11121n bcbcbc，，， iiiiinin1122 aaannnn12 aaaaaa1112111121nn ,，bbbccc .iiiniiin1212 aaaaaannnnnnnn1212 [5]性质 3.7 把行列式的某一行(列)的所有元素乘以数加到另一行(列)Dk 的相应元素上，所得行列式的值不变. 4求行列式的方法 计算行列式一般可以归类为以下几种方法:定义法、化归法、运用拉普拉斯定理法、利用范德蒙德行列式法、 拆行(列)法、降阶法、升阶法、递推法、数学归纳法. 下面我们具体介绍一些方法. 4.1 定义法 定义法一般适用于二阶、三阶行列式或者行列式中有较多0的情况，因为行列式的项中有一个因数为零时，该项的值就为零，故只需求出所有非零项即可. 3 [1]定理4.1.1 一个阶行列式中等于零的元素个数如果比多，则此行列nnnn，,式等于零. 2证明 由行列式定义，该行列式展开后都是个元素相乘，而阶行列式共有nnn 个元素.若等于零的元素个数大于，那么非零元素个数就小于个,因此该行nnn，,n列式的每一项都至少含一个零元素，所以每项必等于零，故此行列式等于零. 4.2 化归法 利用行列式的性质，化行列式为上三角形行列式或下三角形行列式来计算. 行列式 aaa11221n 0aa222n D,n 000ann称为上三角形行列式，那么 Daaa,. nnn1122 证明 由阶行列式的定义，它的展开式应有项，其一般项为 nn! ,(jjj)12n(1),aaa， 12jjnj12n a我们只需求出上述所有可能不为零的项.在中第行元素除外均为0，所以nDnnn aa;在第n,1行中，除和外的元素都为零，因此 或，但njn,jn,,1nn,,1,1nn,1,nn,1 aa,由于位于同一列，而 ，所以 ;依此类推，在展开式中只有jn,jn,,1nnnn,1,nn,1 一项可能不等于零，且这项的列标所组成的n级排列的逆序数位0，故这aaa1122nn 项取正号，由行列式的定义得 aaa11221n aa0222nDaaa,,nnn1122 ， 000ann 即上三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积. 类似地，可得下三角行列式 4 a0011 aa02122Daaa,,nnn1122 . aaannnn12 总之，上(下)三角行列式均等于主对角线上元素的乘积. 例4.2.1 计算下列行列式 xaaa23n axaa13n 其中 (1,2,).Dxain,,,ni aaax123 xaaa23n axxa,,0012 解 Daxxa,,,00n13 axxa,,001n nax,1xaaa,,23n,,，ax2ii 000xa,ax,21cc, 1i000xa,xa,3i 000xa,n ()nnaax,1.ixxa,,, =(-)() i,,xa,24.3 拉普拉斯定理 2iii [1]定理4.3.1 (Laplace定理) 在n阶行列式中，任意取定k行(列)，由这Dn 5 行(列)元素组成的一切阶子式与它对应的代数余子式乘积之和等于行列式.kkDn k也就是说在中取定行(列)后它的阶子式共有 个，设这个阶子式为sC,kkskDnn ,,它们对应的代数余子式分别为,则 AAA,,MMM,,1,2S12S . DMAMAMA,，++1122ss 证明 因为在阶行列列式中，若阶子式得代数余子式为，则中的nkMAMADn 每一项都是的展开式中的一项，且符号一致.因此，中每一项都DMAis(1,2,,),ii是的展开式中的一项，且符号一致，而且和MAijsij(,1,2,,),,无公共DMAjjnii 项，我们只要证明等式两边的项数相等即可.显然等式左边共有项;等式右边中n!Mi k共有项，共有 项，所以右边共有 sknkknkCn!()!!()!!,,,,项，结论k!()!nk,Ain成立. 4.4 利用范德蒙德行列式的方法 行列式 1111 aaaa123n 2222,Daaaann123 ,,,,nnnn1111aaaa123n称为阶范德蒙德(Vandermonde)行列式. n [1] 定理4.4.1 阶范德蒙德(Vandermonde)行列式为,那么nDn Daa,,(),nij. jin1,,, n,1n,2n,1 证明 把第行的倍加到第n行，再把第行的倍加到第行，,a,a11依此类推，直到把第1行的倍加到第2行，得 ,a1 6 1111 0aaaaaa,,,21311n 2220Daaaaaaaaaa,,,,nnn2123131 nnnnnn121211,,,,,,0aaaaaaaaa,,,2123131nn aaaaaa,,,21311n 222aaaaaaaaa,,,2123131nn , nnnnnn121211,,,,,,aaaaaaaaa,,,2123131nn ,,,,，()()()aaaaaa213111n, 111 aaa23n (-1)an. nnn,,,222aaa23n最后这个行列式是一个阶范德蒙德行列式，我们用表示，即 n,1Dn,1 DaaaaaaD,,,,()()() ， nnn213111,同样地，可以得到 DaaaaaaD,,,,()()()， nnn,,1324322 这里表示一个n,2阶范德蒙德行列式.如此继续，最后得n阶范德蒙德行列式的Dn,2 值为 DaaaaaaD,,,,()()()nnn213111, ,,,,,,,()()()()()()aaaaaaaaaaaaD21311324222nnn, ,,().aa,ij ,,,1jin 例4.4.1 计算行列式 7 2n111，，，xxx111 2n111，，，xxx222D,n . 2n111，，，xxxnnn 1111 2n0111，，，xxx111 2n0111Dxxx,，，，n222 解 2n0111，，，xxxnnn 1111 2n,xxx1111 2n,,xxx1222 2n,xxx1nnn ,21111 2n,xxx01111 2n,,xxx01222 2n,xxx01nnn 21111111 22nn01xxxxxx111111 22nn01,,xxxxxx222222 22nn01xxxxxxnnnnnn 8 21n,1xxx111 21n,1xxx,,2222xxx12n 21n,1xxxnnn n (1)()xxx,,,,iji inji,,,,11 ，， ,,,,2(1)().xxxx,,,iiji,,ininnji111,,,,,,,，， 4.5 拆行(列)法 对于除主对角线以外，上三角各元素都相等，下三角各元素也相等的行列式，我 们一般可以用拆行(列)法. 例4.5.1 计算行列式 xaaa1 bxaa2 ,.n Dbbxaab,,3 n xaaa01bbbx bxaa02 Dbbxa,03n 解 bbbbxa,n 9 xbax,,00012 000xbax,,23 (),,，xaD1nn, 0000xb,1,n bbbba n,1 ,,，,()().xaDaxb ,nni,1 (1) i,1 n,1 'DxbDbxa () ,,，, (). DD,由于，所以 ,. (2) nnni,1nni,1 D式(1)，(2)联立，消去得 n,1 nn axbbxa()(),,,,,ii ii,,11D,.n ab,注 如果副对角线上方元素相同，下方元素也相同，则可归类为如上类型，如以 下行列式: aaa0 aab0 nD,, abb0 0bbb 显然有 10 0aaa baa0(1)nn, 2,, D(1)n . bba0 bbb0 递推法 4.6 有些行列式，可以先计算同样特征的二阶、三阶行列式，根据此低阶的计算结果 猜想出任意阶行列式的结果，再用数学归纳法给予证明;而有些特殊的行列式则可用 递推法直接推出结果，值得说明的是，对形如下面这样的行列式 pt000 spt00 000spnD, 000pt 000sp称之为三对角行列式. 如果是三对角行列式，我们按第一行展开后可以得到行列式 DpDstD,，. nnn,,12 证明 按第一行展开得 pt000 spt00 n000sp Dpn,,(1)阶+ 000pt 000sp 11 pt000 spt00 000sp tsn(2,阶) 000pt 000sp ,,pDqDqst,( (其中 ) nn,,12 [2]pst,，D定理4.6.1 在上述上三角行列式中如果，那么 n nn，，11st, D,st,n(1)若时，( st, nst,Dnt,，(1)(2)若时，( n DpDtsD,, 证明 由上面知道， nnn,,12 33st,2Dstst,，,,()st,2 (1)若 时，， st, 44st,3Dststst,，,，,()2()3 st, nn,,11nnst,st,D,D, n,2n,1设 ，， st,st, DstDstD,，,()nnn,,12 nnnn,,11stst,, ,，,()stst stst,, ，，11nnst, ,. st, 22st,Dpt,,2Dpstt,,,3(2)若 时，，( 21 nn,,12DntDnt,,, (1)， nn,,12 12 nn,,12Dstntstnt,，,,()(1)n nn ,,,2(1)ntnt n ,，(1).nt 故对一切自然数结论都成立( (证毕) 例4.6.1 计算下列阶行列式 n 53000 25300 D,n. 02530 解 行列式是三对角行列式，且元素行列式中的元素5等于另外两个元素2与 00053 3之和，根据定理4.6.1有 nn，，110002532, D,n . 32, nn，，11 ,,，23 例4.6.2 计算下列行列式 ,,,，000 ，00,,,, 000，,,,D,n. 000, 000，,,, DDD,，,().,,,,解 行列式是三对角行列式，显然 又元素nnn,,12,,，是行列式中另两个元素之和，根据定理4.6.1，有 ,,,(1)时， 13 DDD,，,(),,,,nnn,,12 nnnnnn,,，，1111,,,,,,,,,. ,，,,(),,,,,,,,,,,,, n,,,Dn,，(1),(2)时，得 . n 4.7 数学归纳法 有时候我们可以快速通过上述方法计算行列式，但是像有三角函数或者更复杂的行列式，计算量很大的行列式，我们只能在短时间内计算它二、三阶值，那么我们可以在知道行列式二、三阶的值后通过猜想其结果，通过数学归纳法来证明. 例4.7.1 求证 cos1000, 12cos100, ,cos.n012cos00,, 000012cos, 证明 用第二数学归纳法 (1)当时， n,2 cos1,2D,,,,2cos1cos2,,， 212cos, 结论成立. (2)假设对于阶数小于的数，行列式的结论仍然成立，则 n D,,2cos,DD， nnn,,12 由假设 D,,cos(2)n,n,2 ,,,cos(1)n,,,, ,,，,cos(1)cossin(1)sin,nn,,,,代入前一个式子得 14 Dnnn,,,,，,2cos(1)coscos(1)cossin(1)sin,,,,,,,,n,2 ,,,,cos(1)cossin(1)sinnn,,,, ,cos.n, 故对于一切自然数结论都成立. (证毕) 5小结 行列式在实际应用中很重要，那么计算行列式显然也很重要.这需要我们理解行列式的定义，了解行列式的性质，掌握行列式的计算方法.而行列式是有些特征的，通过这些特征，用适用于具有这一特征的行列式的计算方法计算行列式更加方便.我 们可以找到一些特征. 特征1 对于二、三阶低阶行列式我们直接用定义法计算. 特征2 第一行、列及主对角线外元素均为0或者行列式中0元素比较多的行列式，可以化为三角行列式进行计算比较简便. 特征3 除主对角线以外，上三角各元素都相等，下三角各元素也相等，这类行列式一般用拆行(列)法. 特征4 如果是三对角行列式，我们可以用递推法计算. 特征5 类似范德蒙德行列式的我们可以通过升阶，降阶成范德蒙德行列式用公式直接计算. 特征6 如果行列式元素含有三角函数或者计算复杂但低阶值有规律点的可以先猜想行列式值然后用数学归纳法. 参考文献 [1] 易忠. 高等代数与解析几何下册[M](北京:清华大学出版社,2007. [2] 赵兴杰. 高等代数教学研究[M](重庆:西南师范大学出版社，2006. [3] 蓝以中. 高等代数教程[M]. 北京:北京大学出版社. 1988.11. [4] 严谨泰. 高等代数考点综述与问题探讨[M](北京:国防工业出版社.2009. [5] 刘洪星. 高等代数选讲[M](北京:机械工业出版社.2009. [6] 王正文. 高等代数分析与研究[M](济南:山东大学出版社，1994. [7] 钱吉林. 高等代数解题精粹[M](北京:中央民族大学出版社，2002. [8] 李正师. 高等代数解题方法与技巧[M](北京:高等教育出版社，2004. 15 [9] 许甫华. 高等代数解题方法[M](北京:清华大学出版社，2006. 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