矩阵满秩分解的一些应用

矩阵满秩分解的一些应用 矩阵满秩分解的一些应用 第35卷第5期 2005年9月 中国海洋大学 PERIoDICALoFoCEANUNIVERSITYoFCHINA 35(5):761,762 Sept.,2005 矩阵满秩分解的一些应用 姚增善,刘新国 (中国海洋大学数学系,山东青岛266071) 摘要:把矩阵的满秩分解用于分析广义投影矩阵及双曲广义投影矩阵,得到了新的 特征刻画. 关键词:广义投影矩阵;Moore-Penrose广义逆;Hermite矩阵 中图法分类号:O172.1文献标识码:A文章编号:1672—5174(2005)05—761—02 0引言 首先给出有关的定义. 定义1设K为7/阶复方阵,记K为矩阵K的共轭 转置. (1)如果K2=K=K,则称K为正交投影矩阵; (2)如果存在/./阶方阵K,使KK及KK都 是Hermite矩阵,且满足KKK=K及KKK= K,则称K为矩阵K的Moore—Penrose广义逆. Moore-Penrose广义逆和正交投影矩阵都是代数 学中的基本概念.前者在最zb--乘法等问题中有许多 应用;而后者用来刻画子空间与投影矩阵的一一对应 性,从而把有关子空间的定量研究转化为矩阵分析. 1997年,Grofl和Trenkler[推广正交投影矩阵而引入 了下面的广义投影矩阵及双曲广义投影矩阵. 定义2设K为n阶复方阵,K和K分别为矩阵K 的共轭转置及Moore—Penrose广义逆. (1)如果K2=K,则称K为广义投影矩阵; (2)如果K2=K,则称K为双曲广义投影矩阵. 最近,Baksalary和Xiao—jiLiu等详细地讨论了定 义2给出的这两类矩阵[2-3J.本文继续他们的讨论.但 使用的方法不同,本文的基本工具是矩阵的满秩分 解_4J:任何秩为r的m×7/矩阵A都可分解为 A=BC 其中,B和c分别为m×r和7/×r的列满秩矩阵. 为了叙述方便,文中使用了下述记号:c表示7/ 阶复方阵所成的线性空间,矩阵A的列向量张成的线 性空间记为R(A).上标及+分别表示共轭转置及 Moore—Penrose广义逆,I表示适当阶数的单位阵. 1主要结果及其证明 本节考虑下述集合: 设K是秩为r的n阶复方阵, 收稿日期:2005.06.01;修订日期:2005.07.07 作者简介:姚增善(1963.),男,硕士,副教授.Tel:(0532)85901953 c={KIK?C,K:K); cP』={KiK?c,K=K}; c={KIK?C,K:K); c={KIK?C,KK=KK); c={KIK?C,K=K); c={KIK?c,KKKK=KKKK). 显见,cGP为广义投影矩阵构成的集合,c为 双曲广义投影矩阵构成的集合.易知cGPc,而且 c口P还有下述重要的子集 c={KIK?C,K=K). 同时,K为正交投影矩阵当且仅当K:K,K=K, 还易知,K为正交投影矩阵的充要条件为K=K= K.因此,广义投影矩阵及双曲广义投影矩阵确实是 正交投影矩阵的推广. 首先给出c的特征.考虑K的满秩分解K= BC,那么 K=K甘B(CB)0C=BC错(CB)0=I. 命题1K?c当且仅当K的满秩分解K=BC满 足(CB).=I. 接下来考虑cP』.记K=BC,则K=C(C C)I1(BB)I1B.从而 K=K错CB=C(CC)(BB)B 甘(BB)(CC)=I. 再作B和C的极分解B=QlHl,C=Q2H2,这里Hl 和H2为Hermite正定矩阵,且QQl=QQ2=I. 则BB=H},CC=H;.总结上述,有 命题2cP』={QlQIQl,Q2为竹×r阵,QQl= QQ2=I}. 再考虑cGP.考虑K的特殊满秩分解K=BC, cC=I,,那么 中国海洋大学 K2=K甘BCBC=CB, 这说明R(B)=R(C).从而存在r阶可逆方阵G,使 B=CG.且 K2=K甘(CGC)(CGC)=CGC甘G=G. 又由Schur分解,G可分解为G=Q0R0Q,Q0为酉 阵,R.为上三角阵,而 G=G甘R8=R甘R0=diag(dl,dE,…,d). 其中,dj(j=1,2,…,r)为三次单位根,即d;=1,d= d.综上所述,有 命题3c?e={QDQIQ为×r阵,QQ=J,D = diag(dI'2,…,d),d=1}. 注:三次单位根集合为 {?,一号一,/5吉+譬}o 再讨论c.令K=BC为满秩分解,那么 KK=KK甘BB=CC甘C=BG. 这里G=BC为r×r可逆方阵.因此有 命题4={QGQIQ为×r阵,QQ=I,G 为r×r可逆阵}. 再分析cW.考虑K的满秩分解变形K= QlGQ,其中,G为r×r可逆方阵,Ql,Q2为×r 矩阵,QQl=QQ2=J.那么 K=K甘QlGQQlGQ=Q2G-1Q, 从而R(Q1)=R(Q2).因此,不妨取Ql=Q2,此时 K=QlGQ.又 K=K甘QlGQ=QlG一Q甘G=G一甘G.=J, 而G.=J甘G=Q0diag(dl,2,…,d)Q,QQ0= J,d;=1. 命题5cW={QDQIQ为×r阵,QQ=I,,D =diag(dI'2,…,d),d=1}. 最后考虑cUe.令K=BC,记PK=KK, PK=KK,贝0有PK=BB,PK=CC.可见 K?cUe甘BBCC=CCBB. 注意到,PK和PK?为正交投影矩阵且为Hermite阵,上 式表明PK和PK.可交换,因而存在酉阵Q,使 BB=Qdiag(aI'a2,…,a)Q,CC=Qdiag (卢l,卢2,…,卢)Q, 这里ai和取0或1.取R(B)nR(C)的标准正交 基(为列)构成矩阵Q,Q适当排列后可用分块阵表示 为Q=[QI'Q')],这样BB=[QI'QB],CC= [Ql,Qc],而[Ql,QB,Qc]是列规范正交阵.这表明 B=[Ql,QBJGB,C=【QI'QcJGc, 其中GB,Gc为r阶可逆阵.从而K=[QI'QB]?G [Ql,Qc],G为可逆阵.易知K?cW,故有下述 结论: 命题6cUe=I[QI'Q2]G[QI'Q3]_[QI'Q2, Q3]列规范正交,G为可逆阵}. 本文得到的结果大部分是新的,使用的基本工具 是矩阵的满秩分解.Baksalary等人使用Jordan分解或 Schur分解以及奇异值分解,分析了G及G中矩 阵的谱特征,得到的结果很有趣.不难看出,本文的结 论可以很容易地导出他们得到的大部分结果.而且, 作者认为,从应用的角度看这里得到的结论更便于应 用. 参考文献: Gro口J,TrenklerG.Generalizedandhypergeneralizedproiectors [J].LinAlgAppl,1997,264:463—474. BaksalaryJK.Baksalary0M.LIUXiao—ji.Furtherpropertiesof generalizedandhypergeneralizedprojectors[J].LinAlgAppl, 2004,389:295—303. BaksalaryJK,LIUXiao-Ji.Analternativecharacterizationofgener— alizedprojectors[J].LinAlgAppl.2004,388:61—65. 北京大学数学系编.高等代数第二版[M].北京:高等教育出版 社.1988. SomeApplicationsoftheFull-RankDecompositionofMatrices YAOZeng—Shan,LIUXin—Guo (DepartmentofMathematics,OceanUniversityofChina,Qingdao266071,China) Abstract:Inthispaper,thefull— rankdecompositionofmatricesisusedtoanalysegeneralizedprojectionma— tricesandhypergeneralizedprojectionmatrices,andsomenewcharacteristicdescriptionsareobtained. Keywords:Orthogonalprojectionmatrix;Moore— Penrosegeneralizedinverse;Hermitematrix AMSSubjectClassifications:15A23