悬链线方程及曲线弧长
第二章 导线应力弧垂分析
第三节 悬点等高时导线弧垂、线长和应力关系
1.悬链线方程
为了分析方便，我们先从悬挂点等高，即相邻杆塔导线悬挂点无高差的情况讨论导线的应力及几何关系。实际上，导线悬在空中的曲线形态，从数学角度用什么方程来描述是进行导线力学分析的前题。由于假定视导线为柔索，则可按照理论力学中的悬链线关系来进行分析，即将导线架设在空中的几何形态视为悬链形态，而由此导出的方程式为悬链线方程。 如图2,5所示，给出了悬挂于A、B两点间的一档导线，假定为悬挂点等高的孤立档，设以导线的最低点O点为原点建立直角坐标系。
图2-5 导线悬链线及坐标系
同时假定导线固定在导线所在的平面，可随导线一起摆动，显然这是一个平面力系。根据这个坐标进行导线的受力分析，可建立导线的悬链线方程。
我们先从局部受力分析开始，再找出其一般规律。首先在导线上任取一点D(x,y)，然后分析OD段导线的受力关系，由图2,5所示，此OD段导线受三个力而保持平衡，其中D点承受拉力为Tx=σxS，它与导线曲线相切，与x轴夹角为α; O点承受拉力为T0=σ0S，T0为导线O点的切线方向，恰与x轴平行，故又称水平张力;此外还有OD段导线自身的荷载为G=gSLx， 其中Lx为OD段导线的弧长。
将OD段导线的受力关系画为一个三角形
表
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示，如图2,6所示，
图2-6 导线受力情况
由静力学平衡条件可知，在平面坐标系中，其水平分力，
垂直分力的代数和分别等于零。
或沿x轴或y轴上分力代数和分别等于零。
垂直方向分力G=Txsinα=gSLx;水平方向分为T0=Txcosα=σ0S。其中σ0、T0为导线最低点的应力和张力，σx、Tx为导线任一点的应力和张力，S、g为导线截面和比载。将上述二式相比，则可求得导线任意一点D的斜率为:
(2-10)
由微分学知识可知，曲线上任一点的导数即为切线的斜率。
式(2,10)是悬链曲线的微分方程。我们要用坐标关系表示出导线受力的一般规律，还需要将不定量Lx消去，因此，将式对x微分得:
222 (微分学中弧长微分公式为dS=(dx)+(dy)) 将上式移项整理后，两端进行积分
这是个隐函数，因此，再进行分离变量积分，查积分公式有:
再进行分离变量积分，有 (2,11)
于是，导线任一点D的纵坐标为:
(2,12)
式(2,12)是悬链方程的普通形式，其中C1和C2为积分常数，其值可根据取坐标原点的位置及初始条件而定。如果将坐标原点于导线最低点处，则有下述初始条件: x=0, dy/dx=tgα=0
代入式(2,11)则C1,0，将x=0,y=0,C1, 0 代入式(2,12)，
坐标原点最低点O处的悬链方程为: ，如此，求得
(2,13)
式中σ0—水平应力(即导线最低点应力)，MPa;
g—导线的比载，N/m.mm2。
当坐标原点选在其它点(例如选在悬挂点处)
时，悬链线方程的常数项将有所不同，可
以得到不同的公式。若式(2,13)中x代表档距的时候，则y即为导线的弧垂，因此悬链线方程描述了导线弧垂与应力、比载及档距之间的基本关系，此式称为精确式。 实际上导线的悬链线方程还可以从另一种方式进行推导,下面介绍如下:
由式,对其求导得:
变换为,为找原函数进行积分,
由积分式两边积分，
则有:变为指数形式为
这是个隐函数，为解出，对应有式:
将两式相减则有:
因为双曲正弦函数为:
双曲余弦函数为:
又因为:
最后积分有:
定积分常数,因在坐标原点则，其结果是一样的，即
在线路设计中，为了计算上的方便，一般不使用精确式方程，而是将其展开为泰勒级数形式。将悬链线方程式(2,13)展开成无穷级数(在x=0点)，可得:
(2,14)
2(曲线弧长(或弧长方程)
导线最低点O至任一点的曲线长度叫做弧长，用Lx表示。将式(2,11)代入式(2,
10)中，且积分常数C1,0，得导线的弧长方程为
(2,15)
根据式(2,15)可以计算一个档距内导线的曲线长度(也叫一档线长) 将弧长方程式(2,15)展开成无穷级数可得:
(2,16)
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