柯西不等式的
证明
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数学上，柯西-施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式，是一条很多场合都用得上的不等式;例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。不等式以奥古斯丁?路易?柯西(Augustin Louis Cauchy)，赫尔曼?阿曼杜斯?施瓦茨(Hermann Amandus Schwarz)，和维克托?雅科夫列维奇?布尼亚科夫斯基(Виктор Яковлевич Буняковский)命名。 柯西不等式(Cauchy inequality):对任意的实数a1,a2,?,an,b1,b2,?,bn,都有
(a21+a22+?+a2n)(b21+b22+?+b2n)?(a1b1+a2b2+?+anbn)2 证明一:(数学归纳法)当n=2时,(a21+a22)(b21+b22)?(a1b1+a2b2)2=(a1b2?b1a2)2?0 所以n=2时,(a21+a22)(b21+b22)?(a1b1+a2b2)2
假设n时命题成立,则n+1时
(a21+a22+?+a2n+a2n+1)(b21+b22+?+b2n+b2n+1) ?((a21+a22+?+a2n)(b21+b22+?+b2n)??????
???????????????????????????+|an+1bn+1|)2
又由条件假设
(a21+a22+?+a2n)(b21+b22+?+b2n)?(a1b1+a2b2+?+anbn)2 所以
((a21+a22+?+a2n)(b21+b22+?+b2n)?????????????????????????????????+|an+1bn+1|)2
?(|a1b1+a2b2+?+anbn|+|an+1bn+1|)2
很明显有
(|a1b1+a2b2+?+anbn|+|an+1bn+1|)2?(a1b1+a2b2+?+anbn+an+1bn+1)2 因此n+1时命题也成立,由数学归纳法,命题得证.
证明二:(构造二次函数)如果a1,a2,?,an都为0,那么此时不等式明显成立. 如果a1,a2,?,an不全为0,那么a21+a22+?+a2n>0
构造二次函数f(x)=(a21+a22+?+a2n)x2+2(a1b1+a2b2+?+anbn)x+(b21+b22+?+b2n)那么此时f(x)=(a1x+b1)2+?+(anx+bn)2?0对任意的实数x都成立,所以这个二次函数的判别式应该是不大于0的,也就是
Δ=4(a1b1+a2b2+?+anbn)2?4(a21+a22+?+a2n)(b21+b22+?+b2n)?0 从而不等式得证.
证明三:(恒等变形)注意到恒等式
(a21+a22+?+a2n)(b21+b22+?+b2n)?(a1b1+a2b2+?+anbn)2 =?1?i
0(i=1,2?,n),则?i=1na2ibi?(?ai)2?bi.
变形式(B) 设ai,bi同号且不为零(i=1,2?,n),则?i=1naibi?(?ai)2?aibi.
浙公网安备 33021202002483