反思性思维_在数学概念教学中生成

反思性思维_在数学概念教学中生成 ( )Ma r . 2008 2008 年 3 月J o ur nal of Q ua nzho u No r mal U nive r sit y Nat ural Scie nce 反思性思维 :在数学概念教学中生成 1 2段耀武,程广文 ()1 . 北京联合大学 生物化学工程学院 ,北京 100023 ;2 . 泉州师范学院 教务处 ,福建 泉州 362000 摘 要 :数学概念是抽象思维的产物 ,根据杜威的反思性思维与教学理论 ,将数学概念的教学贯穿于整个 数学课程的始终 ,还原概念的生成过程 ,即时地或滞后地反思概念的意义及其在数学整体中的地位 ,有意识地 培养学生的反思性思维习惯是进行概念教学的明智有效的方法. ? 关键词 :数学教学 ;数学概念 ;反思性思维 () 中图分类号 : G40文献标识码 : A文章编号 :1009 - 8224 200802 - 0026 —04 数学是一门抽象的科学 ,在培养思维能力、思维品质方面的功能为人所公认. 数学的基石是概念 ,没有概念 ,就无法构筑数学的理论体系. 因此 ,学习数学往往从基本概念出发 ,逐步到理论体系 ,这本是符 合数学科学的发展规律. 但是 ,数学概念的教学随之视为整个数学教学过程的开端 ,一个初始环节而已 , 对概念教学的探讨集中于“属 + 种差”的逻辑分析 ,这样就导致了如下不尽如人意的现象 : 进入大学数学 系的高中毕业生不知道“中学时为什么要学习弧度制”,念完大学一年级的学生不知道“极值”与“最值” 的区别等等. 这些现象说明学生对概念的掌握未能达到高层次阶段 : 即不能在数学整体中把握概念的地 位、作用 ,概念与概念间的关系认识不清 ,没有形成对概念的完整的、综合的心理图式. 现代美国教育家 杜威的反思性思维与教学理论为我们解决这样的问题提供了一些启示 ,他指出 ,教育应以培养求知 ,尤 其是以反思性思维求知的好习惯为中心 ; 反思性思维为求知的最好方式 “; 当要决定某一已经完成的行 [ 1 ] 动或即将完成的行动的意义时 ,就产生思维的刺激”. 这些观点启示我们 ,在数学概念教学中不失时机 地培养反思性思维习惯 ,将概念的教学贯穿于整个数学课程的始与末 ,是解决上述问题的明智方法. 1 杜威的反思性思维与教学理论 反思性思维与教学理论是杜威教育思想体系的一个重要组成部分 “, 如何思维”是他所论述的一个 重要命题. 他非常强调学校的教学活动对学生科学的思维态度 、思维习惯以及思维能力的培养 ,他明确 () 指出 ,:就学生的心智而论 即某些特别的肌肉能力除外学校为学生所能做的或需要做的一切 ,就是培 [ 2 ] 养他们思维的能力. 1 . 1 “思维”与“反思性思维”的涵义 [ 2 ] 就“思维”、“反思性思维”的涵义 ,杜威作了如下论述“: 所谓思维或反思 ,就是识别我们所尝试的 事和所发生的结果之间的关系思维就是有意识地努力去发现我们所做的事和所发生的结果之间特 [ 3 ] 定的联结 ,使两者连接起来. ”他还指出“: 思维就是探究、调查、深思、探索和钻研 ,以求发现新事物或[ 3 ] 对已知事物有新的理解. 总之 ,思维就是疑问. ”杜威指出,思维的最好方式是“反思性思维”,它是“对 某个问题进行反复的 、认真的、不断的深思”“, 对于任何信念或假设性的知识 ,按照其所依据的理由和 进一步得出的结论 ,去进行主动的、持续的和周密的思考 ,就形成了反思性思维”,它既包括引起思维的 ? 收稿日期 :2007 - 12 - 05 (作者简介 :段耀武 1970 - ) ,女 ,土家族 ,讲师 ,硕士 ,从事数学课程与教学论研究. () 基金项目 :全国教育科学规划“十五”重点课题 D HA050119 27 第 2 期段耀武等 :反思性思维 :在数学概念教学中生成 疑惑问题和心智上的困难等状态 ,又包括探究的活动和解决疑惑的实际方法. 在杜威看来 ,思维起源于某种疑惑 ,但思维未必就是反思性的 ,只有人们心甘情愿地经受疑难的困惑 ,不辞辛劳地进行探究 ,才能 有反思性思维 ,它与放弃探究的行动而匆忙地得出结论的拙劣思维绝不相同. 1 . 2 “反思性思维”的价值 ( ) 为了让人们理解思维的重要性 ,杜威将思维的价值概括为 3 个方面 : 1反思性思维能使合理的行 () ( ) 动具有自觉的目的 ; 2反思性思维能预先进行系统的准备 ; 3反思性思维能使事物的意义更充实. 这 三种价值前两种是属于实际的 ,能增加人的控制能力 ; 后一种价值能增强人的认识能力 ,即通过反思性 思维 ,人就可以更充分地理解事物的意义. 1 . 3 思维过程的五步骤 就反思性思维的过程 ,杜威将它分成五个阶段. 第一阶段 : 一个疑难的情境 ; 第二阶段 : 确定疑难的 所在 ,并从疑难中提出问题 ;第三阶段 :通过观察和其他心智活动以及搜集事实材料 ,提出解决疑难的各 种假设 ;第四阶段 :推断哪一种假设能解决疑难 ;第五阶段 : 用行动检验假设. 但在实际中 ,这五个阶段的 顺序不是固定不变的 ,有时前后两个阶段可以结合起来 ,有时几个阶段可以匆匆略过 ,有时某一个阶段的内部又包含着某几个小阶段. 对杜威所论述的“思维五步”,当代认知心理学家奥苏伯尔给予了这样的 评价“: 关于思维过程中连续出现的时间阶段的概括描述 ,杜威 1916 年的这一报道 ,历数 10 年而无重大 改变 ;它跟学者的操作顺序和接受与发现两种方式的学习相互交替 ,一般说来还是吻合的. 因此 ,杜威的 [ 4 ]描述久已成为解决问题过程阶段性的标志. ” 2 运用反思性思维与教学理论构建数学概念教学环节 根据杜威的观点 ,反思性思维开始于一个困惑、疑难的情境 ,而结束于一个清晰、连贯、确定 、和谐的 [ 1 ] 情境 ,反思性思维就是在反思前的情境和反思后的情境这两端之间进行的. 数学概念是抽象思维的产 物 ,学生学习数学概念必先经历迷茫 、困惑状态 ,成功的概念教学应使学生对概念的认识产生质的飞跃 , 从最初的疑难、困惑状态达到清晰、和谐有致的状态 ,反思性思维在其中起着非常重要的作用. 因此 ,在 数学概念教学中 ,有意识地培养学生的反思性思维习惯与能力是必要的. 运用杜威的反思性思维与教学 理论设计数学概念教学 ,笔者认为须注意以下四个环节. 2 . 1 概念引入宜设置疑难情境 疑难 、困惑 、怀疑的情境将使学生产生解决疑惑的需要 ,这是反思性思维开始的情境. 数学概念教学 中 ,这种情境的设置可以选择数学的逻辑发展中曾经历的矛盾冲突 ,如在引入“虚数”概念时 ,可先设置 2 一个与学生经验相冲突的方程 : x= - 1 , 引发学生的疑惑; 也可以直接选择“问题”来设置情境 , 如进行 “导数”概念的教学时 , 首先设置如下具有实际意义的问题 :已知变速直线运动的路程函数, 求某时刻的 ( )瞬时速度. 让学生面临经验中的匀速与问题中的变速的矛盾. 也可利用数学概念的直观性 如几何直观 2 1 1 2 x - 设置情境 , 如教学“函数的连续性”时 , 笔者引入了函数 y = x, y = 和 y =的图象 , 以引发学生x x - 1 的观察与思索. 2 . 2 将疑难困惑上升到数学的理性化 在上述疑难的情境中 , 学生就要思考疑难究竟在哪里以及疑难是什么. 此时 , 引导学生找到疑难、确 定疑难的性质 , 将表现为困难、疑惑的因素加以数学的“理智化, ”即从上述种种情境中的疑难归结为数 2 学问题. 这样明确了困难所在 , 反思性思维就比较容易进行了. 如方程 x= - 1 带来的问题是在实数集里 找不到它的解; 瞬时速度的问题是如何从已知的匀速运动的速度公式解决这里未知的瞬时速度; 观察了 2 1 1 x - 2 以上三个函数 y = x, y = 和 y =的图象所产生的疑惑是 :为什么有的函数图象在整个定义域1 x - x 里是连续不断的 , 而有的函数图象却在某些点处发生间断. ? 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. () 28 泉州师范学院学报 自然科学2008 年 3 月 2 . 3 通过观察 、探索分析概括形成概念 杜威的“思维五步”指出人们的思维在经历了疑难情境 、找出问题之后 , 就进入了第三、四阶段 :提出 解决疑难的各种假设 ; 推断哪一种假设能解决疑难. 在数学概念教学中 , 这一阶段的思维活动可以是引 导学生进行观察、推断、探索 , 通过寻求解决问题的方法参与到概念的生成过程中来 , 亲历由特殊到一 般、由具体到抽象、由直观表述到严格的形式化表述的辨证思想过程. 例如 , 为了求出瞬时速度 , 首先由已知的匀速直线运动的速度公式得到启发 , 先将时间段化小 , 以一 小时间段为研究对象 , 求出它的平均速度 , 进而引导学生思考. 求出的平均速度与要求的瞬时速度有什 么联系. 当时间段越取越小 , 平均速度的变化趋势是什么 ?这样 , 通过已有的知识和不断提出的问题的激发 , 学生进行了观察、联想、比较、思考 , 自己意识到通过对平均速度取极限便可得到瞬时速度. 用同样的 方法 , 可让学生解决交流电的瞬时电流强度和细杆在一点处的线密度. 结果发现 , 几个不同的物理问题 得出了相同的数学模式. 至此 , 学生的注意力集中到了这一重要的数学模型上 , 这样就水到渠成地抽象 出导数定义. 在函数的连续性概念教学中 , 充分利用概念的直观性 , 让学生从见到的函数图形的形象关系产生对 数量关系的直接感知 , 从而领会连续与间断的数学本质. 在观察连续函数图形时 , 引导学生动态地观察 自变量的改变量与因变量的改变量的变化规律 , 通过几何直观 , 学生直接认识到蕴涵于图形中的数量变 化规律 , 借助于已学过的极限概念 , 自己便可总结出“连续”的增量定义式. 2 . 4 在应用中检验 、反思概念建构概念体系 杜威描述的“思维五步”的第五阶段是 :用行动检验假设 , 并认为这是思维过程的一个重要阶段 “, 对 养成良好的思维习惯是必需的”. 在杜威看来 , 检验的结果不管是成功还是失败 , 真正善于思维的人学到 的东西和得到的教益是完全相等的. 对于数学概念教学来说 , 这个阶段的思维活动体现为学生自觉地应 用概念解释新的现象 , 解决新的问题 , 即通过应用检验 、反思概念的意义和有效性. 这个环节的发生在时 间上有时是即时的 , 即在建构一个新的概念之后 , 可立即去检验、反思它的有效性; 但有时是滞后的 , 即要反思某个概念的意义 , 需在其他新的概念出现时进行. 通常的教学往往忽视了后者 , 因而学生体会不 到所学的概念在数学整体中的地位 , 体会不到数学中概念与概念间的融洽 、和谐的关系. ( ) 对概念的反思可从以下两个方面进行 : 1在数学内部知识的联系中反思概念的意义. 例如 “, 邻域” 以及“去心邻域”这两个概念都是指点集 , 它们的意义何在从其定义里看不出来 , 但在后继学习新的概念 如“极限”“、连续性”“、极植”等的时候 , 邻域以及去心邻域的意义就凸显出来 :正是“邻域”刻画了“函数 ( ) 极限”概念中的两个变量 自变量和因变量的运动变化过程 , 也正是邻域区分开了“极值”与“最值”这 两个容易混淆的概念 , 而要区分“极限”与“连续”则要用“去心邻域”. 至此 , 当把前后知识融会贯通起来 , () ( ) 对邻域的认识便从简单变得丰富 、深刻 这里对“邻域”、“去心邻域”的反思是滞后的. 2在数学的内外 部知识的联系中反思概念的意义. 例如 , 当总结出“连续性”概念的形式化定义 : li m ?y = 0 , 可引导学 ?x ?0 生举出日常生活的例子来深化对概念的认识 :气温随时间的变化过程 、汽车行驶经过的路程随时间的变化关系等 ,用连续性概念的形式化定义解释“为什么早晚的温差能感觉到 ,而 1 s 内 、0 . 1 s 内或更短的时 间内却感觉不到温差”;又例如对泰勒公式的认识 ,也可举出学生熟悉的例子达到从抽象到具体的转化 , 1 1 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( 如物理中的位移公式 : s t= vt + at , 用导数的形式可写成 : s t= s 0+ s′0t - 0+ s″0t0 2 2 2 ) - 0, 这正是泰勒公式抽象的形式在物理中的具体体现. 杜威认为 ,离开对知识的整理 、排列 ,思维也就无法存在. 在数学概念教学中 ,善于总结所学的概念 ,理清概念间的联系、异同 ,建构起和谐、统一的概念体系 ,也是培养良好思维习惯的关键. 例如 ,对导数的 认识应从瞬时速度、电流强度、线密度等具体意义中总结出导数的本质含义 : 变化率 ; 将一元函数 、多元 函数、向量函数统一于“映射”概念中 ;多元函数微分学中的极限、连续 、偏导数、全微分、方向导数等概念 可与一元函数微分学中的相应概念作类比 ,整理出它们之间的联系与异同. 这样 ,通过整理、排列 ,所学 概念不再是孤立、凌乱的 ,而达到了杜威所描述的反思后的“清晰、连贯、确定、谐的情境”. ? 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 29 第 2 期段耀武等 :反思性思维 :在数学概念教学中生成 对概念理解的深度直接影响着学生学习数学的质量 ,教师在概念教学中注重培养学生的反思性思 维习惯 ,是实现数学概念所独具的教学功能的有效手段. 3 结束语 反思性思维是思维的最高形式. 思维离不开概念 ,概念是思维活动的基本元素 ,离开了概念人们就 无法进行思维活动. 因此 ,对概念的掌握和理解的程度决定了思维水平的高低 ,另一方面 ,数学知识是一 种形式化 、逻辑化的知识 ,它是由概念为起点 ,从概念而生命题 ,从命题而生知识体系. 学习数学知识不 ( 在于掌握其物理形态的符号 ,符号只是数学思维的载体 ,学习数学就是要学会“数学地思维”Mat he mat2 ) icall y Thi nki ng. 毫无疑问 ,数学能力、数学素质高低取决于数学概念的掌握 ,而数学能力 、数学素质表 征于数学思维中. 因此 ,提高数学思维能力就应该加强数学概念的教学. 参 考 文 献 : [ 1 ] 杜 威. 杜威教育论著选[ M ] . 赵祥麟 ,王承绪 ,编译. 上海 :华东师范大学出版社 ,1981 . [ 2 ] 杜 威. 民主主义与教育[ M ] . 王承绪 ,译. 北京 :人民教育出版社 ,1990 . [ 3 ] J D EW E Y. Ho w We Thi n k . D. C. Heat h a nd Co mp a ny . Bo sto n ,1933 . [ 4 ] 邵瑞珍. 教育心理学[ M ] . 上海 :上海教育出版社 ,1983 . To Cult ivate the Ha bit of Rethinking in Teaching Mathematics Conception 1 2D U A N Yao2w u,C H EN G Gua ng2we n (1 . Biochemical Engi neering College ,Beiji ng U nio n U niver sit y ,Beijing 100023 ,China ; )2 . Educatio nal A dmini st ratio n ,Q ua nzho u No r mal U niver sit y , Fujian 362000 ,Chi na Abstract : The co ncep t of mat he matic s i s a p ro duct of t hi n ki ng . O n t he ba se of Dewey’t heo r y of ref lec2tio n a nd t eachi ng , t he co ncep tio n mu st be t a ught i n t he w hole t eac hi ng p roce ssio n a nd e mp lo ye d by re2 vivificatio n , so it be hoo ve s u s to i n st r uct st ude nt s to ret hi nk t he co ncep tio n . B y t hi s way ,we ca n c ulti2 vat e t hei r ha bit to ref lect i n lea r ni ng mat he matic s. Key words : mat he matical t eac hi ng ; mat he matical co ncep t ; ref lect t hi n ki ng ? 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.