芝诺悖论与微积分的关系

芝诺悖论与微积分的关系 芝诺悖论是古希腊数学家芝诺(约在公元前464-前461)提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论是芝诺反对存在运动的论证。其中最著名的两个是:“阿基里追不上乌龟”和“飞矢不动”。 “阿基里斯”悖论:“快跑者追不上慢跑者”。因为追赶者必须先到慢跑者的起点，而在此同时，慢跑者又到达了前面的一点，就这样有无穷的起点在等着他。 那么，阿基里斯真的追不上乌龟了吗? 当然不是。对于“阿基利斯追不上乌龟”这个悖论，从理论上说，芝诺只做了“微分”，而没有做“积分”，也就是说，他的工作只做了一半。而且，他还偷换了概念。无穷小的概念是:趋近于零，但不等于零。在无穷小“dx”里，芝诺在乌龟那里只部分强调了“不等于零”的概念，而在阿基里斯那里只部分强调了“趋近于零”的概念。换句话说，芝诺在同一个问题中，采取了两个不同的标准，得出悖论就很正常的。而这种不同的标准，其实是一个概念的两个方面。 “飞矢不动”悖论:“飞着的箭是静止的”。飞箭在任一瞬间必静止在一确定的位置上。所以运动就是由许多的静止组成。 “飞矢不动”这个悖论最关键的地方，是所谓“瞬间”。理论上的物理学“瞬间”意思是时间长短为零。而在实际中，时间长短永远不可能为零。简单来说，“芝诺悖论”的错误就在于，他将无穷小彻底等同于零。无穷小等于零之后，再怎么相加、累积，最终的结果当然都是零，所以得出推论“飞矢”是“不动”的。但是，真正的概念是无穷小只是趋近于零，无穷个“趋近于零”的无穷小相加、累积之后，就会有一个确切的值。 其实，“芝诺悖论”的这个隐蔽手段也经常出现在现实之中，比方说“自由”。从一个侧面说，人的自由似乎是绝对的，是所谓“天赋人权”，但是在另一个方面，任何自由都必然要受到限制的。我们在讨论问题的时候，如果仅仅只是强调“自由”的一个侧面，就会得出不同的结果。如果在同一个问题上转换“自由”概念的不同侧面，就会造成自相矛盾。 芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。前两个悖论诘难了关于时间和空间无限可 分，因而运动是连续的观点，后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分，因而运动是间断的观点。芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀起了一场轩然大波。它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但由于他们“对无穷的恐惧”和“对严密论证的追求”，使他们最终堵塞了通往无穷小分析发展的道路。 然而“芝诺悖论”却影响了许多代的数学思想，可以这么说，它是追究数学上的严谨性的开始。无理数的发现和“芝诺悖论”的提出，迫使人们这样的思考:数学内部居然也有逻辑矛盾，那么数学能不能作为一门严格的科学呢,“芝诺悖论”的发现揭示了矛盾，动摇了数学基础;但也正应为揭露了矛盾，使人们发现了数学理论本身所存在的问题，然后设法解决问题，从而加固了数学的基础，促进了数学的发展。芝诺不自觉的预示解决这些悖论的途径，但他本身并没有产生出解决悖论的 办法 鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载企业年金办法下载企业年金办法下载 。不过“芝诺悖论”却以潜科学形态孕育辩证法和极限思想。 经过许多人多年的努力，终于在17世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，他们的功绩主要在于:把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法;有明确的计算步骤;微分法和积分法互为逆运算。由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为当时解决问题的重要工具。同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。关键问题就是无穷小量究竞是不是零,无穷小及其分析是否合理, 在推导一些定理和公式时，在逻辑上出现了前后矛盾，使人感到了不安，并且也给微积分带上了神秘的色彩，这个神秘主要体现在对无穷小量的解释上。例如牛顿在推导中是这么处理无穷小量的，第一步，他用无穷小量作分母进行除法; 2y,x第二步，他又把无穷小量看做零，以去掉那些包含它的项。例如在求函数 2222的导数，当时是这么计算的:??y,xy，dy,(x，dx),x，2xdx，(dx) dy22,2x，当忽略不计式中的时 进而。 dy,2xdxdy,2xdx，(dx)(dx)dx 2y,x2x在式子中，就是函数的导数，这个运算结果是正确的，但他是在 2(dx)dx忽略的基础上得到的，从正统的数学来看应该是等于零的否则就不能把 2(dx)去掉，但从式子中可以看出它不应该为零，因为它做除数了，而除数不能 为零。牛顿看到了这个矛盾，但是他无法摆脱它，这就是微积分悖论。“微积分悖论”的产生，由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。 从微积分悖论悖论的产生开始，人们便开始尝试着去解决它，其中包括达朗贝尔、阿贝尔、柯西、康托尔等，中间经历了半个多世纪，随着微积分悖论的解决，建立了实数理论，以及在实数理论上建立起的极限理论，从而使微积分理论建立在实数理论的严格基础上。因此微积分悖论促进了微积分理论的发展，巩固了微积分理论的基础，对数学的发展产生了深远的影响。 因此一个数学理论中出现了悖论，并不一定证明这个数学理论是错误的。一个数学理论中出现了悖论，也不用恐慌，应该勇敢的去正视它，面对它分析它。数学悖论是数学的生长点，通过分析、解决一个数学理论中悖论的可能会完善发展该原有理论，也可能会创造新的数学理论，甚至产生数学革命，所以说数学悖论能促进数学的发展。 (10级数学与应用数学1班20号李慧凤) • • • • • • • • • • • • • • • • • • 【唯美句子】 走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。懒洋洋的幸福。 顶 3 收藏 2 • 【唯美句子】 一个人踮着脚尖，在窄窄的跑道白线上走，走到很远的地方又走回来。阳光很好，温暖，柔和。漫天的安静。 顶 7 收藏 7 • 【唯美句子】 清风飘然，秋水缓淌。一丝云起，一片叶落，剔透生命的空灵。轻轻用 手触摸，就点碎了河面的脸。落叶舞步婀娜不肯去，是眷恋，是装点,瞬间回眸，点亮了生命精彩。 顶 11 收藏 9 • 【唯美句子】 几只从南方归来的燕子，轻盈的飞来飞去，“几处早莺争暖树，谁家新燕啄春泥，”其乐融融的山林气息，与世无争的世外桃源，让人心旷神怡。 顶 0 收藏 2 • 【唯美句子】 流年清浅，岁月轮转，或许是冬天太过漫长，当一夜春风吹开万里柳时，心情也似乎开朗了许多，在一个风轻云淡的早晨，踏着初春的阳光，漫步在碧柳垂青的小河边，看小河的流水因为解开了冰冻而欢快的流淌， 清澈见底的的河水，可以数得清河底的鹅软石，偶尔掠过水面的水鸟，让小河荡起一层层的涟漪。河岸换上绿色的新装，刚刚睡醒的各种各样的花花草草，悄悄的露出了嫩芽，这儿一丛，那儿一簇，好像是交头接耳的议论着些什么，又好象是在偷偷地说着悄悄话。 顶 3 收藏 4 • 【唯美句子】 喜欢海子写的面朝大海春暖花开，不仅仅是因为我喜欢看海，还喜欢诗人笔下的意境，每当夜深人静时，放一曲纯音乐，品一盏茶，在脑海中搜寻诗中的恬淡闲适。在春暖花开时，身着一身素衣，站在清风拂柳，蝶舞翩跹的百花丛中，轻吹一叶竖笛，放眼碧波万里，海鸥，沙滩，还有扬帆在落日下的古船，在心旷神怡中，做一帘红尘的幽梦。 顶 0 收藏 2 • 【唯美句子】 繁华如三千东流水，你只在乎闲云野鹤般的采菊东篱、身心自由，置身置灵魂于旷野，高声吟唱着属于自己的歌，悠悠然永远地成为一个真真正正的淡泊名利、鄙弃功名利禄的隐者。 顶 1 收藏 3 【唯美句子】 世俗名利和青山绿水之间，你选择了淡泊明志，持竿垂钓碧泉绿潭;权• 力富贵和草舍茅庐之间，你选择了宁静致远，晓梦翩跹姹紫嫣红。 顶 2 收藏 3 • 【唯美句子】 那是一株清香的无名花，我看到了它在春风夏雨中风姿绰约的模样，可突如其来的秋雨，无情的打落了它美丽的花瓣，看着它在空谷中独自凋零，我莫名其妙的心痛，像针椎一样的痛。秋雨，你为何如此残忍，为何不懂得怜香惜玉，我伸出颤抖的双手，将散落在泥土里的花瓣捧在手心。 顶 4 收藏 5 • 【唯美句子】 滴答滴答，疏疏落落的秋雨，赶着时间的脚步，哗啦啦的下起来。听着雨水轻轻地敲击着微薄的玻璃窗，不知不觉，我像是被催眠了一样，渐渐的进入了梦乡。 顶 3 收藏 5 • 【唯美句子】 在这极致的悲伤里，我看到了世间最美的爱，可谁又能明白，此刻的我是悲伤还是欢喜，也许只有那拨动我心弦的秋季，才知道潜藏在我心中的眼泪。 顶 4 收藏 3 • 【唯美句子】 看着此情此景，我细细地聆听。像是听到了落叶的呢喃，秋风的柔软，在这极短的瞬间，他们一起诉说着最美的爱恋，演绎着永恒的痴缠。当落叶安详的躺在大地，露出幸福的模样，你看，它多像一个进入梦乡的孩子。突然发现，秋风并非是想象中的刽子手，原来它只是在叶子生命的最后一刻，让它体会到爱的缠绵，飞翔的滋味。 顶 1 收藏 1 • 【唯美句子】 很感谢那些耐心回答我的人，公交上那个姐姐，还有那位大叔，我不知道他们是不是本地人，但我们遇到的一个交警协管，一位头发花白的大姐，她是上海本地 人，很和善，并不像有些人说的上海人很排外。事实上，什么都不是绝对的。 顶 2 收藏 0 • 【唯美句子】 我嗅到浓郁的香奈尔，却也被那种陌生呛了一鼻。也许，我却不知道，那时的感受了。那里没有那么美好，没有安全感，归属感。我想要的自由呢，不完全地体验到了。 顶 2 收藏 1 • 【唯美句子】 那些繁华的都市，车水马龙，灯红酒绿，流光溢彩，却充斥着一种悲哀，浮夸。我看到各种奢华，却也看到各种卑微，我看到友善亲和，也看到暴躁粗鲁，我看到金光熠 • 【优美语句】 踏过一片海，用博识的学问激起片片微澜;采过一丛花，正在聪慧的碰碰外送来缕缕清喷鼻;无过一个梦，决定从那里启程。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 人生如一本书，应该多一些精彩的细节，少一些乏味的字眼;人生如一支歌，应该多一些昂扬的旋律，少一些忧伤的音符;人生如一幅画，应该多一些亮丽的色彩，少一些灰暗的色调。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱是一滴甘露，亲吻干涸的泥土，它用细雨的温情，用钻石的坚毅，期待着闪着碎光的泥土的肥沃;母爱不是人生中的一个凝固点，而是一条流动的河，这条河造就了我们生命中美丽的情感之景。 顶 0 收藏 0 【优美语句】 生活如海，宽容作舟，泛舟于海，方知海之宽阔;生活如山，宽容为径，• 循径登山，方知山之高大;生活如歌，宽容是曲，和曲而歌，方知歌之动听。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱就是一幅山水画，洗去铅华雕饰，留下清新自然;母爱就象一首深情的歌，婉转悠扬，轻吟浅唱;母爱就是一阵和煦的风，吹去朔雪纷飞，带来春光无限。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 努力奋斗，天空依旧美丽，梦想仍然纯真，放飞自我，勇敢地飞翔于梦想的天空，相信自己一定做得更好。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 品味生活，完善人性。存在就是机会，思考才能提高。人需要不断打碎自己，更应该重新组装自己。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱是一缕阳光，让你的心灵即使在寒冷的冬天也能感到温暖如春;母爱是一泓清泉，让你的情感即使蒙上岁月的风尘依然纯洁明净。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱是温暖心灵的太阳;母爱是滋润心灵的雨露;母爱是灌溉心灵的沃土;母爱是美化心灵的彩虹。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 一轮金色的光圈印在海面，夕阳将最后的辉煌撒向了大海，海平面波光潋滟，金光闪闪，夕阳下的海水让最后一丝蓝也带着感动。温和的海水轻轻地拍打着我的脚踝，我张开双臂拥抱最温馨的时刻„„我爱大海宽广的胸怀，无论多大的风浪，她都可以揽入怀中;无论多少风雨，都无法将她击垮;无论多少河流，她都可以容纳;我愿做一只填海的燕，填平她的波涛翻滚，填平她的汹涌愤怒，只留下平静、柔和的海面。