一阶微分方程积分因子探讨

一阶微分方程积分因子探讨一阶微分方程积分因子探讨一阶微分方程积分因子的求法探讨姓名:陈月凤专业:数学与应用数学学号:102260002034 摘要:针对满足某些条件的微分方程～本文将给出几种直接、有效地求积分因子的方法( 关键词:一阶微分方程,积分因子 1 积分因子的定义若对于一阶微分方程 MxydxNxydy,,0，,(1)，，，，其中，在矩形域内是的连续函数，且有连续的一阶偏导数(若存Mxy,Nxy,xy,，，，，在连续可微的函数，使得 ,xy,0,，，， ,,xyMxydxxyNxydy,,,,0，,...

一阶微分方程积分因子探讨一阶微分方程积分因子的求法探讨姓名:陈月凤专业:数学与应用数学学号:102260002034 摘要:针对满足某些条件的微分方程～本文将给出几种直接、有效地求积分因子的方法( 关键词:一阶微分方程,积分因子 1 积分因子的定义若对于一阶微分方程 MxydxNxydy,,0，,(1)，，，，其中，在矩形域内是的连续函数，且有连续的一阶偏导数(若存Mxy,Nxy,xy,，，，，在连续可微的函数，使得 ,xy,0,，，， ,,xyMxydxxyNxydy,,,,0，,，，，，，，，，为一恰当方程，即存在函数，使 V ( ,,MdxNdydV，, 则称为方程的积分因子( ,xy,(1)，，通过计算可得，函数为积分因子的充要条件为: ,xy,MdxNdy，,0，， ,,,,MN，，，，， ,,,xy 即 ,,,,,,,,MN (2)NM,,,,,,,,,,xyyx,, 这是个以为未知数的一阶线性偏微分方程，要想通过解方程2来求积分因子,，，通常很困难，但在若干特殊情况下，求积分因子还是容易的，下面总结了几种可以方便求出特殊类型的积分因子的方法( 2 积分因子存在的充要条件 ,,,,xy,，，定理1 方程MxydxNxydy,,0，,具有形如的积分因子的充，，，，，，，， 1 要条件为: ,1,,,,MN,,,,,,( MNfxy,,,,，，,，，,,,,，，yxxy,,,,,,,, 证明因为有积分因子的充要条件为 MxydxNxydy,,0，,，，，， ,,,,,,,,MN( NM,,,,,,,,,,xyyx,,令，则有 ,,,,，，xy,，，，， ,,ddMN,,,,,,,,， NM,,,,,，，,,dxdyyx,,,,,,,,即 ,1,,,,dMN,,,,,,,( NMfxy,,,,,，，,，，,,,,，，yxxy,,,,,,,,, 并由此得出其积分因子为 fd,,，，,( ,xye,,，，根据这个定理可以得出以下特殊类型的积分因子的充要条件( .12 具有形式的积分因子,,,x，，方程具有特殊因子的充要条件为 MdxNdy，,0,,,x，， ,,MN,,,yx， ,,x，，N ,xdx，，,这里仅为的函数(于是积分因子为( ,x,ex,，， 2.2 具有形式的积分因子,,,y，，方程MdxNdy，,0具有特殊因子,,,y的充要条件为，， ,,MN,,,yx， ,,y，，,M ,ydy，，,这里fy仅为的函数(于是积分因子为( y,e,，， 2 2.3 具有形式的积分因子,,,,xy，，方程具有特殊因子的充要条件为 MdxNdy，,0,,,,xy，， ,,,,MN,1( ,,,,MNfxy，，，，,,,,yx,, 32233222例1 求方程的积分因子( 23230xxyyydxyxyxx，，,，，，,,，，，，因为解 32233222，， Mxxyyy,，，,23Nyxyxx,，，,23,,,,MN2,1且，只与有关，于是有积分因子 xy，,,,,NM，，,,,,，yxxy,, 2,，dxy，，2,xy，( ,xye,,,，，xy， 222.4 具有,,,,xy形式的积分因子，， 22,,,,xy方程具有特殊因子的充要条件为 MdxNdy，,0，， ,,,,MN,122( ,,,,NxMyfxy，，，，,,,,yx,, 22xyydxxdy，，,,0例2 求方程的积分因子( ，， ,,,,MN1,122解因为，，且， Mxyy,，，Nx,,,,,,NxMy，，,,22,,，yxxy,, 122,，dxy，，,221xy，于是积分因子为( ,e,,22xy， 3 分组求积分因子法对于一些复杂的方程，往往不容易直接求出它们的积分因子，这是可以把它的左边分组，分别求出各组的积分因子，然后再求总的式子的积分因子( 例如分成两组: MdxNdyMdxNdy，，，,0 (3)，，，，1122 可分别求出各组的积分因子,和,，也就是如果有u，u使: 1212 3 ，( ,,MdxNdydu，,,,MdxNdydu，,1111122222 于是借助，常可求得得积分因子( ,,MdxNdy，,012 定理2 如果是的一个积分因子，且，则MdxNdy，,0,,MdxNdydu，,, 也是的积分因子(此处是的任一连续函数(而,,uMdxNdy，,0,uu，，，，，其中是的一个,,,,,,,,,uMdxuNdyuMdxNdyududu，,，,,,,，，，，，，，，，，，，原函数( 据此知，对任意的函数，，及都分别是的第一组,u,u,,u,,u3，，，，，，，，，，1122和第二组的积分因子(函数、有着广泛选择的可能性，若能选择、使: ,,,, ， ,,,,,,,uu，，，，1122 则就既是的第一组也是第二组的积分因子(因而也就是的积分因3MdxNdy，,0,，，子( 324例3 求方程xyydxxdy,，,20的积分因子( ，， 11342解原方程改写为xydxxdyydx，,,20，显然，，,，,uxy,,,，，21123yx 1111(为使，只需取，(于是求的原ux,gxygx,gxy,gx,，，，，，，，，122122325xyxxy，，方程的一个积分因子: 1,,( 52xy 综上所述，该文介绍一些特殊类型的积分因子的求法及部分特殊结构的微分方程的积分因子的求法，只要掌握这几种方法，就能很容易的解出一些方程的积分因子，将大大提高解微分方程的效率和可操作性( 参考文献: [1] 焦宝聪，王在洪，时红廷(常微分方程[M](北京:清华大学出版社，2008( [2] 吴淼生(关于非恰当方程积分因子的求法[J](宜春师专学报，1994，2(2):MdxNdy，,0 15-23( 4 [3] 钱伟长(常微分方程的理论及其解法[M](北京:国防工业出版社(1992( [4] 丁同仁，李承浩(常微分方程教程 [M](北京:高等教育出版社(1991( [5] 王高雄，周之铭，王寿松(常微分方程[M](北京:高等教育出版社(2006( [6] 李君士(积分因子的求法[J](九江师专学报:自然科学版，1989，8(2):64-68 5

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