数 学
（试卷满分：100分 考试时间：60分钟）
准考证号 姓名 座位号
一、选择题（本大题有6小题，每小题3分，18分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1.已知菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，则下列结论正确的是
A.点O到顶点A的距离大于到顶点B的距离
B.点O到顶点A的距离等于到顶点B的距离
C.点O到边AB的距离大于到边BC的距离
D.点O到边AB的距离等于到边BC的距离
2.已知（4＋
）·a＝b，若b是整数，则a的值可能是
A.
B. 4＋
C.8－2
D . 2－
3.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c和y＝max2＋mbx＋mc，其中a，b，c，m均为正数，且m≠1.
则关于这两条抛物线，下列判断正确的是
A.顶点的纵坐标相同 B.对称轴相同
C.与y轴的交点相同 D .其中一条经过平移可以与另一条重合
4.一位批发商从某服装制造公司购进60包型号为L的衬衫，由于包装工人疏忽，在包裹中
混进了型号为M的衬衫，每包混入的M号衬衫数及相应的包数如下
表
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所示.
M号衬衫数
1
3
4
5
7
包数
20
7
10
11
12
一位零售商从60包中任意选取一包，则包中混入M号衬衫数不超过3的概率是
A.
B.
C.
D .
x
－2
0
2
4
y甲
5
4
3
2
y乙
6
5
3.5
0
5.已知甲、乙两个
函数
excel方差函数excelsd函数已知函数 2 f x m x mx m 2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载
图象上的部分点的横坐标x与纵坐标y如下表所示.若在实数范围内，甲、乙的函数值都随自变量的增大而减小，且两个图象只有一个交点，则关于这个交点的横坐标a，下列判断正确的是
A. a＜－2 B. －2＜a＜0
C. 0＜a＜2 D .2＜a＜4
6. 一组割草人要把两块草地上的草割掉,大草地的面积为S，小草地的面积为
S.上午，全体组员都在大草地上割草.下午，一半人继续留在大草地上割草，到下午5时将剩下的草割完；另一半人到小草地上割草,到下午5时还剩下一部分没割完.若上、下午的劳动时间相同，每个割草人的工作效率也相等，则没割完的这部分草地的面积是
A.
S B.
S C.
S D .
S
二、填空题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）
7.甲、乙两人参加某商场的招聘测试，测试由语言和商品知识两个项目组成，他们各自的成绩（百分制）如下表所示.该商场根据成绩在两人之间录用了乙，则本次招聘测试中权重较大的是 项目.
应聘者
语言
商品知识
甲
70
80
乙
80
70
8.在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点A（4，5）逆时针旋转90°得到点B，则点B的坐标是 .
9.飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是
s＝60t－1.5t2，则飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是 秒.
10.如图3，AB为半圆O的直径，直线CE与半圆O相切于点C，
点D是
的中点，CB＝4，四边形ABCD的面积为2
AC，
则圆心O到直线CE的距离是 .
11.如图4，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝a，点E，F分别
是边AB，AD上的动点，且AE＋AF＝a，则线段EF的最小
图4
值为 .
三、解答题（本大题有6小题，共62分）
12.（本题满分8分）
如图7，在平面直角坐标系中，已知某个二次函数的图象经过点A（1，m），B（2，n），
C（4，t），且点B是该二次函数图象的顶点.请在图7中描出该函数图象上另外的两个点，并画出图象.
图7
13. （本题满分8分）
如图8，圆中的弦AB与弦CD垂直于点E，点F在
上，
＝
，直线MN过点D，且∠MDC＝∠DFC，求证：直线MN是该圆的切线.
14. （本题满分10分）
在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋4m（m＞0）的图象经过点B（p，2m），其中
m＞0.
（1）若m＝1，且k＝－1，求点B的坐标；
（2）已知点A（m，0），若直线y＝kx＋4m与x轴交于点C（n，0），n＋2p＝4m，
试判断线段AB上是否存在一点N ，使得点N到坐标原点O与到点C的距离之和等
于线段OB的长，并说明理由.
15. （本题满分11分）
如图9，在矩形ABCD中，点E在BC边上，动点P以2厘米/秒的速度从点A出发，沿
△AED的边按照A→E→D→A的顺序运动一周.设点P从A出发经x（x＞0）秒后，△ABP
的面积是y.
（1）若AB＝6厘米，BE＝8厘米，当点P在线段AE上时，求y关于x的函数表达式；
（2）已知点E是BC的中点，当点P在线段ED上时，y＝
x；
当点P在线段AD上时，y＝32－4x.求y关于x的函数表达式.
图9
16. （本题满分11分）
在⊙O中，点C在劣弧
上，D是弦AB上的点，∠ACD＝40°.
（1）如图10，若⊙O 的半径为3，∠CDB＝70°，求
的长；
（2）如图11，若DC的延长线上存在点P，使得PD＝PB，
试探究∠ABC与∠OBP的数量关系，并加以证明.
17. （本题满分14分）
已知y1＝a1(x－m)2＋5，点(m，25)在抛物线y2＝a2 x2＋b2 x＋c2上，其中m＞0.
（1）若a1＝－1，点(1，4)在抛物线y1＝a1(x－m)2＋5上，求m的值；
（2）记O为坐标原点，抛物线y2＝a2x2＋b2x＋c2的顶点为M．若c2＝0，点A(2，0)在此抛物线上，∠OMA＝90°求点M的坐标；
（3）若y1＋y2＝x2＋16 x＋13，且4a2c2－b22＝－8a2，求抛物线y2＝a2 x2＋b2 x＋c2的解析式.
数学参考答案
说明：解答只列出
试题
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的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照评分量表的要求相应评分.
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
题号
1
2
3
4
5
6
选项
D
C
B
C
D
B
二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分）
7.语言. 8.(－5，4). 9.20.
10.4
－2. 11.
a.
三、解答题（本大题有6小题，共62分）
12.（本题满分8分）
解：如图：
……………………8分
13.（本题满分8分）
证明：设该圆的圆心为点O，
在⊙O中，∵
＝
，
∴ ∠AOC＝∠BOF.
又∠AOC＝2∠ABC，∠BOF＝2∠BCF，
∴ ∠ABC＝∠BCF.…………………2分
∴ AB∥CF.…………………3分
∴ ∠DCF＝∠DEB.
∵ DC⊥AB，
∴ ∠DEB＝90°．
∴ ∠DCF＝90°．…………………4分
∴ DF为⊙O直径.…………………5分
且∠CDF＋∠DFC＝90°.
∵ ∠MDC＝∠DFC，
∴ ∠MDC＋∠DFC＝90°.
即DF⊥MN.…………………7分
又∵ MN过点D，
∴ 直线MN是⊙O的切线.…………………8分
14.（本题满分10分）
（1）（本小题满分4分）
解: ∵ 一次函数y＝kx＋4m（m＞0）的图象经过点B（p，2m），
∴ 2m＝kp＋4m.…………………2分
∴ kp＝－2m.
∵ m＝1，k＝－1，
∴ p＝2.…………………3分
∴ B（2，2）.…………………4分
（2）（本小题满分6分）
答：线段AB上存在一点N，使得点N到坐标原点O与到点C的距离之和等于线段OB的长.…………………5分
理由如下：
由题意，将B（p，2m），C（n，0）分别代入y＝kx＋4m，
得kp＋4m＝2m且kn＋4m＝0.
可得n＝2p.
∵ n＋2p＝4m，
∴ p＝m.…………………7分
∴ A（m，0），B（m，2m），C（2m，0）.
∵ xB＝xA，
∴ AB⊥x轴，…………………9分
且OA＝AC＝m.
∴ 对于线段AB上的点N，有NO＝NC.
∴ 点N到坐标原点O与到点C的距离之和为NO＋NC＝2NO.
∵ ∠BAO＝90°，
在Rt△BAO，Rt△NAO中分别有
OB2＝AB2＋OA2＝5m2，NO2＝NA2＋OA2＝NA 2＋m2.
若2NO＝OB，
则4NO2＝OB2.
即4（NA 2＋m2）＝5m2.
可得NA＝
m.
即NA＝
AB.…………………10分
所以线段AB上存在一点N，使得点N到坐标原点O与到点C的距离之和等于线段OB的长，且NA＝
AB.
15.（本题满分11分）
（1）（本小题满分5分）
解：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABE＝90°.
又AB＝8,BE＝6，
∴ AE＝
＝10. ……………………1分
设△ABE中，边AE上的高为h，
∵ S△ABE＝
AE
h＝
AB
BE，
∴ h＝
.……………………3分
又AP＝2x，
∴ y＝
x（0＜x≤5）.……………………5分
（2）（本小题满分6分）
解:∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B＝∠C＝90°，AB＝DC, AD＝BC.
∵ E为BC中点，
∴ BE＝EC.
∴ △ABE≌△DCE.
∴ AE＝DE.……………………6分
当点P运动至点D时，S△ABP＝S△ABD，由题意得
x＝32－4x，
解得x＝5. ……………………7分
当点P运动一周回到点A时，S△ABP＝0，由题意得32－4x＝0，
解得x＝8. ……………………8分
∴ AD＝2×（8－5）＝6.
∴ BC＝6.
∴ BE＝3.
且AE＋ED＝2×5＝10.
∴ AE＝5.
在Rt△ABE中，AB＝
＝4.……………………9分
设△ABE中，边AE上的高为h，
∵ S△ABE＝
AE
h＝
AB
BE，
∴ h＝
.
又AP＝2x，
∴ 当点P从A运动至点D时，y＝
x（0＜x≤2.5）.…………10分
∴ y关于x的函数表达式为：
当0＜x≤5时，y＝
x；当5＜x≤8时，y＝32－4x.………………11分
16.（本题满分11分）
（1）（本小题满分4分）
解：连接OC，OB.
∵ ∠ACD＝40°，∠CDB＝70°，
∴ ∠CAB＝∠CDB－∠ACD＝70°－40°＝30°.…………1分
∴ ∠BOC＝2∠BAC＝60°，………………2分
∴
＝
＝
＝
. ………………4分
（2）（本小题满分7分）
解：∠ABC＋∠OBP＝130°.………………………5分
证明：设∠CAB＝α，∠ABC＝β，∠OBA＝γ，
连接OC.
则∠COB＝2α.
∵ OB＝OC，
∴ ∠OCB＝∠OBC＝β＋γ.
∵ △OCB中,∠COB＋∠OCB＋∠OBC＝180°，
∴ 2α＋2(β＋γ)＝180°.
即α＋β＋γ＝90°.………………………8分
∵ PB＝PD，
∴ ∠PBD＝∠PDB
＝40°＋α. ………………………9分
∴ ∠OBP＝∠OBA＋∠PBD
＝γ＋40°＋α
＝(90°－β)＋40°
＝130°－β.………………………11分
即∠ABC＋∠OBP＝130°.
17.（本题满分14分）
（1）（本小题满分3分）
解：∵ a1＝－1，
∴ y1＝－(x－m)2＋5.
将（1，4）代入y1＝－(x－m)2＋5，得
4＝－(1－m)2＋5. …………………………2分
m＝0或m＝2.
∵ m＞0，
∴ m＝2.…………………………3分
（2）（本小题满分4分）
解：∵ c2＝0，
∴ 抛物线y2＝a2x2＋b2x.
将（2，0）代入y2＝a2x2＋b2x，得4a2＋2b2＝0.
即b2＝－2a2.
∴ 抛物线的对称轴是x＝1.…………………………5分
设对称轴与x轴交于点N，
则NA＝NO＝1.
又∠OMA＝90°，
∴ MN＝
OA＝1.…………………………6分
∴ 当a2＞0时， M（1，－1）；
当a2＜0时， M（1，1）.
∵25＞1，∴M（1，－1）……………………7分
（3）（本小题满分7分）
解：方法一：
由题意知，当x＝m时，y1＝5；当x＝m时，y2＝25，
∴ 当x＝m时，y1＋y2＝5＋25＝30.
∵ y1＋y2＝x2＋16x＋13，
∴ 30＝m2＋16m＋13.
解得m1＝1，m2＝－17.
∵ m＞0，
∴ m＝1.……………………………9分
∴ y1＝a1 (x－1)2＋5.
∴ y2＝x2＋16x＋13－y1
＝x2＋16x＋13－a1 (x－1)2－5.
即y2＝(1－a1)x2＋(16＋2a1)x＋8－a1. ………………………12分
∵ 4a2c2－b22＝－8a2，
∴ y2顶点的纵坐标为
＝－2.
∴
＝－2.
化简得
＝－2.
解得a1＝－2.
经检验，a1是原方程的解.
∴ 抛物线的解析式为y2＝3x2＋12x＋10.……………………14分
方法二：
由题意知，当x＝m时，y1＝5；当x＝m时，y2＝25；
∴ 当x＝m时，y1＋y2＝5＋25＝30.
∵ y1＋y2＝x2＋16x＋13，
∴ 30＝m2＋16m＋13.
解得m1＝1，m2＝－17.
∵ m＞0，
∴ m＝1.………………………………9分
∵ 4a2c2－b22＝－8a2，
∴ y2顶点的纵坐标为
＝－2.……………………10分
设抛物线y2的解析式为y2＝a2 (x－h)2－2.
∴ y1＋y2＝a1 (x－1)2＋5＋a2 (x－h)2－2.
∵ y1＋y2＝x2＋16x＋13，
∴
解得h＝－2，a2＝3.
∴ 抛物线的解析式为y2＝3(x＋2)2－2.……………………………14分
（求出h＝－2与a2＝3各得2分）
方法三：
∵ 点（m，25）在抛物线y2＝a2x2＋b2x＋c2上，
∴ a2m 2＋b2m＋c2＝25.（*）
①
∵ y1＋y2＝x2＋16x＋13，
③
②
∴
由②，③分别得b2m＝16m＋2m 2a1，c2＝8－m 2a1.
将它们代入方程（*）得a2m 2＋16m＋2m 2a1＋8－m 2a1＝25.
整理得，m 2＋16m－17＝0.
解得m1＝1，m2＝－17.
∵ m＞0，
∴ m＝1.………………………………………9分
∴
解得b2＝18－2a2，c2＝7＋a2. ………………………12分
∵ 4a2c2－b22＝－8a2，
∴ 4a2(7＋a2)－(18－2a2)2＝－8a2.
∴ a2＝3.
∴ b2＝18－2×3＝12，c2＝7＋3＝10.
∴ 抛物线的解析式为y2＝3x2＋12x＋10.……………………………14分
浙公网安备 33021202002483