【word】 一类广义W型李超代数
一类广义W型李超代数
数学
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年刊
2010,31A(4):395402
一
类广义型李超代数冰
任丽穆强张永正
提要构造了一类有限维广义Cartan型模李超代数,并证明了它是李超代数W(n)的一个扩张
进而决定了它的导子超代数.
关键词李超代数,导子超代数
MR(2ooo)主题分类17B50
中图法分类O1255
文献标志码A
文章编号1000—8314(2010)04—0395—08
1引言
我们知道,无论是在李代数还是李超代数中,导子(超)代数的研究都是重要而有趣
的课题[1-3].例如,模李超代数的自然滤过,自同构群,泛中心扩张及上同调群的研究都
依赖于相应的李超代数的导子超代数[4-r].文【8,9]研究了Cartan型
模李代数的导子代
数,文[3,1012]确定了单有限维Cartan型模李超代数的导子超代数.本文构造了一类
有限维广义Cartan型模李超代数,并且证明了它有一类导子D日,进而确定了的导
子超代数.
在本文中,基域F的特征P>2,m,n为大干2的整数.令N为正整数集,No为非
负整数集,z为整数集,Z2={,T}为整数模2剩余类环.设A(n)为F上礼个变元
z】,2,…,Xn的外代数.令
璐={(1,i2,?一,ik)l1?i1<i2<???<ik?n),B(佗):UB%
k=0
这里Bo=.对u:(ii,i2,…,ik)?B,令lI=,{u}={l,i2,…,ik},X”=
XiXi…Xik(1I=0,X=1).对于=(n+1,卅2,…,&)?,其中s=扎+m,
令=?..设(m)为F上具有基底{z(.)l?N)的除幂代数.对,i=
i=n+l
(,n十1,,+2,…,,),i=n+1,n+2,…,8,简记(为X.作张量积A(n,m)=
人(佗)2【(m).显然,A(n,m)是结合超代数,它的z2一阶化是由A(n)的自然z2一阶化和
2【(m)的平凡z2一阶化所诱导的.易知{“()l?,u?B(n))是无限维结合超代数
A(n,m)的一个??一基底.
简记Yo={1,2,…,札),一{礼+1,…,s),Y=You.对f?A(n),a?(m),简
记?厂a为.厂n.在A(n,m)中有下列等式成立:
(Q)()=()cQ+卢,,z.zj=一,,X(a)Xj=XjX(~0
本文2010年1月22日收到.
东北师范大学数学与统计学院,长春130024.E—mail:ren1944@nenu.edu.cn;zhyz@nenu.edu.cn
通讯作者.哈尔滨师范大学数学科学学院,哈尔滨150025.E—mail:qmu520@gmail.com
国家自然科学基金(No.10871057,No.10701019)资助的项目.
396数学年刊31卷A辑
这里Q,??i,,?Yo,(.)一不().
设J[)1,D2,…,D是A(n,m)上的线性变换,使得D(“z(“)=()-(,其中
i?Yo,则D1,D2,…,D是A(n,m)上的超导子.令
札
,
(1,n)={?D{?A,,),?l,0},z=1
则(n,m)是一个无限维的李超代数,并且是DerA(n,m)的一个子代数.我们用degz
表示A(n,m)或(n.『n7)中的z2一齐次元素的z2一次数.由文[13]知,在w(n,m)中,
如下公式成立:
[fD,gDJJ=fDO)DJ一(一1)d~g,Dt.ggDjgDj(f)Di,(1.1)
这里f,g?A(n,m),i,J?Yo.
给定=(+1.…,,)?N,7r一(不叶1,…,77-s),其中玑=Pz—l,i?.令
A(rn;t)={?NJQ?71”i,i?),2l(m;t)=spanF{x(“„JQ?(m;)),则A(礼,m;t):
span~{x”()l?B(n),(„?2【(m;))是A(n,m)的有限维子代数.令
n,
(『,n;)={?DJ?A(儿,m;),?Yo},=
1
则w(n,m;)是W(n,m)的一个有限维子代数.
易知,A(n,m;)具有自然z一阶化A(n,m;)一0A(nm;)这里A(n,rn;)=
z=o
spanF{xz(.)J+==?P”,并且它能诱导出W(n?;t)的自然阶化(n,m;
2=1
?,l
)=0W(n,m;).,其中(1n,rn;)={XUX【)DoI+lnl:i+1.J?).
在不会导致混淆的情况下,我们常将A(n,m;)和W(n,m;t)分别简记为A和.
2主要结果
在本节里,我们首先来确定的生成元,这将有利于决定的导子超代数.
引理2.1令={DJ,xiDj,xixjDjli,J?Yo},={Xix()DjIOg?,i,J?
1,则W由Mu生成.
证首先证明,对于任意的J?Yo,都有27l…-zDj?,这里表示Mu
生成的的子代数.对用归纳法证明??D?佗,其中il,i2,…,ik?,
ik+1?Iio\f1,…,i}.当=l时,显然成立.假设结论对尼一1成立,考虑时的情
形.由X…D?朋和归纳假设可以推出
[Xi1…Xi?Di…,Xi川XikDi川]=Xi1…XikDi…?.
特另0地,fzl…一lD,Xn--iD一1]=1…D?7已.于是[Xl???D,XnDj]=
z1…Dj?冗,其中J?\{n).这就证明了对于任意的J?,都有Xl…Dj?.
接下来对1=n—lul用归纳法证明z”Dj?7=己,其中j?Yo.由前面的证明可知,
f=0是成立的.考虑f>0的情形.这时一定存在?,使得2gkX”?0.由归纳假设可
知XkX”Dj?冗.于是,Xkx”Djj=z”?亿
4期任丽穆强张永正一类广义型李超代数397
现在证明”(.)Dj?,这里lu1?2,I7?Yo.注意到,当?{u)且?J时,等式
【”Dk,zkx()D=“()D成立.于是_z”()D3?冗.
引理2.2以下结论成立:
(1)令A一{?0(l?0,n?F},则A是9a(m;)的一个理想,并且有
0?A(m;)
9a(m;t1:A0F1.
(2)令r=sp~nF{x”0l?A(礼),0??),则F是A的一个理想.
(3)令I={“aD.I”?A(n),n?A,?Yo},则I是的一个理想.
证(1)设?0(?A,?b(卢)?9a(m;?),这里0.)6卢?F.如果
d?(m;兰)卢?_4(m;兰)
0=+(m;),则(.)=0,于是z()z()=()(+)=0.如果Q+?A(m;),由
?的定义,有?0,即+?0,因此()z()=(.)(时)?A.所以?是2【(m;)
的一个理想.
注意到??一bo?1?A,所以9X(m;t)=A+F1,又因为?nF1={0},所
?A(m;?)
以2【(m;)=A0IF1.
(2)设z”0?r,b?A,这里0EA,b?(m;).由引理2.2知,”b(x0)=
(“)(6n)?r,即r是A的一个理想.
(3)任取”aD.?,”bDj?W,这里0EA,bE(m;),i,J?Yo.由(1.1)和引理
2.2,直接计算得
[“0J[),bDj】=zaD~(z”6)J[)J一(一
=ab(x”D(“)Dj一(
1).bDJ(“a)D.
一
1).”D2.Dj”Dj(z”))?
所以,是的一个理想.
回忆w(n,rn)的定义知,w(n,0)=(“Djl”?A(n),J?Yo),并且它同构于李超
代数(n)(定义见文[14,P.57]).
定理2.1Ww(n)0I.
证设”aDj是的任意一个元素,这里.?2【(m;),J?Yo.由引理2.2,可以
把0分解为0:b+n.1,其中b?A,n?F,所以”aD=0”Dj+”bD.又因为
(几,0)n={0),且(n,0)是同构于(n)的,所以W(n)0.
,一1
回忆W=0是z一阶化的,这里={“(.)Djl+ll=i+1,J?y0),则
i=一1
DerW=0是z一阶化李超代数,这里
r?Z
DerW={?DerWl()+i,i=一1,?一,于是zlfl?0.令f=1fl,则D1(f)一fl,即当=1时,
数学年刊31卷A辑
结论成立.
假设结论对一1成立,考虑时的情形.由归纳假设,存在g?A(礼),使得Di(g)=,
i=1,2,…,一1.令f=g+fk—xkDk(g).当1?i?一1时,由归纳假设并注意
到Di(Dk(g))=一Dk(Di(g)),有D.()=fi.另一方面,由引理假设可知Dk(fk)=0,所
以%?0,于是Dk(Xkfk)=fk.所以
Dk(f)=Dk(g+Xkfk—xkDk(g))
=
Dk(g)+Dk(Xk)一Dk(xkDk(夕))
=
fk+Dk(g)一Dk(xkDk(9)).
如果Dk(g)=0,贝0Dk(f)=fk.如果Dk(f)?0,贝0Dk(xkDk(g))=Dk(g),即Dk(f)=fk.
归纳法完成,引理得证.
令0=(m;)=(m;t)×…×(m;).对任意的0=(h儿1卜1,…,h)?0,定义映
射0:(m;t)一2【(m;),使得对任意的OL=?OLj~j?(m:),
f&1
其中0??P一1.易见(+)=()+(),这里,?(m;).对任意的0?0,
定义映射Do:W一,使得对任意的z”z(„?A,
Dx”(J[)
z)=)z札z()D.
直接计算可得De?DeroW.
引理2.4设是DerW的一个z2-齐次元素.如果对任意的i?Yo,都有(J[))=0,
则存在0?0,使得(()D)=Do(z(Di),其中OL?(m;).
证对任意的i?Yo,设(z()Di)=?dki,这里dki.?A.对任意的J?Yo,有
等式([J[)7,()J[)])一0,两边同时作用得..
(一1)degsx(Z)Xi+,这里满足J[).()=0.因而
(DJ)=?D=(一1)如hjflx?DJ+gjDj+?gaDk.(2.1)
k=l?J
应用于等式)D,xix(f1)Dj]=(+f1)xl—f1)Dj,得到
((.)J[).),z()DJ]+(一1)eg(d)D,(z(卢)DJ)]:f1((a+),,u/
再利用(2.1)可得.+hjz一j(.+),其中i,J?Yo,Oz,?A(m;).特别地,..+
hj=hi(2)=hj+hj,即=.,Vi,J由0的定义知,h三?=()(roodp).于是
J=n+1
((.Di)=(.)D三()()D.:D日(()D{)(roodp),
引理得证.
命题2.1设r?0且?DerW为Z2一齐次导子,则存在Q?w和0?O,使得
=adQ+Do
证设p(Dk):?gikDi,:1,2,…,n.对任意,J?y,有等式[D,D】:0,两
边作用,得D(9z,):一DJ().由引理2.3,存在,i=1,2,…,n,使得D(,2):9
惫?.
令E=,(一1)de妒?D,直接计算得(D)=adE(D%),V?Y.即(一
adE)Di:0.由引理2.4知,存在?O,使得(一ad)((.)_,J):D目((n)D),这
里Do?Q.令1:一adE—D.,贝41((a)Di):0.
对任意的,J?Yo,i?J,设l(zDI7)=akD.注意到对任意f?,有等
式[J[)2,xiDj】:5i~Dj,两边作用1,得ak?2【(m:),?.再将1作用于等式
[xiDj,xjDj].酬xiDj,可得ak:0,V?y0\{歹).于是1(z)=ajDJ,其中nj?(m;).
进而可以假设~l(XiDi+i):D2+1,1(zD1):D1,这里b.?P2(rn;),i:1…,仡一1.
令2:1一?ad(bD),直接计算得
=l
q~2(xnD1)=0,g~2(x,iDi+1)=0,i=1,?一,礼,1.f2.2)
现在,我们要证明2()=0.由引理2.1,只需讨论以下3种情况.
(i)2(z.)=0,其中,J?Yo.设i?\{1,佗),并且2(D)=妻D,其中
Ck?(『凡;).对等式fxiDi,巧十1]=0,其中J?y0\{,i一1,),两边作用2,并且应用
(2.2)可得=0.类似地,将2分别作用于下面的等式
【Dz,2D2十1]=xiDi+l,[xiDi,xi一1Di]=一2gi一1Di,(zD{,xnD11:0,
可推得ci=ci—l:Cn:0.所以~2(xiDi)=0,V?go\(1,).同理可知2(zlD1):
2(znDn)=0于是2(zD)=0,Vi?y0.
设i?J?Yo.如果i<J,由等式[xiD冲1,Xi+lD计2j:xiDt+2,两边作用2,并且
应用(2.2)可得~2(xiDi+2)=0.再将2作用于等式ziD件3=[xiD汁2,Zi+2D件31,可得
2(D冲3)=0.重复如上讨论,可得2(iDj):0.如果i>J,由等式(3:n--1D,xnD11:
Xn—lD,两边作用2,并且应用(2.2)可得2(n-1D1)=0.继续相仿的证明,可知
数学年刊3l卷A辑
2(iD1):0.再将2作用于等式xiD2=[XiD1,XlD2],可得2(iJ[)2)=0.重复如上讨
论得~(xiDj):0.
礼
(ii)2(.z()Dj)=0,其中i,J?,设2(.(jDj)=?d~jkDk,其中,J?,
i?J.注意到,对任意的2?,都有等式[Di,z()Dj]=()Dj成立.两边同时作用
2,可得dijk?21(m;).取q?\{),2?\{易知[xiz()Dj,XqDt]=0.两边作用
2,并且应用(i)得d=0,Vq?\D),所以2(z(.)Dj):d巧,Dj.再将2作用于
等式Di,xix()Dj]=xix(Dj,可得dijj=0.于是2(【.)Dj):0.
对任意的?Yo,设~2(Jc(.JD)=?di~kDk,这里d.娩?(m;).注意到,对于
任意的J?y0\{等式fxiz(.)Di,巧Dj]=0成立.两边同时作用2,可得diij=0,即
2(甄(.)J[))=dD..再将2作用于等式[Xi()D,D,]=Xiz【Q)Dj,可得d:0.于
是2(.()D)=0.
n
(iii)2(z,J)=0其中,J?.设2(,,):?eD%.对等式[Dt,xixj]:
饥zDj一7zXD7,其中f?Yo,两边作用2,可得ek?9a(m;),Vk?.再将2作用
于等式[XiDi,z]=xixjDj,可得Ck=0,V?\{所以2(Dj)=eiDi.注
意到,对任意的口?\),等式,Xq%Dj]=z~ccjDj成立.两边作用2,可得
Ci=0.于是2(Dj)=0.
n
综上,我们证明了()=0,从而得到2=0,即=ad十?ad(bkDk)+Do.
=1
n
令Q=E+?bkDk,则=adQ十,这就证明了命题.
:1
令2={Dof0?@j.
命题2.2Der一1W:adr.1+—1.
证包含关系”是显然的.下面我们证明包含关系”.设?Der—1是z2一齐
次导子,则对任意的J?,有(Dj)?Der一2W={0}.因此,由引理2.4,存在0?e,
使得((.)D)=Do(z(jD),其中Do?I2—1.令l:一Do,贝01(【jD)=0.
对任意给定的i,J?,?J,设1(z.J[)J)=?.gDg,这里0q?F.取k,z?\<,歹),
q=l
有等式Dj,D=0成立.两边作用l,可得0=0.所以1(.Dj):aiDi+ajDj.类
似地,可以得到1(xiDk)=ciDi+ckDk,l(zDj)=dkDk+djDj,其中Ci,Ck,,?F.
再将1作用于等式[cciD~,cckDj]=zJ[)7,可得:0.于是1(.):ajDj.因此可设
1(xiDi+1)=J[)纠一l,l(zD1)=6D1,j塞里bi?F,=1,?--,n.
令2:1一?ad(bqDg),直接计算得2(D1)=0,2(D1)=0.相仿于命题
q:l
2.1,可以得到2()=0,即2=0,于是?ad1+j2—1,命题得证.
命题2.3若r>1,则Der一W=一.
证只需证明Der一WQ一,.设?Der一W是z2.齐次导子.对任意的J?,
有(DJ)?Der一一l:{0}.由引理2.4,存在0?@,使得(z()D):Do(z()D.),
其
中Do?Q一.令1=一Do,贝I1(z(“)D):0.
由引理2.1知,欲证1()=0,只需证明对于任意的,J?,有1(z(.)Dj)=0
4期任丽穆强张永正一类广义型李超代数
和qOl(x~xjD3)=0.
首先证明对任意的i,J?,有1(xix()Dj)0.设1(xix()J[)』)=?nfD2.对
任意的k?,等式[Dk,Xi()Dj]=()_D成立.两边作用1,并且由前面的证明
得al?(m;),VI?.取?Yo\{),q?y0\{由等式【xix()Dj,xkDq]=0,两
边作用l,可得ak=0,V后?Yo\{).于是1(xix()Dj)=ajDj.再将1作用于等式
[3~iDi,XiX【)Dj]=XiX()Dj一,jxix()Dj,可得aj=0.于是1(Xi(.)Dj)一0.
再来证明对任意的i,J?,i?J,有1(xjDj)=0.设n~91(xixjDj)=?dtDl
!=1
应用1于等式[Dk,XiXjDj]=5ikxjDj一6jkxDj,其中?,可推得df?(m;),
Vl?.再将1作用于等式[xiDi,xixjDj]=xixjDj,可得dl=O,,?Yo\{于
是991(xi2cjDj)=diDi.注意到,对任意的q?\J),等式[xiDq,qxjDj]=XixjDJ
成立.两边作用l,可得=0.于是~l(xixjDj)=0,所以1(W)=0.这就证明了
=
Do.故命题得证.
引理2.5下面结论成立:
(1)Q是DerW的子空间.
(2)adWn={O).
证(1)设0,?@.由0的定义知,对任意的
设”z(D是的一个基元素.直接计算得(D日
于是Do+D=Do.同理,对任意的k?F,kD日
(2)设adnQ?f0),则存在B?W,0?
J?adB(DJ)
xjDjl
=
Do(Dj).
adB(x3D5)
0.因此可设B=
OZ?A(m,),()+(n)=0+().
+D)(zzL”)D.)=D日+”(z”z()D).
=
Dko.从而(1)成立.
@,使得adB=D目.于是对任意的
礼
?0Di,ai?9a(m;).直接计算得
t=1
Do(xjDj)=0,即一0,?.于是B一0
由命题2.12.3及引理2.5可以直接得到下面的定理
定理2.2DerW=adW?
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RENLiMUQiang.ZHANGYongzheng
1SchoolofMathematicsandStatistics,NortheastNormalUniversity,Chang
chun
130024,China.E—maihren1944~nenu.edu.cn;zhyz@nenu.edu.cn
Correspondingauthor.SchoolofMathematicalSciences,HarbinNormalUni
—
versity,Harbin150025,China.E—mail:qmu520@gmailcom
AbstractTheauthorsstudyaclassoffinite—dimensionalgeneralizedCartan—typeLieSU—
peralgebrasWoverafieldofprimecharacteristic,whichareextensionsofLies
uperalgebras
(礼),andgiveadetaildescriptionoftheZ—homogeneousderivationsofW-
KeywordsLiesuperalgebra,Derivationsuperalgebra
2000MRSubjectClassification17B50