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【word】 一类广义W型李超代数【word】 一类广义W型李超代数 一类广义W型李超代数 数学年刊 2010,31A(4):395402 一 类广义型李超代数冰 任丽穆强张永正 提要构造了一类有限维广义Cartan型模李超代数,并证明了它是李超代数W(n)的一个扩张 进而决定了它的导子超代数. 关键词李超代数,导子超代数 MR(2ooo)主题分类17B50 中图法分类O1255 文献标志码A 文章编号1000—8314(2010)04—0395—08 1引言 我们知道,无论是在李代数还是李超代数中,导子(超)代数的研...

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【word】 一类广义W型李超代数 一类广义W型李超代数 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 年刊 2010,31A(4):395402 一 类广义型李超代数冰 任丽穆强张永正 提要构造了一类有限维广义Cartan型模李超代数,并证明了它是李超代数W(n)的一个扩张 进而决定了它的导子超代数. 关键词李超代数,导子超代数 MR(2ooo)主题分类17B50 中图法分类O1255 文献标志码A 文章编号1000—8314(2010)04—0395—08 1引言 我们知道,无论是在李代数还是李超代数中,导子(超)代数的研究都是重要而有趣 的课题[1-3].例如,模李超代数的自然滤过,自同构群,泛中心扩张及上同调群的研究都 依赖于相应的李超代数的导子超代数[4-r].文【8,9]研究了Cartan型 模李代数的导子代 数,文[3,1012]确定了单有限维Cartan型模李超代数的导子超代数.本文构造了一类 有限维广义Cartan型模李超代数,并且证明了它有一类导子D日,进而确定了的导 子超代数. 在本文中,基域F的特征P>2,m,n为大干2的整数.令N为正整数集,No为非 负整数集,z为整数集,Z2={,T}为整数模2剩余类环.设A(n)为F上礼个变元 z】,2,…,Xn的外代数.令 璐={(1,i2,?一,ik)l1?i1<i2<???<ik?n),B(佗):UB% k=0 这里Bo=.对u:(ii,i2,…,ik)?B,令lI=,{u}={l,i2,…,ik},X”= XiXi…Xik(1I=0,X=1).对于=(n+1,卅2,…,&)?,其中s=扎+m, 令=?..设(m)为F上具有基底{z(.)l?N)的除幂代数.对,i= i=n+l (,n十1,,+2,…,,),i=n+1,n+2,…,8,简记(为X.作张量积A(n,m)= 人(佗)2【(m).显然,A(n,m)是结合超代数,它的z2一阶化是由A(n)的自然z2一阶化和 2【(m)的平凡z2一阶化所诱导的.易知{“()l?,u?B(n))是无限维结合超代数 A(n,m)的一个??一基底. 简记Yo={1,2,…,札),一{礼+1,…,s),Y=You.对f?A(n),a?(m),简 记?厂a为.厂n.在A(n,m)中有下列等式成立: (Q)()=()cQ+卢,,z.zj=一,,X(a)Xj=XjX(~0 本文2010年1月22日收到. 东北师范大学数学与统计学院,长春130024.E—mail:ren1944@nenu.edu.cn;zhyz@nenu.edu.cn 通讯作者.哈尔滨师范大学数学科学学院,哈尔滨150025.E—mail:qmu520@gmail.com 国家自然科学基金(No.10871057,No.10701019)资助的项目. 396数学年刊31卷A辑 这里Q,??i,,?Yo,(.)一不(). 设J[)1,D2,…,D是A(n,m)上的线性变换,使得D(“z(“)=()-(,其中 i?Yo,则D1,D2,…,D是A(n,m)上的超导子.令 札 , (1,n)={?D{?A,,),?l,0},z=1 则(n,m)是一个无限维的李超代数,并且是DerA(n,m)的一个子代数.我们用degz 表示A(n,m)或(n.『n7)中的z2一齐次元素的z2一次数.由文[13]知,在w(n,m)中, 如下公式成立: [fD,gDJJ=fDO)DJ一(一1)d~g,Dt.ggDjgDj(f)Di,(1.1) 这里f,g?A(n,m),i,J?Yo. 给定=(+1.…,,)?N,7r一(不叶1,…,77-s),其中玑=Pz—l,i?.令 A(rn;t)={?NJQ?71”i,i?),2l(m;t)=spanF{x(“„JQ?(m;)),则A(礼,m;t): span~{x”()l?B(n),(„?2【(m;))是A(n,m)的有限维子代数.令 n, (『,n;)={?DJ?A(儿,m;),?Yo},= 1 则w(n,m;)是W(n,m)的一个有限维子代数. 易知,A(n,m;)具有自然z一阶化A(n,m;)一0A(nm;)这里A(n,rn;)= z=o spanF{xz(.)J+==?P”,并且它能诱导出W(n?;t)的自然阶化(n,m; 2=1 ?,l )=0W(n,m;).,其中(1n,rn;)={XUX【)DoI+lnl:i+1.J?). 在不会导致混淆的情况下,我们常将A(n,m;)和W(n,m;t)分别简记为A和. 2主要结果 在本节里,我们首先来确定的生成元,这将有利于决定的导子超代数. 引理2.1令={DJ,xiDj,xixjDjli,J?Yo},={Xix()DjIOg?,i,J? 1,则W由Mu生成. 证首先证明,对于任意的J?Yo,都有27l…-zDj?,这里表示Mu 生成的的子代数.对用归纳法证明??D?佗,其中il,i2,…,ik?, ik+1?Iio\f1,…,i}.当=l时,显然成立.假设结论对尼一1成立,考虑时的情 形.由X…D?朋和归纳假设可以推出 [Xi1…Xi?Di…,Xi川XikDi川]=Xi1…XikDi…?. 特另0地,fzl…一lD,Xn--iD一1]=1…D?7已.于是[Xl???D,XnDj]= z1…Dj?冗,其中J?\{n).这就证明了对于任意的J?,都有Xl…Dj?. 接下来对1=n—lul用归纳法证明z”Dj?7=己,其中j?Yo.由前面的证明可知, f=0是成立的.考虑f>0的情形.这时一定存在?,使得2gkX”?0.由归纳假设可 知XkX”Dj?冗.于是,Xkx”Djj=z”?亿 4期任丽穆强张永正一类广义型李超代数397 现在证明”(.)Dj?,这里lu1?2,I7?Yo.注意到,当?{u)且?J时,等式 【”Dk,zkx()D=“()D成立.于是_z”()D3?冗. 引理2.2以下结论成立: (1)令A一{?0(l?0,n?F},则A是9a(m;)的一个理想,并且有 0?A(m;) 9a(m;t1:A0F1. (2)令r=sp~nF{x”0l?A(礼),0??),则F是A的一个理想. (3)令I={“aD.I”?A(n),n?A,?Yo},则I是的一个理想. 证(1)设?0(?A,?b(卢)?9a(m;?),这里0.)6卢?F.如果 d?(m;兰)卢?_4(m;兰) 0=+(m;),则(.)=0,于是z()z()=()(+)=0.如果Q+?A(m;),由 ?的定义,有?0,即+?0,因此()z()=(.)(时)?A.所以?是2【(m;) 的一个理想. 注意到??一bo?1?A,所以9X(m;t)=A+F1,又因为?nF1={0},所 ?A(m;?) 以2【(m;)=A0IF1. (2)设z”0?r,b?A,这里0EA,b?(m;).由引理2.2知,”b(x0)= (“)(6n)?r,即r是A的一个理想. (3)任取”aD.?,”bDj?W,这里0EA,bE(m;),i,J?Yo.由(1.1)和引理 2.2,直接计算得 [“0J[),bDj】=zaD~(z”6)J[)J一(一 =ab(x”D(“)Dj一( 1).bDJ(“a)D. 一 1).”D2.Dj”Dj(z”))? 所以,是的一个理想. 回忆w(n,rn)的定义知,w(n,0)=(“Djl”?A(n),J?Yo),并且它同构于李超 代数(n)(定义见文[14,P.57]). 定理2.1Ww(n)0I. 证设”aDj是的任意一个元素,这里.?2【(m;),J?Yo.由引理2.2,可以 把0分解为0:b+n.1,其中b?A,n?F,所以”aD=0”Dj+”bD.又因为 (几,0)n={0),且(n,0)是同构于(n)的,所以W(n)0. ,一1 回忆W=0是z一阶化的,这里={“(.)Djl+ll=i+1,J?y0),则 i=一1 DerW=0是z一阶化李超代数,这里 r?Z DerW={?DerWl()+i,i=一1,?一,于是zlfl?0.令f=1fl,则D1(f)一fl,即当=1时, 数学年刊31卷A辑 结论成立. 假设结论对一1成立,考虑时的情形.由归纳假设,存在g?A(礼),使得Di(g)=, i=1,2,…,一1.令f=g+fk—xkDk(g).当1?i?一1时,由归纳假设并注意 到Di(Dk(g))=一Dk(Di(g)),有D.()=fi.另一方面,由引理假设可知Dk(fk)=0,所 以%?0,于是Dk(Xkfk)=fk.所以 Dk(f)=Dk(g+Xkfk—xkDk(g)) = Dk(g)+Dk(Xk)一Dk(xkDk(夕)) = fk+Dk(g)一Dk(xkDk(9)). 如果Dk(g)=0,贝0Dk(f)=fk.如果Dk(f)?0,贝0Dk(xkDk(g))=Dk(g),即Dk(f)=fk. 归纳法完成,引理得证. 令0=(m;)=(m;t)×…×(m;).对任意的0=(h儿1卜1,…,h)?0,定义映 射0:(m;t)一2【(m;),使得对任意的OL=?OLj~j?(m:), f&1 其中0??P一1.易见(+)=()+(),这里,?(m;).对任意的0?0, 定义映射Do:W一,使得对任意的z”z(„?A, Dx”(J[) z)=)z札z()D. 直接计算可得De?DeroW. 引理2.4设是DerW的一个z2-齐次元素.如果对任意的i?Yo,都有(J[))=0, 则存在0?0,使得(()D)=Do(z(Di),其中OL?(m;). 证对任意的i?Yo,设(z()Di)=?dki,这里dki.?A.对任意的J?Yo,有 等式([J[)7,()J[)])一0,两边同时作用得.. (一1)degsx(Z)Xi+,这里满足J[).()=0.因而 (DJ)=?D=(一1)如hjflx?DJ+gjDj+?gaDk.(2.1) k=l?J 应用于等式)D,xix(f1)Dj]=(+f1)xl—f1)Dj,得到 ((.)J[).),z()DJ]+(一1)eg(d)D,(z(卢)DJ)]:f1((a+),,u/ 再利用(2.1)可得.+hjz一j(.+),其中i,J?Yo,Oz,?A(m;).特别地,..+ hj=hi(2)=hj+hj,即=.,Vi,J由0的定义知,h三?=()(roodp).于是 J=n+1 ((.Di)=(.)D三()()D.:D日(()D{)(roodp), 引理得证. 命题2.1设r?0且?DerW为Z2一齐次导子,则存在Q?w和0?O,使得 =adQ+Do 证设p(Dk):?gikDi,:1,2,…,n.对任意,J?y,有等式[D,D】:0,两 边作用,得D(9z,):一DJ().由引理2.3,存在,i=1,2,…,n,使得D(,2):9 惫?. 令E=,(一1)de妒?D,直接计算得(D)=adE(D%),V?Y.即(一 adE)Di:0.由引理2.4知,存在?O,使得(一ad)((.)_,J):D目((n)D),这 里Do?Q.令1:一adE—D.,贝41((a)Di):0. 对任意的,J?Yo,i?J,设l(zDI7)=akD.注意到对任意f?,有等 式[J[)2,xiDj】:5i~Dj,两边作用1,得ak?2【(m:),?.再将1作用于等式 [xiDj,xjDj].酬xiDj,可得ak:0,V?y0\{歹).于是1(z)=ajDJ,其中nj?(m;). 进而可以假设~l(XiDi+i):D2+1,1(zD1):D1,这里b.?P2(rn;),i:1…,仡一1. 令2:1一?ad(bD),直接计算得 =l q~2(xnD1)=0,g~2(x,iDi+1)=0,i=1,?一,礼,1.f2.2) 现在,我们要证明2()=0.由引理2.1,只需讨论以下3种情况. (i)2(z.)=0,其中,J?Yo.设i?\{1,佗),并且2(D)=妻D,其中 Ck?(『凡;).对等式fxiDi,巧十1]=0,其中J?y0\{,i一1,),两边作用2,并且应用 (2.2)可得=0.类似地,将2分别作用于下面的等式 【Dz,2D2十1]=xiDi+l,[xiDi,xi一1Di]=一2gi一1Di,(zD{,xnD11:0, 可推得ci=ci—l:Cn:0.所以~2(xiDi)=0,V?go\(1,).同理可知2(zlD1): 2(znDn)=0于是2(zD)=0,Vi?y0. 设i?J?Yo.如果i<J,由等式[xiD冲1,Xi+lD计2j:xiDt+2,两边作用2,并且 应用(2.2)可得~2(xiDi+2)=0.再将2作用于等式ziD件3=[xiD汁2,Zi+2D件31,可得 2(D冲3)=0.重复如上讨论,可得2(iDj):0.如果i>J,由等式(3:n--1D,xnD11: Xn—lD,两边作用2,并且应用(2.2)可得2(n-1D1)=0.继续相仿的证明,可知 数学年刊3l卷A辑 2(iD1):0.再将2作用于等式xiD2=[XiD1,XlD2],可得2(iJ[)2)=0.重复如上讨 论得~(xiDj):0. 礼 (ii)2(.z()Dj)=0,其中i,J?,设2(.(jDj)=?d~jkDk,其中,J?, i?J.注意到,对任意的2?,都有等式[Di,z()Dj]=()Dj成立.两边同时作用 2,可得dijk?21(m;).取q?\{),2?\{易知[xiz()Dj,XqDt]=0.两边作用 2,并且应用(i)得d=0,Vq?\D),所以2(z(.)Dj):d巧,Dj.再将2作用于 等式Di,xix()Dj]=xix(Dj,可得dijj=0.于是2(【.)Dj):0. 对任意的?Yo,设~2(Jc(.JD)=?di~kDk,这里d.娩?(m;).注意到,对于 任意的J?y0\{等式fxiz(.)Di,巧Dj]=0成立.两边同时作用2,可得diij=0,即 2(甄(.)J[))=dD..再将2作用于等式[Xi()D,D,]=Xiz【Q)Dj,可得d:0.于 是2(.()D)=0. n (iii)2(z,J)=0其中,J?.设2(,,):?eD%.对等式[Dt,xixj]: 饥zDj一7zXD7,其中f?Yo,两边作用2,可得ek?9a(m;),Vk?.再将2作用 于等式[XiDi,z]=xixjDj,可得Ck=0,V?\{所以2(Dj)=eiDi.注 意到,对任意的口?\),等式,Xq%Dj]=z~ccjDj成立.两边作用2,可得 Ci=0.于是2(Dj)=0. n 综上,我们证明了()=0,从而得到2=0,即=ad十?ad(bkDk)+Do. =1 n 令Q=E+?bkDk,则=adQ十,这就证明了命题. :1 令2={Dof0?@j. 命题2.2Der一1W:adr.1+—1. 证包含关系”是显然的.下面我们证明包含关系”.设?Der—1是z2一齐 次导子,则对任意的J?,有(Dj)?Der一2W={0}.因此,由引理2.4,存在0?e, 使得((.)D)=Do(z(jD),其中Do?I2—1.令l:一Do,贝01(【jD)=0. 对任意给定的i,J?,?J,设1(z.J[)J)=?.gDg,这里0q?F.取k,z?\<,歹), q=l 有等式Dj,D=0成立.两边作用l,可得0=0.所以1(.Dj):aiDi+ajDj.类 似地,可以得到1(xiDk)=ciDi+ckDk,l(zDj)=dkDk+djDj,其中Ci,Ck,,?F. 再将1作用于等式[cciD~,cckDj]=zJ[)7,可得:0.于是1(.):ajDj.因此可设 1(xiDi+1)=J[)纠一l,l(zD1)=6D1,j塞里bi?F,=1,?--,n. 令2:1一?ad(bqDg),直接计算得2(D1)=0,2(D1)=0.相仿于命题 q:l 2.1,可以得到2()=0,即2=0,于是?ad1+j2—1,命题得证. 命题2.3若r>1,则Der一W=一. 证只需证明Der一WQ一,.设?Der一W是z2.齐次导子.对任意的J?, 有(DJ)?Der一一l:{0}.由引理2.4,存在0?@,使得(z()D):Do(z()D.), 其 中Do?Q一.令1=一Do,贝I1(z(“)D):0. 由引理2.1知,欲证1()=0,只需证明对于任意的,J?,有1(z(.)Dj)=0 4期任丽穆强张永正一类广义型李超代数 和qOl(x~xjD3)=0. 首先证明对任意的i,J?,有1(xix()Dj)0.设1(xix()J[)』)=?nfD2.对 任意的k?,等式[Dk,Xi()Dj]=()_D成立.两边作用1,并且由前面的证明 得al?(m;),VI?.取?Yo\{),q?y0\{由等式【xix()Dj,xkDq]=0,两 边作用l,可得ak=0,V后?Yo\{).于是1(xix()Dj)=ajDj.再将1作用于等式 [3~iDi,XiX【)Dj]=XiX()Dj一,jxix()Dj,可得aj=0.于是1(Xi(.)Dj)一0. 再来证明对任意的i,J?,i?J,有1(xjDj)=0.设n~91(xixjDj)=?dtDl !=1 应用1于等式[Dk,XiXjDj]=5ikxjDj一6jkxDj,其中?,可推得df?(m;), Vl?.再将1作用于等式[xiDi,xixjDj]=xixjDj,可得dl=O,,?Yo\{于 是991(xi2cjDj)=diDi.注意到,对任意的q?\J),等式[xiDq,qxjDj]=XixjDJ 成立.两边作用l,可得=0.于是~l(xixjDj)=0,所以1(W)=0.这就证明了 = Do.故命题得证. 引理2.5下面结论成立: (1)Q是DerW的子空间. (2)adWn={O). 证(1)设0,?@.由0的定义知,对任意的 设”z(D是的一个基元素.直接计算得(D日 于是Do+D=Do.同理,对任意的k?F,kD日 (2)设adnQ?f0),则存在B?W,0? J?adB(DJ) xjDjl = Do(Dj). adB(x3D5) 0.因此可设B= OZ?A(m,),()+(n)=0+(). +D)(zzL”)D.)=D日+”(z”z()D). = Dko.从而(1)成立. @,使得adB=D目.于是对任意的 礼 ?0Di,ai?9a(m;).直接计算得 t=1 Do(xjDj)=0,即一0,?.于是B一0 由命题2.12.3及引理2.5可以直接得到下面的定理 定理2.2DerW=adW? 参考文献 [1]FarnsteinerR.Derivationsandcentralextensionsoffinitelygeneratedgra dedLiealge— bras[J].JAlgebra,1988,118(1):33—45. [2】 GrabowskiJ,PoncinN.DerivationsoftheLiealgebrasofdifferentialoperators[ IJ]J IndagMath(N,2005,16(2):181-200. 3]张永正,刘文德.模李超代数[M].北京:科学出版社,2004 [41LiuWD,ZhangYZ.Finite—dimensionaloddHamiltoniansuperalgebrasoverafield ofprimecharacteristicJAustMathSoe,2005,79(1):113—130. LiuWD,ZhangYZ.AutomorphismgroupsofrestrictedCartan—typeLiesup eralgebras [J].CommAlgebra,2006,34:3767—3784. [6]WangY,ZhangYz.DerivationalgebraDer(H)andcentralextensionsofLi esuperal— gebras[J].CommAlgebra,2004,32flo):41174131. 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