空间向量法求二面角的平面角

空间向量法求二面角的平面角利用法向量求二面角的平面角授课教师:于沈亮班级:高三(8)班时间:2010-12-29 【教学目标】 1、让学生初步理解二面角的平面角与半平面法向量的关系，并能解决与之有关的简单问题。 2、通过本节课的学习，培养学生观察、分析与推理从特殊到一般的探究能力和空间想象能力。 3、培养学生主动获取知识的学习意识，激发学生学习兴趣和热情，获得积极的情感体验。【教学重点】利用法向量计算二面角的大小。【教学难点】求两个面的法向量及判断二面角大小与两个面的法向量的夹角的关系。【课时安排】1课时 ...

利用法向量求二面角的平面角授课教师:于沈亮班级:高三(8)班时间:2010-12-29 【教学目标】 1、让学生初步理解二面角的平面角与半平面法向量的关系，并能解决与之有关的简单问题。 2、通过本节课的学习，培养学生观察、分析与推理从特殊到一般的探究能力和空间想象能力。 3、培养学生主动获取知识的学习意识，激发学生学习兴趣和热情，获得积极的情感体验。【教学重点】利用法向量计算二面角的大小。【教学难点】求两个面的法向量及判断二面角大小与两个面的法向量的夹角的关系。【课时安排】1课时【教学过程】一、内容回顾求二面角的平面角的方法:定义法、三垂线法、向量法。前两种方法是空间立体的方法，难度较大，都涉及到要在两半平面内找棱的垂线，或是找点在平面内的射影，再算边长，通过解三角形来解决。而向量法也是要找两个与棱垂直的且和半平面延伸方向一 1 致的向量来计算夹角。所以这些方法都涉及到了找垂线，再说明，再计算的过程，都需要逻辑推理。而如果解决二面角的平面角也能像前面解决线线角或线面角问题一样，能通过空间向量的方法来解决，那么这些逻辑推理过程，我们能通过利用空间向量的程式化计算来转化。因为空间中平面的位置可以用平面的法向量来表示，所以二面角的平面角可以用平面的法向量的夹角来解决，那么向量的夹角与二面角的平面角有着一种什么样的联系呢, 二、新课讲授 ,,,,l如图，二面角为 1、记 llllll,,,,,,,,C=A,=B.且与相交于，121212 BOlAOAOB,，,()连下面说明即是二面角的平面角2、过作 B llBOllBOC,,？,,,.面1 ？,,？,lOClllAOC,.面1 ？,lAO ？，AOB是二面角的平面角(一找、二证、三计算) lAOCBOC,面和面,3、 2 又过空间一点有且只有一个平面和已知直线垂直。？面和面重合。AOCBOC 0即四点共面，即有平面四边形内角和AOBCAOBC=360. 4、在上分别取直线的方向向量，事实上，由于线ll ，nn,,1122 面垂直，两方向向量即是两平面的法向量。 00 ? ，,,,，，，,,，，,,,ACBnnACBAOBAOBnn,,180,180.1212 00 ? ，，,,,，，，,,，,,,ACBnnACBAOBAOBnn,180,180,.1212 COSAOBCOSnn，,,,,,12由??分别可得 COSAOBCOSnn，,,,,12 5、总结。计算二面角的平面角，可先找两平面的法向量的夹角。即计算法向量的数量积。可求出法夹角的余弦值，继而得到平面角的余弦值。注释: 这里不能像解决线线角或线面角那样，对向量夹角的余 00090,弦值套上绝对值。因为前两种角都是在之间，所以前两种角的正(余)弦值一定是一个正数。而二面角 000180,的平面角在，所以余弦值有可能会是负值。正负的选取要通过对图形的观察得到。无论法向量的夹角余弦值求出来是正还是负，如果观察得到的二面角的平面角是个锐角，则平面角的余弦值取正的。三、例题 ,，,,,,ABCBSAABCSABCAB是以为直角的直角三角形。平面,2,4,例1、 MNABBCSNMA、分别是、的中点。求二面角的余弦值。,, 3 BABCxy,为、轴建系解:如图，以B为原点，，则A(4，0，0)，S(4，0，2)，M(2，0，0)，N(0，1，0) SAAMN,面？ASAMN可作为平面的一个法向量。？,,平面一个法向量为AMNnAS(0,0,2)1 设平面的一个法向量为()SMNnxyz,,,2 ,nSMxyzxz,,,,,,,,,,,0(,,)(2,0,2)0220,2 , nSNxyzxyz,,,,,,,,,，,,0(,,)(4,1,2)0420,2, 令，则xzyn=12.1,2,1,,,？,,1,()2 (0,0,2)(1,2,1)26,,,？,,,,,,COSnn,1262626 可观察二面角的平面角是锐角， 6？,,COS6 注释:引导学生总结用法向量求解二面角的平面角问题的一般步骤。 Step1 建系 Step2 表示相应点的坐标 nn, Step3 设平面的法向量分别为 12 4 Step4 列方程求出法向量 Step5 用数量积公式求法向量的余弦值 Step6 根据图形判断锐角或钝角 0例2、在直三棱柱中，，ABCABCABACAAABC,,,，,1360=,.1111 (1)证明ABAC,.1 (2)求二面角的平面角的余弦值。AACB,,1 5 解:如图 ABAC1310 (1)中，即，，,,,？,？,ABCCC,sin300sinsinsinsin602CBC 0 ？，,,,BACABAC90.1 (2)如图建系，ABCA(0,0,0),(1,0,0),(0,3,0),(0,0,3)1 ABAACn是平面的一个法向量。？,(1,0,0)11 ,(,,)xyz 设平面的法向量为ABCn12 ,nABxyzxz,,,,,,,(,,)(1,0,3)30,21 ,nACxyzyz,,,,,,,(,,)(0,3,3)330,,21 令z=1,可得n,(3,1,1)2 (1,0,0)(3,1,1)315, COS<>=？,,nn,125155, 观察可知二面角AA,CB,的平面角为锐角，1 15 ？,,二面角的平面角的余弦值AACB=15 四、小结本节课主要学习了利用法向量求二面角的平面角的大小，并通过两个例题熟悉了利用法向量求二面角大小的主要步骤。五、作业布置 6

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