【精品】第一部分 初等数学方法19

【精品】第一部分 初等数学方法19 第一部分 初等数学方法 第一章 建模示例 如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。通过本章的若干实例读者能够看到，用很简单的数学方法已经可以解决一些饶有趣味的实际问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 。 需要强调的是，衡量一个模型的优劣全在于它的应用效果，而不是采用了多么高深的数学方法。进一步说，如果对于某个实际问题我们用初等的方法和所谓高等的方法建立了两个模型，它们的应用效果相差无几，那么受到人们欢迎并采用的，一定是前者而非后者。 1.1选举中的席位分配 选举在西方国家的政治生活中是一件大事，如何公平地分配议会的席位，如何在数学上实现“公平”，不少科学家曾作过研究，提出了各种席位分配的办法。下面介绍选举中的一些席位分配办法，其中还引出了有趣的数学问题。 1.1.1比例代表制 比例代表制是常用的一种席位分配原则，它保证一政党所代表选民的百分数等于议会中所得席位的百分数。 例如有A、B、C、D四个政党，代表50万选民，各政党的选民数为: A党: 199,000 B党: 127,500 C党: 124,000 D党: 49,500 现要选出5名代表，即每10万选民中产生一名代表，按比例代表制原则，分 配方 学校职工宿舍分配方案某公司股权分配方案中药治疗痤疮学校教师宿舍分配方案医生绩效二次分配方案 案为: A党: 1.99席 B党: 1.275席 C党: 1.24席 D党: 0.495席 显然席位数只能是整数，根据四舍五入原则，分配方案为: A党: 2席 B党: 1席 C党: 1席 D党: 0席 总共只有4席，缺少1席，如何分配这最后一席呢,有以下几种法则。 1 1.1.1.1最大余数法 即按每10万选民1席分配后，按余数大小排序，多余的席位分给余数较大的各党，可有下表。 党名 代表选民数 整数席 余 数 余额席 总席数 A 199,000 1 99,000 1 2 B 127,500 1 27,500 0 1 C 124,000 1 24,000 0 1 D 49,500 0 49,500 1 1 表1.1 最大余数法分配结果 1.1.1.2洪德(dHondt)规则 由比利时大学生维克多?洪德(Victor dHondt)提出，在欧洲广泛使用。分配办法是:把各党代表的选民数分别被1、2、3、„除，按所有商数的大小排序，席位按此次序分配。 13即若A党的人数比D党的人数还多，那么给A党3席、给D党0席也是合理的。分配结果见下表。 除数 A党 B党 C党 D党 1 199,000(1) 127,500(2) 124,000(3) 49,500 2 99,500 (4) 63,750 62,000 24,750 3 66,333 (5) 42,500 41,333 16,500 4 49,750 31,875 , , 总席位 3 1 1 0 表1.2 洪德规则分配结果 1.1.1.3 北欧折衷方案 作法与洪德规则类似，所采用的除数依次为1.4、3、5、7、„。分配结果见下表。 除数 A党 B党 C党 D党 1.4 142,143(1) 91,071(2) 88,571(3) 35,357 3 66,333 (4) 42,500 (5) 41,333 16,500 5 39,800 25,500 24,800 9,900 7 28,429 18,214 17,714 7,071 总席位 2 2 1 0 表1.3 北欧折衷方案分配结果 分析上述三种分配方案，得到了完全不同的结果，最大余数法显然对小党比较有利，洪 2 德规则则偏向最大的党，北欧折衷方案对最大和最小党都不利，表4中可以看出这一点。 方法\党名 A党 B党 C党 D党 最大余数法 2 1 1 1 洪德规则 3 1 1 0 北欧折衷方案 2 2 1 0 表1.4 三种分配方法结果比较 1.1.2份额分配法(Quota Method) 一种以“相对公平”为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 的席位分配方法，来源于著名的“阿拉巴玛悖论”(Alabama Paradox)。 美国宪法第1条第2款对议会席位分配作了明确规定，议员数按各州相应的人数进行分配。最初议员数只有65席，因为议会有权改变它的席位数，到1910年，议会增加到435席。宪法并没有规定席位的具体分配办法，因此在1881年，当考虑重新分配席位时，发现用当时的最大余数分配方法，阿拉巴玛州在299个席位中获得8个议席，而当总席位增加为300席时，它却只能分得7个议席。这一怪事被称为有名的“阿拉巴玛悖论”。 “阿拉巴玛悖论”有时会在日常生活中重演。例如，某学院有200名学生，甲系103名，乙系63名，丙系34名，若学生代表会议设20个席位，按最大余数法，各系分得的代表名额为(每10人1个席位):甲系10名，乙系6名，丙系4名(余数最大)。为使表决时不会出现平局，代表总数取为奇数，增加1名代表，这样:甲系10.815名，乙系6.615名，丙系3.570名。用最大余数法，各系实际分得的名额为:甲系11名，乙系7名，丙系3名。可以看到，总席位增加了，丙系人数没有改变，代表却减少了1名，就出现了“阿拉巴玛悖论”现象。 介绍美国现在采用的份额分配方法之前，先了解“绝对不公平”与“相对不公平”的概念。 ppnn设A、B两州人数分别是和，在议会中分别分得和个席位，则两州每个ABAB pnpnpn,pn席位代表的人数分别为和。仅当时，席位的分配才是公AABBAABB 平的。但是，通常它们不相等，表明席位分配得不公平，对A的不公平程度可用pn,pnpn,pn表示，称为席位分配对A的“绝对不公平”。反之，称AABBBBAA为席位分配对B的绝对不公平。 3 公平性还会受到各州人数的影响。若，，，则p,120p,100n,n,10ABAB ;另一种情况，，，pn,pn,12,10,2p,1020p,1000n,n,10AABBABAB则pn,pn,102,100,2。显然第一种情况的不公平情况要严重些，绝对不公AABB 平还不能反映这种情况，需引入“相对不公平”概念。 在席位分配中，当对A州不公平时，称 对A的绝对不公平/B每位代表所代表的人数 pnpnpn,AABBAA,,,,1 pnpnBBBB pnBB为对A所谓“相对不公平”，记作r。同样，对于B的相对不公平为r,,,1。在BApnAA相对不公平的概念下，上面的例子有r,210,0.2，r,2100,0.02，显然情况一的AB 不公平程度可用r衡量出来。 A nn假设A、B两方已分别占有和个席位，我们利用相对不公平概念讨论，当总席AB 位再增加1席时，应该给A方还是B方,增加1席后，相对不公平变为: pn(，1)BA,,,1r若给A方 BpnAB pn(，1)AB,r,,1若给B方 ApnBA ,,,,,,rrrrr,r比较与的大小，将这1席分给、值较大的一方，即当，此席分给A方;ABABAB ,,r,r当，此席分给B方。 BA 又 p(n，1)p(n，1)ABBA,,r,r,,ABpnpnBAAB 22ppAB,,n(n，1)n(n，1)AABB 记 4 2pAQ,An(n，1)AA 2pBQ,Bn(n，1)BB 因此可以将增加的1席分配给Q值较大的一方，此法又称为“Q值法”。 Ap上述方法可推广到有m方分配席位的情况。设方的人数为，各方占有iin(i,1,2,？,m)个席位。当席位增加1席时，计算 i 2Pi Q(n),(i,1,2,？,m)iin(n，1)ii 则这1席应分配给Q值最大的那一方。 n,1(i,1,2,？,m)计算从开始，即每方至少应分到1席。如果有某一方1席也不应i 分到，则把它排除在分配之外。按美国宪法规定，各州在议会中至少要分得1席。 下面用“份额分配法”，重新讨论上面某学院3个系分配21个代表名额的问题。首先，每系分配1席，计算: 22p1031甲系 n,1,Q(1),,,5304.511n(n，1)1，211 22p632乙系 n,1,Q(1),,,1984.522n(n，1)1，222 22p343丙系 n,1,Q(1),,,57833n(n，1)1，233 n,1Q因为时，最大，所以第4席分配给甲系。计算 i1 2103Q(2),,1763.2 12，3 Q(1)Q(2)Q(1)Q(1)则、、中，最大，因此第5席应分给乙系。如此分配下去，直到3122 第21席分配给某个系为止。表5中列出了从第4席开始逐次计算的Q值和分配结果。 n 席号 席号 席号 Q(n) Q(n)Q(n) 312 1 5304.5 4 1984.5 5 578 9 2 1768.2 6 661.5 8 192.7 15 5 3 884.1 7 330.8 12 96.3 21 4 530.5 10 198.5 14 57.8 5 353.6 11 132.3 18 6 252.6 13 94.5 7 189.4 16 8 147.3 17 9 117.9 19 10 96.4 20 11 80.4 表1.5 Q值与席位分配表 按份额分配法，3个系分得的代表名额分别是:甲系11名，乙系6名，丙系4名。丙系保住了它险些丧失的1席。 1.2 商业中心的影响范围 一个城市中，商业如何布局才能为大多数市民提供方便,农村中，如何选择集市贸易的地点以便扩大物质交流,这些，都要求我们对两个商业中心的影响作出估计。若从经营者角度考虑，一个商店要获得利润就应吸引足够的顾客。他应该估计商店能吸引多远的顾客，高峰销售时间的交通是否方便，因此也要估计商店的影响范围。 1.2.1初步分析 设A、B为两个商业中心，T表示某顾客去商业中心购物的概率，我们应该考虑T应与哪些因素有关,T所依赖的因素可能很多，例如，顾客的爱好或需要;到商业中心的交通是否方便;天晴还是下雨等等。为了使问题简化，我们假设T只依赖于两个关键参数:一是顾客到商业中心的距离D，二是商业中心的吸引力F。即 T,f(D,F) 参数D决定于顾客住的地方，因此它任意度量;而参数F决定与商业中心条件的好坏，与很多因素有关，例如: (1) 商业中心中商店的数目多少，销售空间是否宽敞明亮; (2) 经营的品种是否齐全，商品是否有特色; (3) 售货员的服务态度如何; 6 (4) 商品的质量是否有保证，价格是否合理; (5) 中心内是否有其它具有吸引力的因素，例如电影院、剧院、图书馆、游乐场及公园等。 要给出F的确切度量是困难的，通常只能给出它的相对比值。为了具体 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 问题，我们假设A、B两个商业中心分别在A、B两个小镇、A镇居民约为十万人，商业中心包括一个百货大楼及一些其它小店，还有影剧院、自由市场、音乐厅、艺术画廊等。而B镇的人口约三万人，只有有限的几个供B镇人享用的舒适的商店，它的实际得益主要来自镇中心的公园。若F表示中心A的吸引程度，F表示中心B的吸引程度。为了简单起见，我们21 假设F,3F，这意味着取它们所在小镇的人口比作为吸引程度的比。 12 为了寻找两个中心的影响区域，我们应该确定顾客到每个中心去的可能性相等的点，即等概率点，它由如下方程确定 f(D,F),f(D,F) (1.1) 1122 这里下标1对应中心A，下标2对应中心B。 1.2.2数学模型的建立 根据上面所作的分析，由方程(1)可以求出两个商业中心的影响范围，但是在(1)中并没有给出 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 f的具体形式。 TDFF由的含义，它随及变化。当增加时，说明中心的吸引力增加，想去的人应 TDT该增多，即应该增大;再根据一般人就近购物的心理，当增加时，应该减少。我们取f的形式为 kFT,f(D,F), (1.2) 2D 式中f为常数，选取这种函数形式是因为受到万有引力定律的启发。当然，函数也可以k TFD取许多其它形式，只要随的增加而增大，随的增加而减少就行。 建立如图2.1所示的坐标系，坐标原点选在中心A处，AB连线为x轴，并设A、B间的距离为a。由式(2.1)和(2.2)得 kFkF12, (1.3) 22DD12 7 它给出了去中心A、B概率相等的点应满足的条件，也就是A、B两中心影响的边界点应满足的方程。因此(2.3)式所给出的曲线就是影响区域的边界线。 下面来导出边界线的方程。设是边界上任意一点，由距离公式得 P(x,y) 222222 (1.4) D,x，y,D,(a,x)，y12 F1令，由式(2.3)得 c,F2 2222 (1.5) c[(a,x)，y],x，y 若，由边界方程推得 c,1 a x,2 这说明，如果两个中心的吸引程度相同，那么它们影响区域的边界线就是它们的垂直平分线，A、B的影响范围各占一半。 若，容易由式(5)推得边界方程为 c,1 2caca22(x,)，y, (1.6) 2c,1(c,1) caca这是一个圆心在点、半径为的圆。图1示出了的情况。图中的同心(,0)c,3c,1c,1 T圆上，为常数。设为所求的边界，由图可见，中心B的影响被限制在圆内，在外CCC的广大区域都受到A的影响。在的右边，尽管离B较近，却仍然受到A的影响。 C 上述结果表明，要扩大商业中心的影响范 围，就应该尽量增大中心的吸引力，这一结论， 不用建立数学模型也能得到。 对于多个商业中心，可以把相邻的两个中心 作为一组，分别进行讨论，也能得出它们的影响 范围。一个城市的规划者，可以根据商业中心的 影响范围，对城市的商业网点进行合理的布局， 图1.1 两个商业中心的影响范围(c=3) 以避免不必要的交通拥挤和购物者的过度集中。 8 1.3 动物的身长和体重 四足动物的躯干的长度(不含头尾)与它的体重有什么关系，这个问题有一定的实际意义。比如，在生猪收购站或屠宰场工作的人们，往往希望能从生猪的身长估计出它的体重。我们在非常粗浅的假设下，利用类比方法，借助力学的某些结果，建立动物身长和体重间的比例关系。 把四足动物的躯干看作圆柱体，长度、直径、截面积，如图1.2所示。将躯干与ldS 四肢的接触处看作前后两个接触点，这样这种圆柱体的躯干可以类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，以便利用弹性力学的一些研究结果。 在自重的作用下，躯干微微下垂，最大下垂度相fb 当于弹性梁的最大弯曲。根据弹性力学对弹性梁的研究， 梁的最大弯曲与梁的重量、梁的长度的三次方成正比， 与截面积和直径的平方成反比，即 3fl (1.7) b,图1.2 四足动物的简化示意图 2Sd 因为自重f,sl，所以 3bl, (1.8) 2ld blblbl是动物躯干的相对下垂度。太大，四肢将无法支撑;太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯干的需要，无疑是一种浪费。因此从生物学的角度可以假定，经过长期进化， bl对于每一种动物而言，已经达到其最合适的数值，换句话说，应视为与这种动物的尺寸无关的常数，由(2.8)式得到 32 (1.9) l,d 2再从f,sl，，以(2.9)式代入可得 s,d 4 (1.10) f,l 即体重与躯干长度的四次方成正比。这样，对于某一种四足动物比如生猪，在根据统计数据确定出上述比例系数以后，就能从躯干长度估计出动物的体重了。 类比法是建模中常用的一种方法。在这个模型中将动物躯干类比作弹性梁是一个大胆的 9 假设，其可信程度自然应该用实际数据仔细检验。但这种充分发挥想象力，把动物躯干长度和体重的关系这样一个看来无从下手的问题，转化为已经有确切研究成果的弹性梁在自重下挠曲问题的作法，是值得借鉴的。 1.4 房屋保温隔热的经济效益核算 房屋的保温隔热是一笔很大的开支，北方漫长的冬季需要保温供暖，南方炎炎夏季需要降温制冷。据研究，房屋内热量散发的途径中30%是通过墙壁，10%通过窗，25%通过屋顶， cm隔热其余通过地板等途径散发。一般房屋建造时的主要保温隔热措施是在屋顶上采用10材料，对墙和窗则没有采用专门的隔热措施，墙中空隙未加填充，而窗仅用4~6mm的单层玻璃。一些改进的办法可以用聚苯乙烯塑料球或尿素甲醛的化学材料填补空隙，或者采用双层玻璃窗以减小房屋保温隔热的费用。有人说:用填充隔热墙的办法所节约的热量是采用双层玻璃窗的5倍。实际情况如何,需建模定量分析。 1.4.1模型的建立 1.4.1.1问题的分析 房屋的保温隔热问题涉及两个方面:热交换的物理机理和费用的经济学问题。影响热损失的因素有很多:(1) 室内温度;(2) 室外温度;(3) 传热方式:对流、传导和辐射;(4) 墙面积;(5) 窗面积;(6) 墙的传热性质;(7) 窗的传热性质;(8) 墙厚度;(9) 窗厚度;(10) 保温节省的热量。 影响经济学的因素有:(1) 保温措施的费用;(2) 借款的费用(贷款利息);(3) 燃料费用;(4) 保温所节约的费用;(5) 双层窗的不同品种。其它因素如舒适性、美观性暂不考虑。 1.4.1.2选取关键量并建立它们之间的关系 虽然热损失的物理分析与经济效益分析是相互关联的，但第一步先分别考虑热损失的机理和经济学问题，然后再将两者结合起来。 10 (1) 热量散失的机理模型 固体材料 热量通过墙(或窗)传输物理过程如图所示，其中 TTT T 21 TT为室内温度，为室外温度，T为内侧墙(窗)IOOI1 T TI 1温度，T为外侧墙(窗)温度， 单位时间通过单位Q2Q 面积散失的热量。 图1.3 热量传输的物理机理 A. 空气对流使室内至墙面温降为T, T，墙面至I1 T, T室外温降为; 2O B. 墙内固体分子相互碰撞引起热传导，使两表面温降T, T; 12C. 辐射引起的热量散失相对于对流和传导非常小,可忽略不计。 不妨假设: (a) 热辐射的影响可以忽略。 (b) 热量散失不随时间而改变，即达到了稳定状态。 (c) 热量散失是均匀的，不随墙或窗的位置而改变。 因此，单位时间通过单位面积墙(窗)散失的热量都是与时间和地点无关的常数。 根据传热学，墙(窗)内外表面的对流传热满足线性关系: (1.11) Q,h(T, T)1I1 (1.12) Q,h(T, T)22O hh其中Q为单位时间通过单位面积传输的热量，和称为对流传热系数，与墙(窗)材料的12表面性质及空气流动的速度有关。 (T, T)墙(窗)两侧温差引起的热传导满足: 12 k (1.13) Q,(T, T)12a 其中k称为热传导系数，a为墙(玻璃)厚度。 空气墙分子空气,,,热传输途径为:室内 墙面内侧 墙面外侧 室外 传导对流对流 TTQ取同一值，消去和，得 12 11 1a1 (1.14) (，，)Q,T, TIOhkh12 引入 ,1，，a11U,，， (1.15) ,,hkh,,12，， 写为 (2.14)式改 Q,U(T, T) (1.16) IO hh、和不同，U不同。 U称为综合传热系数，对墙和窗，k12 对于墙和单层窗，(2.16)式写为: Q,U(T, T) (1.17) BWIO Q,U(T, T) (1.18) GSIO QUUQ、为单位时间通过单位面积的墙和单层玻璃的散失热量, 、为墙和单层玻璃GWSB h,10,h,20,k,1,a,0.006m的综合传热系数，对于单层窗有，则 12 2,。 U,6.41w/m/cS 对于双层玻璃窗:每层玻璃厚为a, 玻璃热传导系数为k, 两层玻璃之间空气的对流系 h数为。类似地，有 c Q,U(T, T) (1.19) DIO 综合传热系数为 ,1，，1211aU,，，， (1.20) ,,Dhkhh,12,c，， h其中玻璃间隙的对流传热系数与空隙大小有关，可由实验测定。 c 思考:(2.20)式如何推导。 品 种 2,w/m/c综合传热系数() 实心砖墙 1.92 空心砖墙 0.873 填充隔热墙 0.50* 单层玻璃(6mm) 6.41 12 双层玻璃窗 1.27 表2.6 几种墙和窗的综合传热系数 A下面计算采用隔热措施节省的热量。设为玻璃窗的总面积，为外墙的总面积，AGBH为双层窗代替单层窗单位时间节省的热量，为填充隔热墙单位时间节省的热量。这HGB UA(T,T)样，单位时间从单层窗散失的总热量为 ，单位时间从双层窗散失的总热量SGIO UA(T,T)为 ，用双层窗代替单层窗节省的热量为: DGIO H,UA(T, T),UA(T, T) (1.21) GSGIODGIO U又设为普通墙的综合传热系数，U为填充隔热墙的综合传热系数，这样可得用填充隔NI 热墙代替普通墙节省的热量为: H,UA(T, T),UA(T, T) (1.22) BNBIOIBIO (2) 费用分析 CC设双层玻璃窗和填充隔热墙所需费用分别为和，均为一次性支出。单位热量的GB SS费用为C。双层玻璃窗和填充隔热墙单位时间节省的费用分别为和，则 GB S,CH (1.23) GG S,CH (1.24) BB (3) 建立费用-效益决策模型 CS双层窗投资花费了，但单位时间内由于隔热节省燃料产生的费用为，这样通过GGCS时间，节约燃料的收益就抵消了双层窗的投资，投资的费用就回收了。这个时间称GG 为投资回收期，即通过投资产生效益，到回收投资所需的时间。 PP令为双层窗投资回收期，为填充墙投资回收期，则 GB P,CS (1.25) GGG P,CS (1.26) BBB PP,1判别采用哪一种隔热措施的准则:若，填充墙投资回收快，则采用填充墙较好;GB 13 PP,1，双层窗投资回收快，则采用双层窗较好。进一步 GB PCCA(U,U)CASGGGBNIGBB,,,,0.0726 (1.27) PCSCA(U,U)CABBGBGSDBG c引入安装单价，即每平方米双层窗和填充墙的价格分别为和c，那么 GB C,c,A GGG C,c,A BBB 因而 PcGG,0.0726 (1.28) PcBB 仅依赖于它们的单价。 1.4.2模型的应用 隔 热 方 法 单价(元/平方米) 请工程队用密封双层窗替换旧窗 543 请工程队在旧窗上加装双层玻璃 87 自行加装双层玻璃 48 自装双层玻璃并密封 90 墙空隙填空 6* 表1.7 某房屋隔热装修各种措施的单价 PP各项的投资回收期比分别为:6.57、1.05、0.58、1.09。可以看出，只有在旧窗GB 上自行加一层玻璃改装成简易双层窗，投资回收期才比采用填充隔热墙短。 可作进一步改进: PP,21( 决策的准则可以适当修改，以便考虑一些非经济因素，如个人偏爱 或。 ,3GB2(考虑到采用填充隔热墙或双层窗会使房屋增值，可在装修费用支出中扣除房屋增值的部分。 14 15