积分中值定理中的极限

积分中值定理中的极限 积分中值定理中?n的极限 杨勇洪 (楚雄师范学院数学系2005级2班) 指导老师 郎开禄 摘要:本文讨论了改进后的积分中值定理中?n的极限,获得几个有意义的结果. 关键词:积分;中值定理;极限 The limit of ?n in integral theorem of mean Yan zilan Abstract:In this paper, we discussed the limit of ?n in the improvement integral theorem of mean， several meaningful results are obtained. Key words:Integral;Theorem of mean;limit 导师评语: 在文[1] ([1].郎开禄.积分中值定理注记[J].楚雄师范学院学报，2008，23(6):7-15.)中讨论了改进后的广义积分中值定理中?n的极限，并获得了两个基本结果,并讨论了其应用.在文[2] ([2].裘兆泰，王承国，章仰文编.数学分析学习指导[M].2004:223-226，272.)中讨论了积分中值定理中?n的极限,获得了几个基本结果. 受文[1]- [2]的启发，在文[1]- [2]的基础上，杨勇洪同学的毕业论文《积分中值定理 中?n的极限》进一步研究改进后的广义积分中值定理中?n的极限,获得了的三个结论(定理 8至定理10),并讨论了其应用. 杨勇洪同学的毕业论文《积分中值定理中?n的极限》选 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 具有理论与实际意义,通过深入研究,该论文获得了关于积分中值定理中?n的极限的三个结论,并讨论其应用.该论文完成有 一定的技巧性和难度,其结果在理论与实际上都有重要意义.论文语言流畅,打印行文 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 ,是一篇创新型的毕业论文.该同学在作论文过程中，悟性好，爱钻研，能吃苦，独立性强. 1 积分中值定理中?n的极限 前 言 改进后的积分中值定理指出，若Fn(x)在[a,b]连续，则至少存在一点?n?(a,b)，使得?b aFn(x)dx?Fn(?n)(b?a)(n?1,2?).此时?n取值于(a,b)内，但随n的变化而变化，若 n??lim?n存在，则lim?n有可能等于a，或b.若这种情况出现，在应用积分中值定理求极限n?? 时应特别小心(见文[1]). 改进后的广义积分中值定理指出，若Fn(x)在[a,b]连续，则至少存在一点?n?(a,b)，使得b ab?Fn(x)g(x)dx?Fn(?n)?g(x)dx(n?1,2?). 此时?n取值于(a,b)内，但随n的a n??n??变化而变化，若lim?n存在，则lim?n有可能等于a，或b.若这种情况出现，在应用积分 中值定理求极限时也应特别小心. 在文[2]中，讨论了改进后的积分中值定理中?n的极限并获得了几个基本结果，文[1]受文[2]的启发，讨论了改进后的广义积分中值定理中?n的极限，获得了两个基本结果.在本文中，我们改进了文[1]中的一个结果的条件，获得了文[1]中同样的结果，并讨论了其应用. 1 积分中值定理 定理1(积分中值定理)若 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数f(x)在闭区间[a,b]连续，则至少存在一点??[a,b]，使得?3?b a?f(x)dx?f(?)(b?a). ?3?定理2(广义积分中值定理)若函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]连续，且g(x)在 bb aa[a,b]不改变符号，则至少存在一点??[a,b]，使得?f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx. ?在闭区间[a,b]中取到， 定理1和定理2 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明，故就有可能取左端点a，或取右端点b， 也有可能在开区间(a,b)中取到. 2 改进后的积分中值定理 定理3?4?,?5?(积分中值定理)若函数f(x)在闭区间[a,b]连续，则至少存在一点 b a??(a,b)，使得?f(x)dx?f(?)(b?a). 定理4?4?,?5?(广义积分中值定理)若函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]连续，且g(x)在 bb aa[a,b]不改变符号，则至少存在一点??(a,b)，使得?f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx. 定理3和定理4表明，?一定能在开区间(a,b)中取到. 3 积分中值定理中?n的极限 2 关于积分中值定理中?n的极限，在文[2]中，有下列结果: 定理5?2? (1) 设f(x)在[a,b]是非负、严格递增连续函数，记Fn(x)?fn(x)，由改进后的积分中值定理，即由定理3，至少存在一点?n?(a,b)，使得 ? 则lim?n?b. n??baFn(x)dx?Fn(?n)(b?a)， (2) 设f(x)在[a,b]是非负、严格递减连续函数，记Fn(x)?fn(x)，由改进后的积分中值定理，即由定理3，至少存在一点?n?(a,b)，使得 ? 则lim?n?a. n??baFn(x)dx?Fn(?n)(b?a)， 推论?2? 设f(x)在[a,b]是非负、连续函数，且在[a,b]有唯一的最大值点x0，Fn(x)?fn(x)，由改进后的积分中值定理，即由定理3，至少存在一点?n?(a,b)，使得 ? 则lim?n?x0. n??baFn(x)dx?Fn(?n)(b?a)， 关于积分中值定理中?n的极限，在文[1]中，有下列结果: 定理6?1? 设f(x)在[a,b]是连续函数，g(x)在[a,b]是非负、严格递减连续函数，则 bn a?g(x)dx??(1) lim?0(0???b?a); ?g(x)dxn??bn a (2) 由广义积分中值定理，至少存在一点?n?(a,b)，使得 ? 则limf(?n)?f(a). n??baf(x)g(x)dx?f(?n)?gn(x)dx， anb 定理7?1? 设f(x)在[a,b]是连续函数，g(x)在[a,b]是非负、严格递增连续函数，若存在[a,b]上的非负、严格递减连续函数h(x)，使得 g(b??)?h(a??)(0???b?a)，?g(x)dx??hn(x)dx， aabnb 则 (1) limn????b??a b agn(x)dxn?0(0???b?a); g(x)dx b ab(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点?n?(a,b)，使得 ? 则limf(?n)?f(b). n??f(x)gn(x)dx?f(?n)?gn(x)dx， a 关于积分中值定理中?n的极限，在本文中，我们去掉了定理7中“若存在[a,b]上 的非负、严格递减连续函数h(x)，使得g(b??)?h(a??)(0???b?a)， 3 ? ba gn(x)dx??hn(x)dx”的条件，获得了定理7同样的结论. a b 定理8 设f(x)在[a,b]是连续函数，g(x)在[a,b]是非负、严格递增连续函 数，则 (1) lim n?? ?? b?? aba gn(x)dx n ?0(0???b?a); g(x)dx ba b (2) 由广义积分中值定理，至少存在一点?n?(a,b)，使得 ? 且limf(?n)?f(b). n?? f(x)g(x)dx?f(?n)?gn(x)dx， a n 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 :(1) 因为 0? ?? b?? aba gn(x)dx n ? ? b??a gn(b??)dx ?2 g(x)dx ? bb? g(x)dx n (b?a??)gnb(??)b(?a??gn)b?(?) ?? bnn g(b?)dxgb(????b?2 222 ?? 2(b?a??)?g(b??)????， ???g(b?)?? ?2? ???? ?g(b??)??g(b??)? ??0， ??1，故lim?又 0?? n???g(b?)??g(b?)? ???? 2??2?? 于是 n n lim n?? ?? b?? aba gn(x)dx n ?0. g(x)dx (2) 由于f(x)在b连续，则f(x)在b左连续，故???0，存在??0(0???b?a)， 使得 f(x)?f(b)? ? 2 ，x?[b??,b]. 又由广义积分中值定理，至少存在点?n?(a,b)，?n?(a,b??)，?n?(b??,b)， 使得 ?? ? ba f(x)g(x)dx?f(?n)?gn(x)dx， a n b 4 ?? b??ab f(x)gn(x)dx?f(?n?)?f(x)gn(x)dx?f(?n??)? b??ab gn(x)dx， gn(x)dx. bb?? b??b?? 而 故 ? ba f(x)gn(x)dx?? b??a f(x)gn(x)dx?? f(x)gn(x)dx. f(?n)?gn(x)dx?f(?n?)? a bb??a gn(x)dx?f(?n??)? bb??b??a bb?? gn(x)dx ?f(?n?) ? b??ab??a gn(x)dx?f(?n??)?g(x)dx?f(?n??)? n gn(x)dxgn(x)dx b??a ?f(?n??)? ?f(?n??)?gn(x)dx?(f(?n?)?f(?n??))? a b gn(x)dx， 所以 f(?n ??????)?f(?)?(f(?)?f(?))? n n n b?? aba gn(x)dx ， gn(x)dx 令 kn? ?? b?? aba gn(x)dx ， n g(x)dx 则 ??? f(?n)=f(?n)?(f(?n)?f(?n))kn， 故 ??? f(?n)?f(b)=f(?n)?f(b)?(f(?n)?f(?n))kn. 从而 ??? f(?n)?f(b)?f(?n)?f(b)?(f(?n)?f(?n))kn. 因为f(x)在[a,b]上连续，故存在M?0，使得f(x)?M，x?[a,b].又因为由(1) 知limkn?0，故???0，?N，当?n?N时，有kn? n?? ? 4M ，于是当?n?N时，有 f(?n)?f(b)? ? 2 ?2M? ? 4M ? ? 2 ? ? 2 ??. 5 因此limf(?n)?f(b). n?? 推论1 设f(x)在[0, ??2]是连续函数，则 (1) limn???20??sinnxdx??0(0????2); ?2 0sinnxdx (2) 由广义积分中值定理，至少存在一点?n?(0, ??2)，使得 ? ? 且limf(?n)?f(). n??20f(x)sinxdx?f(?n)?2sinnxdx， 0n?2 推论2 设f(x)在[?? 2,0]是连续函数，则 (1) limn???????? 2cosnxdx cosxdxn0 ??0(0????2); ? 2 (2) 由广义积分中值定理，至少存在一点?n?(?? 2,0)，使得 ?? 且limf(?n)?f(0). n??0??2f(x)cosxdx?f(?n)?n?2cosnxdx， 定理9 设f(x)在[a,b]是连续函数，g(x)在[a,b]是非负、连续函数，且在[a,b]有唯一的最大值点x0，则 (I) ?(1) lim?n??bx0??b x0gn(x)dxng(x)dx?0(0???b?x0); (2) 由广义积分中值定理，至少存在一点?n?(x0,b)，使得 ? 且limf(?n)?f(x0). n??bx0f(x)gn(x)dx?f(?n)?gn(x)dx， x0b (II) ?(1) lim?n??x0??ax0 agn(x)dxng(x)dx?0(0???x0?a); (2) 由广义积分中值定理，至少存在一点?n?(a,x0)，使得 ? 且limf(?n)?f(x0). n??x0af(x)g(x)dx?f(?n)?gn(x)dx， anx0 6 证明:因x0是f(x)在[a,b]唯一的最大值点，故f(x)在[x0,b]严格递减，在[a,x0]严格递增，于是由定理6和定理8分别有 (I) ?(1) lim?n??bx0??b x0gn(x)dxn?0(0???b??); g(x)dx b x0b(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点?n?(x0,b)，使得 ? 且limf(?n)?f(x0). n??f(x)gn(x)dx?f(?n)?gn(x)dx， x0 (II) ?(1) lim?n??x0??ax0 agn(x)dxng(x)dx?0(0???x0?a); (2) 由广义积分中值定理，至少存在一点?n?(a,x0)，使得 ? 且limf(?n)?f(x0). n??x0af(x)gn(x)dx?f(?n)?gn(x)dx， ax0 推论1 设f(x)在[0,?]是连续函数，则 (I) (1) limn?????2??sinnxdxn??sin 2??0(0???xdx?2); (2) 由广义积分中值定理，至少存在一点?n?(? 2,?)，使得 ?? 且limf(?n)?f(). n????2f(x)sinnxdx?f(?n)??sinnxdx， 2?2 (II) ? ?(1) limn??20??sinnxdx? 2 0?0(0????2 );?sinnxdx (2) 由广义积分中值定理，至少存在一点?n?(0, ??2)，使得 ? ? 20f(x)sinxdx?f(?n)?2sinnxdx， 0n7 且limf(?n)?f(). n???2 推论2 设f(x)在[? (I) ???,]是连续函数，则 22 (1) lim?? ?2cosnxdxcosnxdxn??? 2 0?0(0????2; (2) 由广义积分中值定理，至少存在一点?n?(0, ??2)，使得 ? ? 且limf(?n)?f(0). n??20f(x)cosxdx?f(?n)?2cosnxdx， 0n (II) (1) lim? ?????2cosnxdx?0(0??? cosnxdx?2n??? 2 ?); ? 2 (2) 由广义积分中值定理，至少存在一点?n?(?? 2,0)，使得 ?? 且limf(?n)?f(0). n??0??2f(x)cosxdx?f(?n)?n?2cosnxdx， 定理10 设f(x)在[a,b]是连续函数，g(x)在[a,b]是非负、连续函数，且在[a,b]有唯一最小值点x0，则 (I) (1) limn????x0a?? x0 agn(x)dxg(x)dxn?0(0???x0?a); (2) 由广义积分中值定理，至少存在一点?n?(a,x0)，使得 ? 且limf(?n)?f(a). n??x0af(x)gn(x)dx?f(?n)?gn(x)dx， ax0 (II) (1) limn????b??x0 b x0gn(x)dxng(x)dx?0(0???b?x0); 8 (2) 由广义积分中值定理，至少存在一点?n?(x0,b)，使得 ? 且limf(?n)?f(b). n??bx0f(x)g(x)dx?f(?n)?gn(x)dx， x0nb 证明:因x0是f(x)在[a,b]唯一的最小值点，故f(x)在[a,x0]严格递减，在[x0,b]严格递增，于是由定理6和定理8分别有 (I) (1) limn????x0a?? x0 agn(x)dxg(x)dxn?0(0???x0?a); (2) 由广义积分中值定理，至少存在一点?n?(a,x0)，使得 ? 且limf(?n)?f(a). n??x0af(x)g(x)dx?f(?n)?gn(x)dx， anx0 (II) (1) limn????b??x0 b x0gn(x)dxng(x)dx?0(0???b?x0); (2) 由广义积分中值定理，至少存在一点?n?(x0,b)，使得 ? 且limf(?n)?f(b). n??bx0f(x)g(x)dx?f(?n)?gn(x)dx， x0nb 推论1 设f(x)在[1,2]是连续函数，则 1nx(1?)dx?1(1) lim?0(0???1); 2n??1nx?1(1?x)dx2?? (2) 由广义积分中值定理，至少存在一点?n?(1,2)，使得 ? 且limf(?n)?f(2). n??21211f(x)(1?)nxdx?f(?n)?(1?)nxdx， 1xx 1x)，x?[1,2]，则 x 1?11?g?(x)?(1?)x?ln(1?)??，x?[1,2]. x?x1?x? 11令h(x)?ln(1?)?，x?[1,2]，则 x1?x 1h?(x)???0，x?[1,2] x(1?x)2 31于是h(x)在[1,2]严格递减，故h(x)?h(1)?ln??0，因此 23证明:令g(x)?(1? 9 1?11?g?(x)?(1?)x?ln(1?)???0,x?[1,2]. x?x1?x? 故g(x)在[1,2]严格递增，且g(x)?g(1)?2?0. 所以我们有 1nx(1?)dx?1(1) lim?0(0???1); 2n??1nx?1(1?x)dx (2) 由广义积分中值定理，至少存在一点?n?(1,2)，使得 221nx1nxf(x)(1?)dx?f(?)(1?)dx， n?1?1xx 且limf(?n)?f(2). 2??n?? 同样我们有 推论2 设f(x)在[?3,?2]是连续函数，则 1nx(1?)dx??3(1) lim?0(0???1); ?2n??1nx??3(1?x)dx (2) 由广义积分中值定理，至少存在一点?n?(?3,?2)，使得 ?2?21nx1nxf(x)(1?)dx?f(?)(1?)dx， n??3??3xx 且limf(?n)?f(?2). ?2??n?? 参考文献 [1] 郎开禄.积分中值定理注记[J].楚雄师范学院学报，2008，23(6):7—15. [2] 裘兆泰，王承国，章仰文编.数学分析学习指导[M].北京:科学出版社，2004:223—226，272. [3] 华东师范大学数学系编.数学分析(上)[M].北京:高等教育出版社，2002:217—218. [4] 毛羽辉编著.数学分析选论[M].北京:科学出版社，2003:101—102. [5] 吴良森，毛羽辉，韩士安，吴畏编著.数学分析学习指导(上)[M].北京:高等教育出版社，2004:272. 致 谢 感谢郎开禄老师在我的论文选题及写作过程中给予悉心指导. 10