计算机数字控制课后作业

计算机数字控制课后作业 机械自动化学院 6. 设采样离散控制系统如图所示，试求系统在单位阶跃、单位速度和单位加速度输入时的稳态误差。(T=1s) ,Ts1,e1111，，,TsG(s),,,(1,e),，解:由题得:. 2,,ss(s1)sss1，，，， ,1，，Tz11,1G(z)(1z),,,，,,,12,1,,1T(1z)1z1ez,,,，， 对其进行z变换 ,12，，1(1z),,1,1z(1z),,,，,,,1,1,11z1ez,,，， 其开环脉冲传递函数为 ,12,12，，，，1(1z)1z(1z),,,1,1G(z)H(z)z(1z)1(z1),,,，,,,， ,,,,,1,1,1,1,11z1ezz11ez,,,,，，，，可知其为?型系统，即 *e,0在单位阶跃的作用下，其稳态误差为 ss 1*e在单位速度的作用下，其稳态误差 ,lim,1 ss,12,1z，，z1(1,),1,1,1zzz(1,),(1,)，,,,1,1,1zez1,1,，， *e,,在单位加速度响应下，其稳态误差为 ss 8设采样离散控制系统如图所示，试求在T=1s和T=0.5s两种采样周期下，保证系统 稳定的放大系数的取值范围。根据这个例子，说明采样保持器对系统稳定性的影响。 ,T,T,,1,Te,e,T,,K(T，e,1)z，,T,,T，e,1,,G(z),解:由题可知 (z,1)(z,e,T) 0.3679Kz，0.2642KG(z), ,当T=1s时 (z,1)(z,0.3679) C(z)0.3679Kz，0.2642K,系统闭环函数 2R(z)z，(0.3679K,1.3679)z，0.3679，0.2642K 2系统的特征方程为 p(z),z，(0.3679K,1.3679)z，0.3679，0.2642K,0由于这是一个二阶系统，由朱利稳定判据可得 a,ap(1),0p(,1),0 20 ? ,0.3679，0.2642K,1 ,1，(0.3679K,1.3679)，0.3679，0.2642K,0.6321K,0,0,K,2.392, ,1,(0.3679K,1.3679)，0.3679，0.2642K,2.7358,0.1037K,0,n,2偶数, 0.1065Kz，0.09KG(z),,当T=0.5s时 (z,1)(z,0.6065) C(z)0.1065Kz，0.09K,系统的闭环传递函数 2R(z)z，(0.1065K,1.6065)z，(0.6065，0.09K) 2系统的特征方程为 p(z),z，(0.1065K,1.6065)z，(0.6065，0.09K),0由于这是一个二阶系统，由朱利稳定判据条件 a,ap(1),0p(,1),0 20 ,0.6065，0.09K,1 , 1，(0.1065K,1.6065)，0.6065，0.09K,0,0,K,4.372, ,1,(0.1065K,1.6065)，0.6065，0.09K,0,n,2为偶数,由此可得出结论，采样周期越大，系统的稳定性就越差 10 已知单位反馈采样离散控制系统的开环传递函数如下: K(0.1z，0.8)G(z),1) (z,1)(z,0.7) K(0.1z，0.8)G(z),2) z(z,1)(z,0.7) 试用朱利稳定判据确定开环放大系数K的稳定域。 解:1)由题知闭环系统的特征方程为 2K(0.1z，0.8)z，(0.1K,1.7)z，(0.7，0.8K)1，G(z),1，, (z,1)(z,0.7)(z,1)(z,0.7) 2系统的特征方程为 P(z),z，(0.1K,1.7)z，(0.7，0.8K) 故有， a,1;a,0.1K,1.7;a,0.7，0.8K012 aaaa212022b,,0.08K,1.39K，0.51b,,0.64K,1.12K,0.51 01aaaa0102由朱利稳定性判据得: 0.7，0.8K,1 P(z)|,1，0.1K,1.7，0.7，0.8K,0.9K,0 z,1 P(z)|,1,0.1K，1.7，0.7，0.8K,3.4，0.7K,0z,,1 0,K,0.375可得出K的稳定域为: 32K(0.1z，0.8)z,1.7z，(0.7，0.1K)z，0.8K1，G(z),,2)闭环系统的特征方程为 z(z,1)(z,0.7)z(z,1)(z,0.7) 32系统的特征方程为; P(z),z,1.7z，(0.7，0.1K)z，0.8K a,1;a,,1.7;a,0.7，0.1K;a,0.8K0123 aa0.8K0.7，0.1K32b,,,,1.46K,0.7 0aa1,1.701 aa0.8K1302b,,,0.64K,1 2aa10.8K03 由朱利稳定性判据得: 0.8K,1 P(1),1,1.7，0.7，0.1K，0.8K,0.9K,0 P(,1),,1,1.7,0.7,0.1K，0.8K,0.7K,3.4,0,n,3奇数 20.64K,1,,1.46K,0.7 0,K,0.1897由题解得， 11 已知采样离散控制系统的结构如图所示， KG(s), 0s(0.1s，1) G(s)保持器为零阶保持器，采样周期T=0.1s，试求数字控制器D(z)，要求满足: h 1)速度误差系数Kv=10; 2)相位裕度 ,,40: 解:又图知，被控对象的脉冲传递函数为: 0.1,s，，，，1,eKKK(z，1.9825)1,G(z),Z,(1,z)Z,0.0368 ,,,,2ss(0.1s，1)s(0.1s，1)(z,1)(z,0.3679)，，，， T1，w1，0.05w2用双线性变换将被控对象的脉冲传递函数变换成:z,, G(z)G(w)T1,0.05w1,w2 1，0.05w,,ww，1.9825,,1.7364K(1,)(1,)1,0.05w,,2060G(w),0.0368K,则 w1，0.05w1，0.05w,,w(1，),1)(,0.3679,,9.241,0.05w1,0.05w,, w1，,假设数字控制器的传递函数在低频段的增益为1，并有下列形式: D(w),D(w)w1，, www(1，)(1,)(1,),2060上图所示的开环传递函数为:D(w)G(w),1.7364K ww(1，)w(1，),9.24 K,10要求的静态误差系数，所以 v www(1，)(1,)(1,),2060 K,limD(w)G(w),lim1.7364K,1.7364K,10vw,0w,0ww(1，)w(1，),9.24 K,5.76解得增益 ,,10(1，j0.08)(1,j0.05),w,j,G(j), 令，,称为虚拟频率， j,(1，j0.108,) 分析校正前系统的开环对数幅频特性和相频特性，为了使系统达到要求L(,),(,) :,的相位裕度，则相频特性 ,(,),,90,arctan0.108,,arctan0.05,，arctan0.08,40 ,180:,40:,120: ？,,6.54rad 此时幅频特性为 222，，，，，，,L(),20lg10，20lg1，(0.08,)，20lg1，(,0.05,),20lg,,20lg1，(0.108,) =2.40dB , 为了使系统达到要求的相位裕度，将幅频特性在处衰减40L(,),,6.53rad ,,T1，1D2.401dB(,),(,,1)，而高频段和低频段的特性基本不变，即选择校正网络 T1，,1 20lgd,,2.041dB,,,0.7592.401dB由于要衰减，可得 1 为了忽略校正网络的相角滞后对原来系统相频特性的影响，选择是校正后系统T,1 11,0.653rad,T1,2.018s的剪切频率的，因此， ,T101 ,1，1.531,,D(),,0.7645(z,0.9368),1，2.018? ,D(z),,2z,1z,0.9516,,,Tz，1, 、6 已知采样离散控制系统的结构如图所示， 5 1G(s), 0s(s，1) G(s)保持器为零阶保持器。 h 1) 设采样周期分别为5s，0.5s，试设计单位阶越输入时的最小拍无纹波调节器。 2) 设输入信号分别为单位阶越输入、单位速度输入、单位加速度输入时，试设计最小拍无纹波 调节器。 解:1)其广义对象的脉冲传递函数 ,T,T，，1,Te,e,T,1,1(T，e,1)z1，z,,,T,TsT，e,1，，1,e1，， G(z),Z,,,,1,T,1ss(s，1)(1,z)(1,ez)，， ,1,13.9933z(1，0.2437z)T,5sG(z),,当时 ,1,1(1,z)(1,0.0067z) 可以看出，的零点为-0.2437(单位圆内)，极点为1(单位圆上)和0.0067(单G(z) 位圆内)，故，因为其为单位阶跃输入。根据无文波系统对闭环w,1,v,0,m,1,q,1 11,,脉冲传递函数的要求，得到闭环脉冲传递函数为,(z),z(1，0.2437z), ，又,(z)0由可得，，最后可求得数字控制器的脉冲传递函数为: ,,0.805,(1),10 ,1,1 ,(z),0.805z(1，0.2437z) ,1,1,1,11,(z)(1,z)(1,0.0067z)0.805z(1，0.2437z)D(z),,,调节器 ,1,1,1,1G(z)1,,(z)3.9933z(1，0.2437z)[1,0.805z(1，0.2437z)] ,10.2016(1,0.0067z), ,11，0.1922z ,T,T，，1,Te,e,T,1,1(T，e,1)z1，z,,,T,1,1T，e,10.1065z(1，0.847z)，，G(z),,,当T=0.5s时 ,1,T,1,1,1(1,z)(1,ez)(1,z)(1,0.6065z) 可以看出，的零点为-0.847(单位圆内)，极点为1(单位圆上)和0.6065(单G(z) 位圆内)，故，因为其为单位阶跃输入。根据无文波系统对闭环w,1,v,0,m,1,q,1 11,,脉冲传递函数的要求，得到闭环脉冲传递函数为:，又,(z),z(1，0.847z),,(z)0由可得，，最后可求得数字控制器的脉冲传递函数为:,,0.5414,(1),10 ,1,1 ,(z),0.5414z(1，0.847z) 故调节器为: ,1,1,1,1,11,(z)(1,z)(1,0.6065z)0.5414z(1，0.847z)5.08(1,0.6065z)D(z),,,,,1,1,1,1,1G(z)1,,(z)0.1065z(1，0.847z)(1,z)(1，0.459z)1，0.459z 2)当T=5s时， ,当信号为阶跃信号时，由(1)问中求得 ,1,1,1,1,11,(z)(1,z)(1,0.0067z)0.805z(1，0.2437z)0.2016(1,0.0067z)D(z),,,,1,1,1,1,1G(z)1,,(z)3.9933z(1，0.2437z)[1,0.805z(1，0.2437z)]1，0.1922z ,当信号为单位速度输入时，可以看出G(z)的零点为-0.2437(单位圆内)，极点为1(单位圆上)和0.0067(单位圆内)，故，根据无文波系统对w,1,v,0,m,1,q,2 闭环脉冲传递函数的要求，得到闭环脉冲传递函数为: ,(z) ,1,1,1，，，，,(z),z1，0.2437z,，,z 01 ,,,,(1),1(1，0.2437)(，),1,1.608,,,010,由，得 ,,,'(，2),0,,,,,0.804,(1),0011,,, ,1,1,1 ？,(z),1.608z(1，0.2437z)(1,0.5z) ,1,11,(z)0.6622(1,0.0067z)(1,0.5z)D(z),,,故调节器为: ,1G(z)1,,(z)1，0.3222z 1G(s),,当信号为加速度输入时，因为被控对象只含有一个积分环节，在稳0s(s，1)态过程中无法获得无纹波平滑输出，没有此调节器。 【课后习题】 z4.4给定曲线x(t)，如下图所示，试求曲线x(t)的变换的闭合表达式。 解:由题可知 11令 f(t),t,t5,23 x(t),f(t,2),1(t,2),f(t,5),1(t,5)则 z对其进行变换得: 1,2,5X(z),Z[x(t)],Z[f(t,2),1(t,2),f(t,5),1(t,5)],(z,z)Z[t,1(t)]3 ,1,3,3,11TzTz(1,z),2,5,,2,5k,(z,z)(kT),1z,(z,z),,,12,1233(1,z)3(1,z),0k 6.1考虑图6.36(a)和6.36(b)平面中的区域，在z平面中画出相应的区域，采样周期 T=0.3s,采样频率 ,,20.9rad/ss 解:由题知: 1)等衰减轨迹线 ,T,1，0.31e,e,0.74 T,,4.5，0.32e,e,0.26 6.4讨论由下式描述的系统 y(k),0.6y(k,1),0.81y(k,2)，0.67y(k,3),0.12y(k,4),x(k) 式中与分别是系统的输入与输出。试判断系统的稳定性 x(k)y(k) z解:对上式进行变换得: ,1,2,3,4 Y(z),0.6zY(z),0.81zY(z)，0.67zY(z),0.12zY(z),X(z) 4Y(z)1z,, ,1,2,3,4432X(z)1,0.6z,0.81z，0.67z,0.12zz,0.6z,0.81z，0.67z,0.12 432系统的闭环特征方程为: p(z),z,0.6z,0.81z，0.67z,0.12 应用朱利稳定判据得: a,1;a,,0.6;a,,0.81;a,0.67;a,,0.1201234 a,a第一个稳定条件:满足 40 p(1),1,0.6,0.81，0.67,0.12,0.14,0第二个稳定性条件: 满足 p(,1),1，0.6,0.81,0.67,0.12,0第三个稳定性条件为: (n=4为偶数 ) 条件三不满足 故系统不稳定 P(z)|,0z,,1 可用MATLAB编程验证其稳定性，程序如下: 1num=[1 0 0 0 0]; den=[1 -0.6 -0.81 0.64 -0.12]; 0.8 zplane(num,den) 0.6 0.4 0.2 40 -0.2 -0.4Imaginary Part -0.6 -0.8 -1 -1-0.500.51 Real Part 由其零、极点分布图可知，其所有的极点都在单位圆内部，故系统是稳定的。