数学危机
什么是数学危机?
数学中有大大小小的许多矛盾,例如,正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾,例如,有穷与无穷,连续与离散,乃至存在与构造,逻辑与直观,具体对象与抽象对象,概念与计算等。在整个数学发展的历史上,贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时,就产生数学危机。
矛盾的消除,危机的解决,往往给数学带来新的内容,新的进展,甚至引起革命性的变革,这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史,斗争的结果就是数学领域的发展。
1.第一次数学危机
从某种意义上来讲,现代意义上的数学(也就是作为演绎系统的纯粹数学)来源于古希腊的毕达哥拉斯学派。这个学派兴旺的时期为公元前500年左右,他们重视自然及社会中不变因素的研究,把几何、算术、天文学、音乐称为“四艺”,在其中追求宇宙的和谐及规律性。他们认为“万物皆数”,认为数学的知识是可靠的、准确的,而且可以应用于现实的世界。数学的知识是由于纯粹的思维而获得,并不需要观察、直觉及日常经验。
毕达哥拉斯的数是指整数,他们在数学上的一项重大发现是
证明
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了勾股定理。他们知道满足直角三角形三边长的一般公式,但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来
表
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达,也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。这样一来,就否定了毕达哥拉斯学派的信条:宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。
不可通约性的发现引起第一次数学危机。有人说,这种性质是希帕索斯(Hipparchus,公元前180~前125)约在公元前400年发现的,为此,他的同伴把他抛进大海。不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实,而希帕索斯因泄密而被处死。不管怎样,这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。这表明,几何学的某些真理与算术无关,几何量不能完全由整数及其比来表示,反之,数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战,于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。
同时这也反映出,直觉和经验不一定靠得住,而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始由“自明的”公理出发,经过演绎推理,并由此建立几何学体系,这不能不说是数学思想上一次巨大革命,这也是第一次数学危机的自然产物。
第一次数学危机的产物——欧氏几何学。欧几里得的《原本》对数学发展的作用无须在此多谈。不过应该指出,欧几里得的贡献在于他有史以来第一次
总结
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了以往希腊人的数学知识,构成一个
标准
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化的演绎体系,这对数学乃至哲学、自然科学的影响一直延续到19世纪。牛顿的《自然哲学的数学原理》和斯宾诺莎的《伦理学》等,都采用了欧几里得《几何原本》的体例。
2.第二次数学危机
早在古代,人们就对长度、面积、体积的度量问题感兴趣。古希腊的欧多克斯引入量的观念来考虑连续变动的东西,并完全依据几何来严格处理连续量,这造成数与量的长期脱离。古希腊的数学中除了整数之外,并没有无理数的概念,连有理数的运算也没有,可是却有量的比例,他们对于连续与离散的关系很有兴趣,尤其是芝诺提出的四个著名的悖论。
第一个悖论是说运动不存在,理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路,而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下去,它必须通过无限多个点,这在有限长时间之内是无法办到的。
第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。因为乌龟在他前面时,他必须首先到达乌龟的起点,然后用第一个悖论的逻辑,乌龟在他的前面。这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。
而第三、第四悖论是反对空间、时间由不可分的间隔组成。第三个悖论是说“飞矢不动”,因为在某一时间间隔,飞矢总是在某个空间间隔中确定却有严格的逼近步骤,这就是所谓“穷竭法”,它依靠间接的证明方法,证明了许多重要而难证的定理。
到了16、17世纪,除了求曲线长度和曲线所包围的面积等类问题外,还产生了许多新问题,如求速度、求切线,以及求极大、极小值等问题。经过许多人多年的努力,终于在17世纪晚期,形成了无穷小演算——微积分这门学科,这也就是数学
分析
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的开端。
牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于:第一,把各种问题的解法统一成一种方法,微分法和积分法;第二,有明确的计算微分法的步骤;第三,微分法和积分法互为逆运算。
由于运算的完整性和应用范围的广泛性,使微积分成为解决问题的重要工具。同时关于微积分基础的问题也越来越严重。以求速度为例,瞬时速度是
当
趋向于零时的值。
是零、是很小的量,还是什么东西,这个无穷小量究竟是不是零。这引起了极大的争论,从而引发了第二次数学危机。
18世纪的数学家成功地用微积分解决了许多实际问题,因此有些人就对这些基础问题的讨论不感兴趣。如达朗贝尔就说,现在是“把房子盖得更高些,而不是把基础打得更加牢固”。更有许多人认为所谓的严密化就是繁琐。
但也因此而使微积分的基础问题一直受到一些人的批判和攻击,其中最有名的是贝克莱主教在1734年的攻击。
18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的、强调形式的计算,而不管基础的可靠与否,其中特别是:没有清楚的无穷小概念,因此导数、微分、积分等概念不清楚;对无穷大的概念也不清楚;发散级数求和的任意性;符号使用的不严格性;不考虑连续性就进行微分,不考虑导数及积分的存在性以及可否展成幂级数等。
一直到19世纪20年代,一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基础。它们从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作开始,最终由维尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成,中间经历了半个多世纪,基本上解决了矛盾,为数学分析奠定了一个严格的基础。
柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始,认识到函数不一定要有解析表达式。他抓住了极限的概念,指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量,而是变量,并定义了导数和积分;阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和;狄里克雷(P.G.Dirichlet,1805~1859)给出了函数的现代定义。
在这些数学工作的基础上,维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方,给出现在通用的
的极限、连续定义,并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上,从而克服了危机和矛盾。
19世纪70年代初,维尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论,而且在实数理论的基础上,建立起极限论的基本定理,从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。
同时,维尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的例子,这个发现以及后来许多病态函数的例子,充分说明了直观及几何的思考不可靠,而必须诉诸严格的概念及推理。由此,第二次数学危机使数学更深入地探讨数学分析的基础——实数论的问题。这不仅导致集合论的诞生,并且由此把数学分析的无矛盾性问题归结为实数论的无矛盾性问题,而这正是20世纪数学基础中的首要问题。
3.第三次数学危机
第三次数学危机产生于19世纪末和20世纪初,当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的数学化,促使了数理逻辑这门学科诞生。
19世纪70年代康托尔创立的集合论是现代数学的基础,也是产生危机的直接来源。19世纪末,戴德金及皮亚诺对算术及实数理论进行公理化,推动了公理化运动。而公理化运动的最大成就则是希尔伯特在1899年对于初等几何的公理化。
公理化方法是现代数学最重要的方法之一,对于数学基础和数理逻辑的研究也有影响。当时,也是现代数学一些新分支兴起的时期,如抽象代数学、点集拓扑学和代数拓扑学、泛函分析、测度与积分理论等学科。这些学科的发展一直与数学基础及数理逻辑的发展有着密切的关系。数学的更新与发展也对数学哲学有许多新的探讨,数学的陈腐哲学观念在当时已经几乎一扫而空了。
(1)集合论的创立、传播和矛盾
集合论的创立者是格奥尔格,康托尔(Georg Cantor,1845~1918),他在1874年发表的有关集合论的头一篇论文《论所有实代数集合的一个性质》断言,所有实代数数的集合是可数的,所有实数的集合是不可数的。因此,非代数数的超越数是存在的,并且其总数要比我们熟知的实代数数多得多,也就是说超越数的集合也是不可数的。
康托尔的这种证明是史无前例的。他连一个具体的超越数都没有举出来,就“信口开河”地说超越数存在,而且比实代数数的“总数”多得多,这怎么能不引起当时数学家的怀疑甚至愤怒呢?
其实,康托尔的著作主要是证明了无穷之间也有差别,既存在可数的无穷,也存在那种像实数集合那样不可数的、具有“连续统的势”的无穷。过去数学家认为靠得住的只有有限,而无穷最多只是模模糊糊的一个记号。而康托尔把无穷分成许多“层次”,这真有点太玄乎了。
1878年,康托尔发表了集合论第二篇文章,其中把隐含在1847年文章中的“一一对应”概念提出来,作为判断两个集合相同或不同的基础,这就是最原始的等价观念,而两个集合相互之间如果能够一一对应就称为等势,势的概念于是应运而生。
从1879年到1884年,康托尔发表了题为“论无穷线性点集”的一系列文章,共有6篇,这些文章奠定了新集合论的基础。特别是在1883年的文章中引进生成新的超穷数概念,并且提出了所谓连续统假设,即可数基数后面紧接着就是实数基数。他相信这个假设正确,但没能证明。这个假设对于20世纪数学基础的发展起着极其重大的作用。
康托尔最后的集合论著作是1895年和1897年发表的两篇文章,其中最重要的是引进“序型”的概念,并定义相应的序数,这个时期,反对集合论的势力逐渐削弱,但是集合论的内在矛盾已经开始暴露出来了。
康托尔自己最早发现了集合论的内在矛盾。他在1895年文章中遗留下两大问题未解决:一个是连续统假设,另一个是所有超穷基数的可比较性,他虽然认为无穷基数有最小数但没有最大数,但没有明显叙述其矛盾之处。
第一个发表集合论悖论的是意大利数学家布拉里,福蒂(C.Borali-Fort,1861~1931),他指出所有序数的集合这个概念的内在矛盾,但是当时认为这也许能够补救。一直到1903年罗素发表他的著名悖论,集合论的内在矛盾才突出出来,并成为20世纪集合论和数学基础研究的出发点。
康托尔的集合论是数学上最具有革命性的理论,它的发展道路自然很不平坦。在当时,占统治地位的观念是:你要证明什么,你就要具体造出什么来。因此,人们只能从具体的数或形出发,一步一步经过有限多步得出结论来。至于“无穷”的世界,即完全是超乎人的能力之外,绝不是人所能掌握和控制得了的。